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diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex index e89a2d4..b9f645c 100644 --- a/notes-mdi349.tex +++ b/notes-mdi349.tex @@ -980,6 +980,62 @@ de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$. \end{rmk} +% +\subsection{Morphismes de variétés algébriques} + +On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine} +dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski +$X$ de $k^d$. Pourquoi cette terminologie redondante ? Le terme +« fermé de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongée dans l'espace +affine $\mathbb{A}^d(k) := k^d$. Le terme de « variété algébrique + affine » insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses +propres fermés de Zariski et de ses propres fonctions régulières. On +a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau $\mathcal{O}(X)$ des +fonctions régulières, et, pour chaque $k$-algèbre, on a identifié +l'ensemble $X(A)$ des $A$-points de $X$ avec $\Hom_k(\mathcal{O}(X), +A)$. + +On veut maintenant définir des morphismes entre ces variétés +algébriques. Une fonction régulière doit être la même chose qu'un +morphisme vers la droite affine. On définit donc : +\begin{itemize} +\item un morphisme de $X$ vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de + dimension $e$ est la donnée de $e$ fonctions régulières sur $X$, + c'est-à-dire d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$, +\item un morphisme de $X$ vers le fermé de Zariski $Y = V(J)$ défini + dans l'espace affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J = + (g_1,\ldots,g_r)$ est la donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in + \mathcal{O}(X)^e$ comme ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes + $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$ (cela revient à demander + $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x)) = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ; +\item on dit qu'un tel morphisme envoie le point $x \in X$ sur le + point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point + $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in k^e$, qui se trouve appartenir à $Y$) ; + en pariculier, il définit une fonction $X(k) \to Y(k)$, et plus + généralement $X(A) \to Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$. +\end{itemize} + +À ce moment-là, on doit se rappeler le lemme de Yoneda : se donner +pour chaque $k$-algèbre $A$ une application $X(A) \to Y(A)$, +c'est-à-dire $\Hom_k(\mathcal{O}(X),A) \to \Hom_k(\mathcal{O}(Y),A)$, +quitte à vérifier des commutations aux morphismes $A \to A'$ qu'on +passera sous silence, c'est la même chose que se donner un morphisme +$\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$. On peut donc définir tout +simplement : + +\begin{center} +Un morphisme de $k$-variétés affines $X \to Y$ est la même chose qu'un +morphisme de $k$-algèbres $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$. +\end{center} + +Concrètement, avec les notations ci-dessus, le morphisme +$\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ serait celui qui envoie un élément +$h \in \mathcal{O}(Y)$ sur $h(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$. +Réci\-pro\-quement, donné un morphisme $\varphi\colon \mathcal{O}(Y) \to +\mathcal{O}(X)$ d'anneaux, le morphisme $X \to Y$ qui lui correspond +est celui qui à un point $x \in X$ associe le $y \in Y$ défini par +$h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h \in \mathcal{O}(Y)$. + % % |