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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index b7b7e5c..3e9cca3 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1975,6 +1975,118 @@ algébrique. Cependant, il faut au moins savoir les choses suivantes : % % +\section{L'espace projectif et les variétés quasiprojectives} + +\subsection{L'espace projectif sur un corps et sur un anneau} + +Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^n(k)$ l'ensemble des +$(n+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$ modulo la +relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_n) \sim (x'_0,\cdots,x'_n)$ ssi +les vecteurs $(x_0,\cdots,x_n)$ et $(x'_0,\cdots,x'_n)$ sont +colinéaires. On note $(x_0:\cdots:x_n)$ (certains auteurs préfèrent +$[x_0,\ldots,x_n]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_n)$ pour cette +relation d'équivalence. + +Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^n$ (sur un corps), selon +que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme +$(1:x_1:\cdots:x_n)$ (avec $x_1,\ldots,x_n$ quelconques) ou bien +$(0:x_1:\cdots:x_n)$ (avec $x_1,\ldots,x_n$ non tous nuls). Le point +$(x_1,\ldots,x_n)$ de $\mathbb{A}^n$ sera identifié au point +$(1:x_1:\cdots:x_n)$ de $\mathbb{P}^n$, tandis que les points de la +forme $(0:x_1:\ldots:x_n)$ sont appelés « points à l'infini » (et +collectivement, « hyperplan à l'infini »). On peut donc écrire +$\mathbb{P}^n(k) = \mathbb{A}^n(k) \cup \mathbb{P}^{n-1}(k)$ (réunion +disjointe des points où $x_0 \neq 0$ et des points où $x_0 = 0$) ; +moralement, on aura envie que $\mathbb{A}^n$ soit un ouvert +dans $\mathbb{P}^n$ et $\mathbb{P}^{n-1}$ son fermé complémentaire. +Noter que le choix de $x_0$ est arbitraire : on peut voir +$\mathbb{P}^n$ comme réunion de $n+1$ espaces affines $\mathbb{A}^n$. + +\smallbreak + +Si $A$ est un anneau, on définit $\mathbb{P}^n(A)$ comme l'ensemble +des classses d'équivalence de matrices $n\times n$ à coefficients +dans $A$, disons $(x_{ij})$ telles que +\[ +\begin{array}{c} +\sum_{i=1}^n x_{ii} = 1\\ +(\forall i,i',j,j')\, x_{ij} x_{i'j'} = x_{ij'} x_{i'j}\\ +\end{array} +\] +(autrement dit, la matrice a trace $1$ et deux lignes quelconques sont +« colinéaires » au sens où tout déterminant $2\times 2$ extrait est +nul), la relation d'équivalence identifiant une matrice $(x_{ij})$ +avec une autre $(x'_{ij})$ lorsque pour tous $i,i',j,j'$ on a $x_{ij} +x'_{i'j'} = x_{ij'} x'_{i'j}$ (toute ligne de $x$ est colinéaire à +toute ligne de $x'$ avec la même définition). + +Ceci généralise bien la définition sur un corps : si $k$ est un corps, +pour un élément $(x_0:\cdots:x_n)$ du $\mathbb{P}^n(k)$ précédemment +défini, il existe $i_0$ tel que $x_{i_0} \neq 0$, et on peut supposer +$x_{i_0} = 1$, auquel cas on identifie le point avec la matrice +$x_{ij}$ définie par $x_{ij} = 0$ sauf si $i=0$ auquel cas $x_{i_0,j} += x_j$. Inversement, si $(x_{ij})$ est une matrice représentant un +élément du $\mathbb{P}^n(k)$ défini en deuxième, avec $k$ un corps, on +peut prendre une ligne quelconque de la matrice dont tous les +coefficients ne sont pas nuls (il en existe nécessairement une puisque +la somme des coefficients diagonaux vaut $1$ !) et elle représente un +point de $\mathbb{P}^n(k)$ défini en premier. Il est facile de +vérifier que ces deux fonctions sont réciproques. + + +% +\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^n$, + fonctions régulières} + +On veut voir $\mathbb{P}^n$ comme une variété algébrique (au moins +pour $k$ algébriquement clos pour le moment). Il faudra une notion +d'ouverts et une notion de fonctions régulières. + +On dit qu'un $f \in k[x_0,\ldots,x_n]$ est \textbf{homogène de + degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le +même degré total $\ell$. L'intérêt de cette remarque est que si +$(x_0:\cdots:x_n) \in \mathbb{P}^n(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in +k[x_0,\ldots,x_n]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ +ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de +$(x_0:\cdots:x_n)$. On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_n) +\in \mathbb{P}^n(k) : f(x_0,\ldots,x_n) = 0\}$ (il faudrait noter +$Z_{\mathbb{P}^n}(f)$, mais bon...) et $D(f)$ son complémentaire. + +On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f +\in k[x_0,\ldots,x_n]$ la somme de tous ses monômes de degré +total $\ell$. Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties +homogènes. Le produit de deux polynômes homogènes de degrés +respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$. + +On dit qu'un idéal $I$ de $k[x_0,\ldots,x_n]$ est \textbf{homogène} +lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne +signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes +homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit +constitué de polynômes homogènes). De façon équivalente, il s'agit +d'un idéal tel que pour tout $f\in I$, toute partie homogène de $f$ +est encore dans $I$. (Démonstration de l'équivalence : si toute +partie homogène d'un élément de $I$ appartient encore à $I$, en +prenant un ensemble quelconque de générateurs de $I$, les parties +homogènes de ceux-ci appartiennent encore à $I$ et sont encore +génératrices puisqu'elles engendrent les générateurs choisis, donc $I$ +admet bien un ensemble de générateurs homogènes ; réciproquement, si +$I$ est engendré par $f_1,\ldots,f_r$ homogènes de degrés +$\ell_1,\ldots,\ell_r$ et si $h$ appartient à $I$, disons $h = \sum_i +g_i f_i$, alors pour tout $\ell$, la partie homogène de degré $\ell$ +de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où +$g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré +$\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.) + +Pour $I$ idéal homogène de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on définit $Z(I)$ +comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement, +d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant +un ensemble de générateurs homogènes de $I$. + + +% +% +% + \section{TODO} Produit de variétés (après l'espace projectif, peut-être ?). |