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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 79ca3f3..c205bc0 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2435,6 +2435,41 @@ les dénomiateurs). \medbreak +On peut également donner une description « globale » des morphismes, +mais elle est peu maniable : +\begin{itemize} +\item Si $X$ est $Z(I)$ (où $I$ est un idéal homogène de + $k[t_0,\ldots,t_d]$), un morphisme $X \to \mathbb{P}^e$ peut se + décrire comme une matrice rectangulaire avec $e+1$ colonnes (le + nombre de lignes n'étant pas spécifié) dont les entrées sont dans + $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ et (a) engendrent un idéal irrelevant dans cet + anneau, (b) sont toutes de même degré (ou si on préfère : toutes de + même degré sur chaque ligne), et (c) dont tous les mineurs $2\times + 2$ s'annulent (cf. la définition de $\mathbb{P}^e(A)$ pour $A$ un + anneau). +\item Si $X$ est un ouvert \emph{dense} de $Z(I)$ comme ci-dessus + (rappel : ceci est automatiquement le cas pour un ouvert non vide si + $I$ est premier donc $Z(I)$ irréductible), ce qu'on peut toujours + supposer, même description en remplaçant la condition (a) que les + entrées de la matrice engendrent un idéal irrelevant par celle que + les $D(f)$ correspondant recouvrent l'ouvert $X$ (pour un ouvert + strict, cela peut se traduire en disant que l'idéal engendré par les + éléments de la matrice engendrent un idéal dont le radical contient + l'idéal $I$). +\item Un morphisme vers une variété projective $Y$ de $\mathbb{P}^e$ + est un morphisme vers $\mathbb{P}^e$ comme ci-dessus avec la + condition supplémentaire que chaque ligne vérifie les équations + de $Y$. +\item Enfin, pour un morphisme vers un ouvert d'une variété + projective, on demande en plus que tous les éléments obtenus en + appliquant une des équations de l'ouvert (i.e., un des générateurs + de $J'$ si l'ouvert est le complémentaire de $Z(J')$) à une des + lignes de la matrice engendre un idéal vérifiant la même condition + qu'en. +\end{itemize} + +\medbreak + \textbf{Exemples :} ¶ On reprend l'exemple donné dans l'introduction, mais rendu |