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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 9b3c61f..e51f08a 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2727,6 +2727,36 @@ $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$. % +\subsection{L'image d'un morphisme} + +Si $X \buildrel f\over\to Y$ est un morphisme entre variétés +quasiprojectives et $Y' \subseteq Y$ un fermé ou un ouvert (ou +l'intersection d'un fermé et d'un ouvert) dans $Y$, il est facile de +définir l'\emph{image réciproque} de $Y'$ par $f$ : il suffit de +« tirer » les équations de $Y'$ de $Y$ à $X$, c'est-à-dire écrire les +équations $h\circ f = 0$ pour chaque équation $h = 0$ de $Y'$ (et +pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert). + +Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus +délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$, +et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si +$k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels +qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? + +\begin{thm}[Chevalley] +\begin{itemize} +\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété + quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant : + il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé + dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$) + telle que $Y'(k)$ soit l'ensemble des $y \in Y(k)$ pour lesquels il + existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$. +\end{itemize} +\end{thm} + + + +% % % |