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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index c87d682..1d219c1 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2595,7 +2595,7 @@ de degré $\ell$ en $x,y$, plus $z$ fois un polynôme de degré $\ell-1$ en $x,y$ : leur dimension est donc $2\ell+1$ (une base est donnée par $x^\ell,\penalty100 x^{\ell-1}y,\ldots,\penalty200 y^\ell,\penalty-100 x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$), -donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2(\ell+1)$. +donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2\ell+1$. % @@ -2700,8 +2700,8 @@ on convient que la dimension du vide est $-1$.) \begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]\label{hauptidealsatz} Soit $X$ une variété irréductible de dimension $d$ et $f \in \mathcal{O}(X)$ un élément qui n'est pas inversible (c'est-à-dire -$Z(f) \neq\varnothing$). Alors chaque composante irréductible de -$Z(f)$ est de dimension $d-1$. +$Z(f) \neq\varnothing$) et pas nul. Alors chaque composante +irréductible de $Z(f)$ est de dimension $d-1$. Variante projective : si $X$ est une variété irréductible de dimension $d$ dans $\mathbb{P}^e$ et $f$ homogène non constant (en @@ -2717,13 +2717,43 @@ c'est-à-dire que sur $k$ corps algébriquement clos, les $r$ équations $f_i=0$ ont une solution (non-nulle) commune. \end{cor} -De plus, $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est de dimension \emph{au moins} $d-r$. +De plus, $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est de dimension \emph{au moins} $e-r$. Il peut évidemment être de dimension plus grande (les $f_i$ pourraient être tous égaux, par exemple). Lorsqu'il est exactement de dimension -$d-r$, on dit que les $f_i$ sont \emph{en intersection complète} +$e-r$, on dit que les $f_i$ sont \emph{en intersection complète} (projective, globale). Lorsque c'est le cas, on peut être plus précis : le terme dominant de la fonction de Hilbert-Samuel de -$Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$. +$Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(e-r)!} \ell^{e-r}$. + +\begin{cor} +Si $X$ est une variété algébrique (quasiprojective) irréductible de +dimension $d$, alors le seul fermé $Y$ de $X$ tel que $\dim Y = d$ est +$X$ lui-même. Par ailleurs, il existe toujours des fermés +irréductibles $Y$ de dimension $d-1$ dans $X$. + +(Autrement dit, on peut définir la dimension de $X$ comme $1 + +\max\dim Y$ où le $\max$ est pris sur tous les fermés irréductibles +de $X$.) +\end{cor} + +\begin{thm} +Si $X$ et $Y$ sont des variétés algébriques (quasiprojectives), alors +$\dim (X\times Y) = \dim X + \dim Y$. (Remarque : si $X$ et $Y$ sont +irréductibles alors $X \times Y$ l'est.) + +Plus généralement : soit $f\colon Z\to X$ un morphisme de variétés +algébriques (quasiprojectives) irréductibles, surjectif (au sens où +pour tout $x \in X(k)$, pour $k$ algébriquement clos, il existe $z \in +Z(k)$ tel que $x = f(z)$, cf. la section suivante), et soit $d = \dim +X$ et $e = \dim Z$. Alors $e \geq d$, et de plus : +\begin{itemize} +\item Si $x \in X$, alors toute composante de $f^{-1}(x)$ (cf. section + suivante) est de dimension \emph{au moins} $e-d$. +\item Il existe un ouvert non vide (donc dense) $U \subseteq X$ tel + que $\dim f^{-1}(x) = e - d$ (au sens où toute composante + irréductible de $f^{-1}(x)$ a cette dimension) si $x \in U$. +\end{itemize} +\end{thm} % |