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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 7cac809..9b3c61f 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2879,6 +2879,23 @@ Pour éviter les confusions, on note souvent $X_{k^{\alg}}$ la variété sur $k^{\alg}$ définie par $X$ (c'est-à-dire celle où on oublie la structure sur $k$ / l'action de Galois). +\medbreak + +Attention : si un idéal $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est premier +(cela signifie qu'il est radical et que la variété $X = Z(I) \subseteq +\mathbb{A}^d$ définie sur $k$ est irréductible au sens où elle n'est +pas réunion de deux fermés plus petits définis sur $k$), cela +n'implique pas que $I_{k^{\alg}}$ soit premier, c'est-à-dire que +$X_{k^{\alg}}$ soit irréductible ; par contre, la réciproque est +vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréducible} ou +\emph{géométriquement irréductible} lorsque $X_{k^{\alg}}$ est +irréductible. Contre-exemple : $Z(x^2+y^2)$ dans $\mathbb{A}^2$ +sur $\mathbb{R}$ n'est pas absolument irréductible puisque sur +$\mathbb{C}$ il est réunion des deux droites $Z(x+iy)$ et $Z(x-iy)$, +mais sur $\mathbb{R}$ il est irréductible car tout fermé défini +sur $\mathbb{R}$ qui contient une de ces droites doit contenir +l'autre. + \subsection{Morphismes entre icelles} |