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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 6d90bbd..00c8c6d 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -3645,6 +3645,34 @@ tous les $\rho_{i,j}$ sont tous nuls, et le critère précédent permet de dire qu'on a bien une base de Gröbner. \end{proof} +\medbreak + +\textbf{Bases de Gröbner réduites.} + +\begin{defn} +Une base de Gröbner $f_1,\ldots,f_r$ est dite \textbf{réduite} +lorsque, pour $i\neq j$, le monôme du terme $\init(f_i)$ ne divise +aucun des monômes apparaissant dans $f_j$, et si, de plus, chacun des +termes $\init(f_i)$ est unitaire (=la constante devant le monôme +est $1$). +\end{defn} + +On peut facilement calculer une base de Gröbner réduite à partir d'une +base de Gröbner, en soustrayant, pour chaque $f_j$, chaque terme +divisible par un des $\init(f_i)$ (et en commençant par le plus grand +pour l'ordre monomial), le multiple de $f_i$ qui permet de l'annuler, +et en répétant cette opération aussi souvent que nécessaire (il est +clair que cela termine). Il faut, bien sûr, retirer tous les éléments +nuls, puis normaliser à $1$ la constante devant le monôme initial de +chaque $f_i$. + +\begin{prop} +Pour un idéal $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et un ordre +admissible $\preceq$, il existe une unique base de Gröbner réduite (on +l'appelle donc \emph{la} base de Gröbner réduite de $I$ pour cet +ordre). +\end{prop} + % |