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diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex index 744a7e9..10c9fce 100644 --- a/notes-mdi349.tex +++ b/notes-mdi349.tex @@ -67,11 +67,12 @@ Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$). -Si $k$ est un anneau, une \emph{$k$-algèbre} (là aussi : implicitement -commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k -\buildrel\varphi\over\to A$. On peut multiplier un élément de $A$ par -un élément de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in -k$ et $x\in A$). +Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi : +implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k +\buildrel\varphi\over\to A$ (appelé \emph{morphisme structural} de +l'algèbre). On peut multiplier un élément de $A$ par un élément +de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in +A$). % @@ -192,6 +193,10 @@ neutre : $(1,0)$ ; inverse de $(x,y)$ : $(x,-y)$. ces formules, mais les formules sont parfaitement valables sur $\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !) +\emph{Remarque :} Tout élément $f$ de l'anneau +$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction réelle sur le +cercle $C(\mathbb{R})$. + % % @@ -245,7 +250,12 @@ intègre ssi son idéal $(0)$ est premier. Un anneau est réduit ssi son idéal $(0)$ est radical. Un anneau est dit \textbf{local} lorsqu'il a un unique idéal maximal. -(En particulier, un corps est un anneau local.) +(En particulier, un corps est un anneau local.) Le quotient d'un +anneau local par son idéal maximal s'appelle son \emph{corps + résiduel}. \emph{Exercice :} l'anneau $A$ des rationnels de la +forme $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$ et $b$ impair est un +anneau local dont l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est formé des +$\frac{a}{b}$ avec $a$ pair. (Quel est le corps résiduel ?) \smallbreak @@ -459,16 +469,29 @@ un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux. \item De même, $\Hom_k(k[t_1,\ldots,t_d],A)$ est en bijection avec l'ensemble $A^d$ (en envoyant $\psi$ sur $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$). -\item Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et - si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors $\Hom_k(R, A)$ est en bijection - avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall - j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$). +\item Si $I$ est un idéal de $R$, alors $\Hom_k(R/I, A)$ est en + bijection avec le sous-ensemble de $\Hom_k(R,A)$ formé des + $\psi\colon R\to A$ qui s'annulent sur $I$ (la bijection envoyant + $\hat\psi \colon R/I \to A$ sur $\psi \colon R\to A$ composé de + $\hat\psi$ avec la surjection canonique $R \to R/I$). +\item (En particulier,) si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de + $k[t_1,\ldots,t_d]$ et si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors + $\Hom_k(R, A)$ est en bijection avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) + \in A^d :\penalty0 (\forall j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté + $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$). \end{itemize} \end{prop} +À titre d'exemple, dans l'introduction on avait posé $C(T) = +\{(x,y)\in T^2 : x^2+y^2 = 1\}$ pour tout anneau $T$. Un élément de +$C(T)$ peut donc se voir comme un morphisme +$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to T$. + \textbf{Exercice :} Si on note $k[x,x^{-1}] = k[x,y]/(xy-1)$, à quoi peut-on identifier l'ensemble $\Hom_k(k[x,x^{-1}], A)$ ? +\smallbreak + Si $\beta\colon B \to B'$, on définit une application $\Hom_k(A,\beta)\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ par $\psi \mapsto \beta\circ\psi$ ; si $\alpha \colon A' \to A$ (attention au sens de la @@ -511,17 +534,22 @@ $-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') = (aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$). Cet anneau est muni d'un morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ donné par $a \mapsto a/1$. On l'appelle le \textbf{localisé} de $A$ inversant la partie -multiplicative $S$. +multiplicative $S$. Si $A$ est une $k$-algèbre (pour un certain +anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente +(en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme +naturel $A \to A[S^{-1}]$). \begin{prop} \begin{itemize} \item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro. + (Extrême inverse : si $S$ contient $0$, alors $A[S^{-1}]$ est + l'anneau nul.) \item Tout idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ est de la forme $J = I[S^{-1}] := - \{a/s : a\in I, s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque dans $A$ - (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de l'idéal - $J$ considéré. Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$ définit une - injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$. + \{a/s : a\in I,\penalty0 s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque + dans $A$ (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de + l'idéal $J$ considéré. Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$ + définit une injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$. \item Un idéal $I$ de $A$ est de la forme $\iota^{-1}(J)$ pour un idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (nécessairement $J = I[S^{-1}]$ d'après le point précédent) ssi aucun élément de $S$ n'est diviseur de zéro @@ -529,6 +557,10 @@ multiplicative $S$. \item En particulier, $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$ définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$. +\item Si $A$ est une $k$-algèbre, $\Hom_k(A[S^{-1}],B)$ s'identifie, + via $\Hom_k(\iota,B)\colon \Hom_k(A[S^{-1}],B) \to \Hom_k(A,B)$, au + sous-ensemble de $\Hom_k(A,B)$ formé des morphismes $\psi\colon A\to + B$ tels que $\psi(s)$ soit inversible pour tout $s\in S$. \end{itemize} \end{prop} @@ -540,7 +572,16 @@ maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s \textbf{en} $\mathfrak{p}$. Si $A$ est un anneau intègre et $S = A \setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note $\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \textbf{corps des - fractions} de $A$. + fractions} de $A$. Par exemple, $\Frac(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}$ et +$\Frac(k[t]) = k(t)$ pour $k$ un corps. + +Toute partie $\Sigma$ de $A$ engendre une partie multiplicative $S$ +(c'est l'intersection de toutes les parties multiplicatives +contenant $\Sigma$, ou simplement l'ensemble de tous les produits +possibles d'éléments de $\Sigma$) : on note généralement +$A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$. En particulier, lorsque $\Sigma$ +est le singleton d'un élément $\sigma$, on note $A[\sigma^{-1}]$ ou +$A[\frac{1}{\sigma}]$. % |