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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 3b72c08..e5195b5 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -298,7 +298,7 @@ pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec $I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$). \end{lem} -\begin{prop}\label{existence-ideaux-maximaux} +\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals} Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans un idéal maximal. \end{prop} @@ -371,8 +371,8 @@ L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le strictement plus grand que le nilradical. Notons aussi la conséquence facile suivante de la -proposition \ref{existence-ideaux-maximaux}. -\begin{prop}\label{elements-non-inversibles-et-ideaux-maximaux} +proposition \ref{existence-maximal-ideals}. +\begin{prop}\label{non-invertible-elements-and-maximal-ideals} Dans un anneau $A$, l'ensemble des éléments non-inversibles est la réunion de tous les idéaux maximaux. \end{prop} @@ -382,7 +382,7 @@ Si c'est le cas, $x$ n'appartient à aucun idéal strict de $A$, et en particulier aucun idéal maximal. Réciproquement, si $x$ n'est pas inversible, l'idéal $(x)$ qu'il engendre est strict, donc inclus dans un idéal maximal $\mathfrak{m}$ -d'après \ref{existence-ideaux-maximaux}, donc $x$ est bien dans la +d'après \ref{existence-maximal-ideals}, donc $x$ est bien dans la réunion des idéaux maximaux. \end{proof} @@ -478,7 +478,7 @@ En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors $A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$. Comme un quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien : -\begin{defn}\label{algebre-de-type-fini} +\begin{defn}\label{finite-type-algebras} Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre) lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer} $B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive @@ -502,14 +502,13 @@ $A[t_1,\ldots,t_d]/I \buildrel\sim\over\to B$. On peut donc dire : une $A$-algèbre de type fini est un quotient de $A[t_1,\ldots,t_d]$ (pour un certain $d$). -\begin{cor}\label{algebre-de-type-fini-est-anneau-noetherien} +\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian} Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien. \end{cor} % -\subsection{Notes sur les morphismes} -\label{section-note-morphismes} +\subsection{Notes sur les morphismes}\label{subsection-note-morphisms} Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B @@ -628,7 +627,7 @@ anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente (en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme naturel $A \to A[S^{-1}]$). -\begin{prop}\label{proprietes-localise} +\begin{prop}\label{properties-localization} \begin{itemize} \item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro. @@ -673,7 +672,7 @@ $A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$. En particulier, lorsque $\Sigma$ est le singleton d'un élément $\sigma$, on note $A[\sigma^{-1}]$ ou $A[\frac{1}{\sigma}]$. -\begin{prop}\label{localise-inversant-un-element} +\begin{prop}\label{localization-inverting-one-element} Si $A$ est un anneau et $f\in A$ alors $A[\frac{1}{f}] \cong A[z]/(zf-1)$ (ici, $A[z]$ est l'anneau des polynômes en une indéterminée) par un isomorphisme envoyant $\frac{a}{f^n}$ sur la @@ -892,7 +891,7 @@ réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits que $Z(xy)$. -\begin{prop}\label{ferme-irreductible-ssi-ideal-premier} +\begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal} Un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ est irréductible si, et seulement si, l'idéal $\mathfrak{I}(E)$ est premier. \end{prop} @@ -958,7 +957,7 @@ Z(\mathfrak{m})$, ce qui conclut. En fait, dans le cours de cette démonstration, on a montré (dans le cas particulier où on s'est placé, mais c'est vrai en général) : -\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{ideaux-maximaux-des-algebres-de-polynomes} +\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{maximal-ideals-of-polynomial-algebras} Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_d)} := \{f : f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ @@ -988,7 +987,7 @@ prouver $f\in \surd I$. On vérifie facilement que ceci revient à montrer que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$ de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est l'idéal unité. Or $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$ -d'après \ref{localise-inversant-un-element}. Soit $J$ l'idéal +d'après \ref{localization-inverting-one-element}. Soit $J$ l'idéal engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que $Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$, @@ -1117,7 +1116,7 @@ pour tout morphisme de $k$-algèbres $\varphi$ : la collection de ces données s'appelle le \textbf{foncteur des points} de $X$. \begin{rmk} -D'après ce qu'on a expliqué en \ref{section-note-morphismes}, pour +D'après ce qu'on a expliqué en \ref{subsection-note-morphisms}, pour toute $k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ est en bijection avec $X(A)$ (la bijection envoyant un morphisme $\psi\colon @@ -1138,7 +1137,7 @@ fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$. \end{rmk} % -\subsection{Morphismes de variétés algébriques affines}\label{morphismes-varietes-algebriques-affines} +\subsection{Morphismes de variétés algébriques affines}\label{subsection-morphisms-of-affine-algebraic-varieties} On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine} dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski @@ -1331,7 +1330,7 @@ algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci dans $\mathbb{A}^d$. Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on -rappelle, cf. \ref{algebre-de-type-fini}, que cela signifie que $R$ +rappelle, cf. \ref{finite-type-algebras}, que cela signifie que $R$ est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments $x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier) @@ -1417,7 +1416,7 @@ les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts} une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une réunion d'une sous-famille d'entre eux). -\begin{prop}\label{recouvrement-par-ouverts-principaux} +\begin{prop}\label{covering-by-principal-open-sets} Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$ (pour $i \in \Lambda$ disons), alors $\bigcup_{i\in\Lambda} D(f_i) = X$ si et seulement si les $f_i$ engendrent l'idéal unité @@ -1480,9 +1479,9 @@ affine $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ (c'est-à-dire, sur $X(k)$) : \begin{itemize} \item $X$ est irréductible ssi $\mathcal{O}(X)$ est intègre - (cf. \ref{ferme-irreductible-ssi-ideal-premier}), + (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}), \item $X$ est toujours quasi-compact (découle - de \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux} : si $f_i$ engendrent + de \ref{covering-by-principal-open-sets} : si $f_i$ engendrent l'idéal unité, un sous-ensemble fini d'entre eux l'engendrent --- même sans utiliser le caractère noethérien de l'anneau), \item l'adhérence de Zariski d'une partie $E \subseteq X(k)$ est @@ -1567,7 +1566,7 @@ ainsi une suite de fermés strictement décroissante pour l'inclusion $X \supsetneq X_1 \supsetneq X_2 \supsetneq\cdots$, qui correspond à une suite strictement croissante d'idéaux (radicaux) dans $\mathcal{O}(X)$, ce qui est impossible car $\mathcal{O}(X)$ est -noethérien (cf. \ref{algebre-de-type-fini-est-anneau-noetherien}). +noethérien (cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}). On peut donc écrire $X = \bigcup_{i=1}^n X_i$, et quitte à jeter les $X_i$ déjà inclus dans un autre $X_j$ (et à répéter le processus si @@ -1619,11 +1618,11 @@ essentiellement, celles qui « évitent zéro » (ou « ne prennent pas la (pour $k$ algébriquement clos !) signifie $f \not\in \mathfrak{m}_x$ pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}_x$ (on sait d'après les résultats autour du Nullstellensatz -(cf. \ref{ideaux-maximaux-des-algebres-de-polynomes}) que tout idéal +(cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}) que tout idéal maximal de $\mathcal{O}(X)$ est de la forme $\mathfrak{m}_x := \{f : f(x) = 0\}$) ; or dire qu'un élément $f$ d'un anneau n'appartient à \emph{aucun} idéal maximal signifie qu'il n'appartient à aucun idéal -strict (cf. \ref{existence-ideaux-maximaux}), donc que l'idéal qu'il +strict (cf. \ref{existence-maximal-ideals}), donc que l'idéal qu'il engendre est l'idéal unité, c'est-à-dire que $f$ est \emph{inversible}. \underline{Moralité :} les morphismes $X \to U$ devraient être les éléments inversibles de $\mathcal{O}(X)$. @@ -1675,7 +1674,7 @@ désigne le morphisme naturel vers le localisé : \item les idéaux maximaux (resp. premiers) de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ sont en bijection avec les idéaux maximaux de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$ - (cf. \ref{proprietes-localise}) ; et si $\psi \colon D(f) \to \Spec + (cf. \ref{properties-localization}) ; et si $\psi \colon D(f) \to \Spec \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ désigne cette bijection, envoyant un point $x$ de $D(f) \subseteq X$, vu comme idéal maximal $\mathfrak{m}_x$ de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$, sur le @@ -1750,7 +1749,7 @@ fondamentale : \begin{prop} Si $X$ est une variété algébrique affine recouverte par des $D(f_i)$ -(c'est-à-dire, cf. \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux}, que les +(c'est-à-dire, cf. \ref{covering-by-principal-open-sets}, que les $f_i \in \mathcal{O}(X)$, qu'on pourra toujours supposer en nombre fini, engendrent l'idéal unité), alors : \begin{enumerate} @@ -2276,7 +2275,7 @@ l'ouvert principal $D(f)$ (intersection de $D(\tilde f)$, pour $\tilde f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ relevant $f$, avec $X$) ; les $D(f_i)$ recouvrent $X$ lorsque les $f_i$ engendrent un idéal irrelevant de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (résultat analogue -à \ref{recouvrement-par-ouverts-principaux} et qui découle de façon +à \ref{covering-by-principal-open-sets} et qui découle de façon analogue du Nullstellensatz projectif). \underline{Mais, une déception :} comme le mot « naïf » utilisé @@ -2978,7 +2977,7 @@ $\tau_3 = t_3/t_0$) : $\tau_2 = \tau_1^2$ et $\tau_3 = \tau_1^3$ conclure que la dimension de cet ouvert affine $C \cap D(t_0)$ est au moins $3-2 = 1$, en fait il est visiblement isomorphe à $\mathbb{A}^1$ via le morphisme $\tau \mapsto (\tau,\tau^2,\tau^3)$ considéré dans la -section \ref{morphismes-varietes-algebriques-affines}. (Attention, on +section \ref{subsection-morphisms-of-affine-algebraic-varieties}. (Attention, on ne peut pas conclure directement que la dimension de $C$ est $3$ à moins de donner une explication du fait que $C$ est irréductible.) Par symétrie des variables (remplacer $t_i$ par $t_{3-i}$ partout @@ -3101,7 +3100,7 @@ n'importe quoi qui sera considéré plus bas) est fixé/stable par $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$, il suffit de vérifier qu'il est fixé/stable par $\Frob_q$. -\begin{thm}\label{rationnel-ssi-fixe-par-galois} +\begin{thm}\label{rational-iff-fixed-by-galois} Si $k$ est un corps parfait de clôture algébrique $k^{\alg}$, un élément $x$ de $k^{\alg}$ appartient à $k$ si [et seulement si, mais ça c'est juste la définition de $\Gamma_k$] on a $\sigma(x) = x$ @@ -3147,7 +3146,7 @@ est galoisienne. \end{thm} La première partie du résultat suivant est une conséquence triviale -de \ref{rationnel-ssi-fixe-par-galois}, la seconde est beaucoup plus +de \ref{rational-iff-fixed-by-galois}, la seconde est beaucoup plus subtile. \begin{thm} Pour $k$ parfait : @@ -3304,7 +3303,7 @@ les termes de (=intervenant dans) ce polynôme. Commençons par la remarque suivante, qui est évidente, mais essentielle : -\begin{prop}\label{divisibilite-monomes} +\begin{prop}\label{divisibility-of-monomials} Si $s_1,\ldots,s_r$ sont des monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors pour chaque terme $c s$ de $g_1 s_1 + \cdots + g_r s_r$ (où $g_1,\ldots,g_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$) le monôme $s$ de ce terme est @@ -3376,7 +3375,7 @@ $S_0 \subseteq S$ qui engendre le même idéal $I$. Soit $s$ le plus petit élément de $S_0$ : on prétend que $s$ est aussi le plus petit élément de $S$. En effet, si $s' \in S$ alors $s' \in I$ donc $s'$ s'écrit comme combinaison d'éléments de $S_0$, mais alors -d'après \ref{divisibilite-monomes}, $s'$ est simplement multiple d'un +d'après \ref{divisibility-of-monomials}, $s'$ est simplement multiple d'un élément de $S_0$, et d'après le premier point, $s\preceq s'$, ce qui conclut. \end{proof} @@ -3493,7 +3492,7 @@ possible (pour $\preceq$) tel que $h \not\in (f_1,\ldots,f_r)$. Puisque $\init(h) \in \init(I)$, on peut écrire $\init(h) = g_1 \init(f_1) + \cdots + g_r \init(f_r)$ par l'hypothèse faite sur les $f_i$ (pour certains $g_1,\ldots,g_r$). -D'après \ref{divisibilite-monomes}, ceci montre que $\init(h) = c s +D'après \ref{divisibility-of-monomials}, ceci montre que $\init(h) = c s \init(f_i)$ pour un certain monôme $s$ et $c$ une constante. On a alors $s f_i \in I$, et $\init(c s f_i) = c s \init(f_i) = \init(h)$, donc $h - c s f_i$, qui appartient à $I$, a un terme initial de monôme @@ -3507,7 +3506,7 @@ les $\init(f)$ pour $f\in I$ qui engendrent $\init(I)$ on peut extraire un ensemble fini engendrant $\init(I)$ --- il s'agit d'une base de Gröbner de $I$. -\begin{algo}[algorithme de division]\label{algorithme-de-division} +\begin{algo}[algorithme de division]\label{division-algorithm} Soient $f,f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$ et $\preceq$ un ordre admissible sur les monômes. Alors il existe une écriture \[ @@ -3553,7 +3552,7 @@ $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner et $f \in (f_1,\ldots,f_r)$, comme on a aussi $\rho \in (f_1,\ldots,f_r)$, alors $\init(\rho) \in (\init(f_1),\ldots,\init(f_r))$, ce qui vu le fait qu'aucun monôme de $\rho$ n'est divisible par un des $\init(f_i)$, -n'est possible que si $\rho = 0$ (cf. \ref{divisibilite-monomes}) ; de +n'est possible que si $\rho = 0$ (cf. \ref{divisibility-of-monomials}) ; de même, si $\rho$ et $\rho'$ sont deux restes différents du même $f$, disons $f = g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r + \rho$ et $f = g'_1 f_1 + \cdots + g'_r f_r + \rho'$, alors $(g'_1-g_1) f_1 + \cdots + @@ -3611,7 +3610,7 @@ terme) des $(g_1,\ldots,g_r)$ tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r = 0$, ces $(g_1,\ldots,g_r)$ étant appelés des \textbf{relations} entre les $f_i$ (relation non-triviale si les $g_i$ ne sont pas tous nuls). -Soit $\rho_{i,j}$ le reste (au sens de \ref{algorithme-de-division}) +Soit $\rho_{i,j}$ le reste (au sens de \ref{division-algorithm}) de $f_{i,j}$ par rapport aux $f_1,\ldots,f_r$ (pour un ordre monomial $\preceq$) : si les $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner alors $\rho_{i,j} = 0$ puisque $f_{i,j} \in (f_1,\ldots,f_r)$. |