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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 66c5e35..8e2b41a 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2263,7 +2263,13 @@ suffisamment grand, ou, de façon équivalente, dont l'image réciproque dans $k[t_0,\ldots,t_d]$ est irrelevante. On peut établir une correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux homogènes radicaux non-irrelevants de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ analogue au -Nullstellensatz. +Nullstellensatz. Pour $f \in k[t_0,\ldots,t_d]/I$ on peut définir +l'ouvert principal $D(f)$ (intersection de $D(\tilde f)$, pour $\tilde +f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ relevant $f$, avec $X$) ; les $D(f_i)$ +recouvrent $X$ lorsque les $f_i$ engendrent un idéal irrelevant +de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (résultat analogue +à \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux} et qui découle de façon +analogue du Nullstellensatz projectif). \underline{Mais, une déception :} comme le mot « naïf » utilisé ci-dessus, le laisse penser, l'anneau $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ souffre de @@ -2396,6 +2402,67 @@ explicitement dans $I^+$). Il y a cependant un cas favorable : lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$. +% +\subsection{Variétés quasiprojectives, morphismes} + +Variété quasiprojective = ouvert d'une variété projective = +intersection d'un ouvert et d'un fermé de $\mathbb{P}^d$. + +Si $X$ et $Y$ sont des variétés quasiprojectives, un morphisme $X +\buildrel h\over\to Y$ est la donnée d'un recouvrement de $X$ par des +ouverts affines $X\cap U_i$, d'ouverts affines $Y\cap V_i$ de $Y$ +indicés par le même ensemble d'indice, et d'un morphisme de variétés +algébriques affines $X \cap U_i \buildrel h_i\over\to Y\cap V_i$ pour +chaque $i$, tels que les morphismes $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $X +\cap U_i \cap U_j$ (ce qui sous-entend, pour commencer, qu'ils +arrivent tous deux dans $Y \cap V_i \cap V_j$). Remarquons qu'on peut +supposer que les $U_i$ et $V_i$ sont des ouverts principaux, +c'est-à-dire qu'ils sont de la forme $D(f_i)$ et $D(g_i)$ avec +$f_i,g_i$ dans les anneaux gradués naïfs de $X$ et $Y$ (ou, pour +simplifier, de variétés projectives dont $X$ et $Y$ sont des ouverts). + +De façon plus concrète, sur un corps algébriquement clos, un morphisme +$X \buildrel h\over\to Y$ se voit comme une fonction $X(k) \to Y(k)$ +qui est « localement un morphisme », c'est-à-dire que pour tout point +$x$ de $X(k)$ il y a un voisinage (au sens de Zariski) de $x$ dans $X$ +et de $h(x)$ dans $Y$ tel que la restriction de $h$ à ces voisinages +soit un morphisme de variétés algébriques affines (donc, concrètement, +soit définie par des fonctions polynomiales à ceci près qu'on autorise +les dénomiateurs). + +\medbreak + +\textbf{Exemples :} + +¶ On reprend l'exemple donné dans l'introduction, mais rendu +projectif. Soit $C^+$ le cercle, cette fois projectif, d'équation +$x^2 + y^2 = z^2$ (équation homogénéisée de $x^2 + y^2 = 1$) dans +$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(z:x:y)$, et soit le +$\mathbb{P}^1$ de coordonnées $(t_0:t_1)$. On définit un morphisme +$\mathbb{P}^1 \to C^+$ par $(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 : +t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ (c'est bien l'homogénéisation de $t \mapsto +(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$) : tout d'abord il est clair +que ces équations définissent un morphisme $\mathbb{P}^1 \to +\mathbb{P}^2$ car $t_0^2+t_1^2 , t_0^2-t_1^2 , 2t_0t_1$ engendrent +tous les monômes de degré $2$ donc un idéal irrelevant ; ensuite, +comme $(t_0^2-t_1^2)^2 + (2t_0t_1)^2 = (t_0^2+t_1^2)^2$, ce morphisme +arrive bien dans $C^+$. + +Dans l'autre sens : on définit un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ de +la façon suivante : a priori on veut lui donner l'équation $(z:x:y) +\mapsto (x+z:y)$, mais ceci ne définit un morphisme que sur l'ouvert +complémentaire de $Z(x+z,y)$ (c'est-à-dire du point +$(z:x:y)=(1:-1:0)$). Il faut donc trouver une autre équation, ou +plutôt une autre forme, sur un ouvert qui contienne ce point. Ce +n'est pas difficile : en se disant que de façon assez générale on a +$(x+z:y) = ((x+z)(x-z):y(x-z)) = (x^2-z^2:y(x-z)) = (-y^2:y(x-z)) = +(y:z-x)$, on va considérer $(z:x:y) \mapsto (y:z-x)$, qui est, cette +fois, défini sur le complémentaire de $Z(y,z-x)$, c'est-à-dire de du +point $(z:x:y) = (1:1:0)$. Le calcul qu'on vient de faire montre que +$(x+z:y) = (y:z-x)$ sur l'intersection des deux ouverts, donc ces deux +équations se recollent bien en un unique morphisme. + + % % |