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diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex index 1ece407..ba967e8 100644 --- a/notes-mdi349.tex +++ b/notes-mdi349.tex @@ -195,7 +195,12 @@ $\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !) \emph{Remarque :} Tout élément $f$ de l'anneau $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction réelle sur le -cercle $C(\mathbb{R})$. +cercle $C(\mathbb{R})$ : ces fonctions s'appellent « polynômes + trigonométriques ». Tout élément de l'anneau +$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction (à valeurs +dans $k$) sur \emph{n'importe quel} $C(k)$. On verra aussi plus loin +qu'un élément de $C(k)$ peut se voir comme un morphisme d'anneaux +$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to k$. % @@ -243,6 +248,14 @@ que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$. Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$ soit réduit. +\emph{Exemples :} L'idéal $7\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est maximal +(le quotient $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps), donc \textit{a + fortiori} premier et radical. L'idéal $0$ de $\mathbb{Z}$ est +premier mais non maximal (le quotient $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = +\mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais non un corps). L'idéal +$6\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est radical mais n'est pas premier. +L'idéal $9\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ n'est pas radical. + \smallbreak Un anneau est un corps ssi son idéal $(0)$ est maximal. Un anneau est @@ -268,8 +281,8 @@ l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$. Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $\mathfrak{M}$ maximal -pour l'inclusion (c'est-à-dire tel que $I \subseteq \mathfrak{M}$ pour -tout $I \in \mathscr{F}$). +pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec +$I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$). \end{lem} \begin{prop} @@ -277,12 +290,21 @@ Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans un idéal maximal. \end{prop} \begin{proof} -Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le lemme de Zorn à -$\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$ contenant $I$. Si -$\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement ordonnée pour -l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} -I$ en est encore un. Le principe maximal de Hausdorff permet de -conclure. +Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de +Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$ +contenant $I$. Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement +ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in + \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux + n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la + somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$. En + revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement + ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est + un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on + peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un + cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}} + I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer +que $1$ n'y appartient pas). Le principe maximal de Hausdorff permet +de conclure. \end{proof} \begin{prop} @@ -305,12 +327,18 @@ $z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff (il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$). Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$. Par maximalité de $\mathfrak{p}$, -chacun des idéaux $\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit -rencontrer $\{z^n\}$, c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux -éléments de la forme $f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et -$a,b\in A$, qui soient des puissances de $z$ ; leur produit est alors -aussi une puissance de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc -$abxy \not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont +chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux + d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un + idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus + petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$ + et $J$. Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un + élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.} +$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$, +c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme +$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient +des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance +de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy +\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in \mathfrak{p}$. \end{proof} @@ -358,9 +386,9 @@ A$. Module libre = il existe une base $(x_i)$, c'est-à-dire une famille (non né\-ces\-sairement finie) telle que tout $x \in M$ peut s'écrire -$\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$ tous nuls sauf un nombre -fini et \emph{uniquement définis} (c'est-à-dire que $\sum_i a_i x_i = -0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$). +\emph{de façon unique} comme $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in +A$ tous nuls sauf un nombre fini (de façon unique, c'est-à-dire que +$\sum_i a_i x_i = 0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$). % \subsection{Anneaux noethériens} @@ -406,7 +434,7 @@ engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$. Montrons qu'en fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une contradiction). -On peut écrire $a_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$. Par +On peut écrire $c_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$. Par ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers. On peut donc construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m - @@ -422,9 +450,10 @@ $A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$. Comme un quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien : \begin{defn} -Une $A$-algèbre $B$ est dite \emph{de type fini} (comme $A$-algèbre) -lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ tel que tout élément de $B$ -s'écrive $f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in +Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre) +lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer} +$B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive +$f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in A[t_1,\ldots,t_d]$. \end{defn} @@ -432,7 +461,17 @@ A[t_1,\ldots,t_d]$. fini comme $A$-module. Lorsque c'est le cas, on dit que $B$ est une $A$-algèbre \emph{finie}, ce qui est plus fort car cela signifie que $f$ serait de degré $1$. (Par exemple, $k[t]$ est une $k$-algèbre de -type fini, mais pas finie.) +type fini, engendrée par $t$, mais pas finie.) + +Dire que $B$ est une $A$-algèbre de type fini engendrée par +$x_1,\ldots,x_d$ signifie donc que le morphisme $\xi\colon +A[t_1,\ldots,t_d] \to B$ défini par $f \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)$ est +\emph{surjectif}. Par conséquent, si $I$ désigne le noyau de ce +morphisme (c'est-à-dire l'ensemble des $f \in A[t_1,\ldots,t_d]$ qui +s'annulent en $(x_1,\ldots,x_d)$) alors $\xi$ définit un isomorphisme +$A[t_1,\ldots,t_d]/I \buildrel\sim\over\to B$. On peut donc dire : +une $A$-algèbre de type fini est un quotient de $A[t_1,\ldots,t_d]$ +(pour un certain $d$). \begin{cor} Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier |