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diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index 432c3a0..15bb854 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -1124,4 +1124,161 @@ variété algébrique affine telle qu'on l'a définie précédemment). % % % + +\section{L'espace projectif et les variétés quasiprojectives} + +\subsection{L'espace projectif sur un corps} + +Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^d(k)$ (ou juste +$\mathbb{P}^d$ si $k$ est algébriquement clos et sous-entendu) +l'ensemble des $(d+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$ +modulo la relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_d) \sim +(x'_0,\cdots,x'_d)$ ssi les vecteurs $(x_0,\cdots,x_d)$ et +$(x'_0,\cdots,x'_d)$ sont colinéaires. On note $(x_0:\cdots:x_d)$ +(certains auteurs préfèrent $[x_0,\ldots,x_d]$) la classe de +$(x_0,\ldots,x_d)$ pour cette relation d'équivalence. On peut voir +$\mathbb{P}^d(k)$ comme l'ensemble des droites vectorielles (=passant +par l'origine) de $k^{d+1}$. + +Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^d(k)$, selon +que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme +$(1:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ quelconques) ou bien +$(0:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ non tous nuls). Le point +$(x_1,\ldots,x_d)$ de $\mathbb{A}^d$ sera identifié au point +$(1:x_1:\cdots:x_d)$ de $\mathbb{P}^d$, tandis que les points de la +forme $(0:x_1:\ldots:x_d)$ sont appelés « points à l'infini » (et +collectivement, « hyperplan à l'infini »). On peut donc écrire +$\mathbb{P}^d(k) = \mathbb{A}^d(k) \cup \mathbb{P}^{d-1}(k)$ (réunion +disjointe de l'ensemble $Z(x_0)(k)$ des points où $x_0 \neq 0$ et de +celui $D(x_0)(k)$ des points où $x_0 = 0$) ; moralement, on aura envie +que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert dans $\mathbb{P}^d$ et +$\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire. Noter que le choix de +$x_0$ est arbitraire : on peut voir $\mathbb{P}^d$ comme réunion de +$d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$ (à savoir +$D(x_0),\ldots,D(x_d)$). + +% +\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$, + Nullstellensatz projectif} + +On veut voir $\mathbb{P}^d$ comme une variété algébrique (au moins +pour $k$ algébriquement clos pour le moment). Il faudra une notion +d'ouverts et une notion de fonctions régulières. + +On dit qu'un $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène de + degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le +même degré total $\ell$. L'intérêt de cette remarque est que si +$(x_0:\cdots:x_d) \in \mathbb{P}^d(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in +k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$ +ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de +$(x_0:\cdots:x_d)$. On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_d) +\in \mathbb{P}^d(k) : f(x_0,\ldots,x_d) = 0\}$ et $D(f)$ son +complémentaire. + +On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f +\in k[t_0,\ldots,t_d]$ la somme de tous ses monômes de degré +total $\ell$. Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties +homogènes. Le produit de deux polynômes homogènes de degrés +respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$. + +On dit qu'un idéal $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène} +lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne +signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes +homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit +constitué de polynômes homogènes). De façon équivalente, il s'agit +d'un idéal tel que pour tout $f\in I$, toute partie homogène de $f$ +est encore dans $I$. (Démonstration de l'équivalence : si toute +partie homogène d'un élément de $I$ appartient encore à $I$, en +prenant un ensemble quelconque de générateurs de $I$, les parties +homogènes de ceux-ci appartiennent encore à $I$ et sont encore +génératrices puisqu'elles engendrent les générateurs choisis, donc $I$ +admet bien un ensemble de générateurs homogènes ; réciproquement, si +$I$ est engendré par $f_1,\ldots,f_r$ homogènes de degrés +$\ell_1,\ldots,\ell_r$ et si $h$ appartient à $I$, disons $h = \sum_i +g_i f_i$, alors pour tout $\ell$, la partie homogène de degré $\ell$ +de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où +$g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré +$\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.) + +(Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque +$I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé +\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{d+1}$ est un +\emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties. L'ensemble $Z(I)$ +défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites +vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^d$.) + +Pour $I$ idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on définit $Z(I)$ +comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement, +d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant +un ensemble de générateurs homogènes de $I$. Les $Z(I)$ s'appellent +les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^d$. Inversement, si $E$ est +une partie de $\mathbb{P}^d$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal +(par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$ +s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq +E$). + +\begin{thm} +Si $k$ est un corps algébriquement clos : +\begin{itemize} +\item (Nullstellensatz faible projectif.) Pour $I$ un idéal homogène + de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans + $\mathbb{P}^d$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$ + contienne tous les monômes en $t_0,\ldots,t_d$ de degré total $\ell$ + (et, par conséquent, de tout degré plus grand). Un tel idéal + s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme]. +\item (Nullstellensatz projectif.) Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et + $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques, + décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux + de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et + les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part. +\item Ces bijections mettent en corrrespondance les idéaux homogènes + premiers de $k[t_0,\ldots,t_d]$ avec les fermés irréductibles + de $\mathbb{P}^d$. +\end{itemize} +\end{thm} + +\begin{rmk} +Pour qu'un idéal homogène $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ contienne tous +les monômes à partir d'un certain degré total $\ell$ (c'est-à-dire, +qu'il soit irrelevant), il faut et il suffit qu'il contienne tous les +$t_i^n$ à partir d'un certain $n$. (En effet, un sens est trivial, et +pour l'autre sens, si $I$ contient tous les $t_i^n$, alors il contient +tout monôme de degré $(d+1)n$, puisqu'un tel monôme contient au moins +un $t_i$ à la puissance $n$.) Comme il n'y a qu'un nombre fini des +$t_i$, on peut aussi intervertir les quantificateurs : c'est encore la +même chose que de dire que pour chaque $i$, l'idéal $I$ contient une +certaine puissance $t_i^{n_i}$ de $t_i$. +\end{rmk} + +\smallbreak + +Les ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$ sont bien sûr, par +définition, les complémentaires $U(I)$ des fermés de Zariski $Z(I)$. +Ils peuvent toujours s'écrire de la forme $D(f_1) \cup \cdots \cup +D(f_r)$ où $f_1,\ldots,f_r$ sont des polynômes homogènes en +$t_0,\ldots,t_d$. + + +% +\subsection{Fonctions régulières sur l'espace projectif} + +On veut voir $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$ comme un espace +affine $\mathbb{A}^d$ dans $\mathbb{P}^d$ (ici sur $k$). On sait +quelles sont les fonctions régulières dessus : ce sont les polynômes +sur $k$ en $d$ variables, qu'on doit ici considérer comme +$\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}$. De façon équivalente, il +s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{t_0^\ell}$ avec +$h \in k[t_0,\ldots,t_d]$ homogène de degré $\ell$. Plus +généralement, on veut définir les fonctions régulières sur $D(f)$ +dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est homogène de degré $D$, disons) comme +les fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{f^r}$ avec $h$ +homogène de degré $rD$ (ce qui assure que (1) l'évaluation d'une telle +fonction sur un élément de $\mathbb{P}^d(k)$ a un sens lorsque cet +élément appartient à $D(f)$, et (2) elle ne dépend pas du représentant +choisi). + + +% +% +% \end{document} |