diff options
| -rw-r--r-- | notes-geoalg.tex | 35 |
1 files changed, 29 insertions, 6 deletions
diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 48448a2..ace90e2 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1023,6 +1023,14 @@ de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$. \end{rmk} +Un $f \in \mathcal{O}(X)$ est complètement déterminé par sa valeur sur +$X(k)$ (rappel : $k$ est algébriquement clos dans tout ça, et c'est +important !) ; en effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X(k)$, tout +élément de $k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x +\in X(k)$, c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui +signifie justement $f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$. (Moralité : on peut +bien considérer les éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions.) + % \subsection{Morphismes de variétés algébriques} @@ -1042,20 +1050,35 @@ On veut maintenant définir des morphismes entre ces variétés algébriques. Une fonction régulière doit être la même chose qu'un morphisme vers la droite affine. On définit donc : \begin{itemize} -\item un morphisme de $X$ vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de +\item un morphisme $f$ de $X$ vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de dimension $e$ est la donnée de $e$ fonctions régulières sur $X$, c'est-à-dire d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$, -\item un morphisme de $X$ vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$ défini - dans l'espace affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J = +\item un morphisme $f$ de $X$ vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$ + défini dans l'espace affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J = (g_1,\ldots,g_r)$ est la donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)^e$ comme ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$ (cela revient à demander $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x)) = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ; -\item on dit qu'un tel morphisme envoie le point $x \in X$ sur le - point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point +\item on dit qu'un morphisme comme ci-dessus envoie le point $x \in X$ + sur le point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in k^e$, qui se trouve appartenir à $Y$) ; en pariculier, il définit une fonction $X(k) \to Y(k)$, et plus - généralement $X(A) \to Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$. + généralement $X(A) \to Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$ ; +\item d'après ce qu'on a dit sur les fonctions régulières (un $f \in + \mathcal{O}(X)$ est déterminé par ses valeurs sur $X(k)$, $k$ étant + algébriquement clos), un morphisme $f \colon X\to Y$ est déterminé + par ses valeurs sur $X(k)$ (toujours : $k$ étant algébriquement + clos) ; +\item on définit la composée d'un morphisme $f \colon X \to Y$ comme + ci-dessus (représenté par $f_1,\ldots,f_e \in \mathcal{O}(X)$ si $Y + \subseteq \mathbb{A}^e$) et d'un morphisme $g \colon Y \to Z$ + (représenté par $g_1,\ldots,g_s \in \mathcal{O}(Y)$ si $Z \subseteq + \mathbb{A}^s$) de la façon suivante : si $\tilde g_1,\ldots,\tilde + g_s \in k[u_1,\ldots,u_e]$ relèvent $g_1,\ldots,g_s$, on représente + $g\circ f$ par les éléments $\tilde g_1(f_1,\ldots,f_e), \ldots, + \penalty-100 \tilde g_s(f_1,\ldots,f_e) \penalty-50 \in + \mathcal{O}(X)$ ; on a, heureusement, $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ pour + tout $x \in X(k)$ (ou même tout $x \in X(A)$). \end{itemize} À ce moment-là, on doit se rappeler le lemme de Yoneda : se donner |