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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index d0f1423..b966a9d 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2441,7 +2441,11 @@ les dénomiateurs). On peut également donner une description « globale » des morphismes, mais elle est peu maniable : \begin{itemize} -\item Si $X$ est $Z(I)$ (où $I$ est un idéal homogène de +\item Si $X$ est $Z(I)$ (où $I$ est un idéal + homogène\footnote{Attention, ce genre d'écriture, ici comme + ailleurs, sous-entend toujours que l'idéal $I$ est radical, sauf + si on est prêt à considérer $X$ comme un schéma et pas juste comme + une variété, ce qui dépasse le cadre de ce cours.} de $k[t_0,\ldots,t_d]$), un morphisme $X \to \mathbb{P}^e$ peut se décrire comme une matrice rectangulaire avec $e+1$ colonnes (le nombre de lignes n'étant pas spécifié) dont les entrées sont dans @@ -2830,7 +2834,7 @@ l'espace tangent à $X$ en $x$ est le même que l'espace tangent en $x$ à n'importe quel voisinage affine de $x$, donc on peut faire tout calcul en supposant que $X$ est affine. Si $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ est défini\footnote{Ce genre d'affirmation, ici et ailleurs, - sous-entend toujours que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est réduit, sauf + sous-entend toujours que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est radical, sauf si on est prêt à considérer $X$ comme un schéma et pas juste comme une variété, ce qui dépasse le cadre de ce cours.} par les équations $f_i = 0$ dans $\mathbb{A}^d$ alors un point tangent à $X$ peut @@ -2935,6 +2939,33 @@ que prend la matrice des dérivés partielles). \medbreak +\begin{rmk} +Dans énormément d'énoncés, on a utilisé des expressions comme « soit + $X = Z(I)$ la variété (blabla) », qui sous-entendent que $I$ est un +idéal \emph{radical} (à savoir $I = \mathfrak{I}(X)$) : ceci est +nécessaire pour éviter de parler de schémas (qui seraient des objets +localement comme « $\Spec k[t_1,\ldots,t_d]/I$ » avec $I$ idéal non +nécessairement radical). L'inconvénient de cette approche est qu'à +peu près toute manipulation d'équations est subordonnée à la +vérification du fait que celles-ci engendrent un idéal radical, ce qui +est souvent fastidieux. + +Voici une bonne nouvelle : un « schéma » lisse est nécessairement +réduit (=est une variété) ; c'est-à-dire, dans un langage qu'on +comprend, que si $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$, qui ne sont +pas supposés \textit{a priori} engendrer un idéal radical, vérifient +la condition de lissité (=le rang de la matrice $\frac{\partial + f_i}{\partial t_j}$ vaut partout au moins $d - \dim X$, donc +exactement ce nombre, où $X$ est la variété définie par +$\surd(f_1,\ldots,f_r)$ ; et en particulier s'il vaut partout au moins +$d-r$), alors automatiquement l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est radical. + +(Par contre, dans ce contexte, on ne peut pas utiliser la proposition +précédente.) +\end{rmk} + +\medbreak + \textbf{Un exemple : la cubique gauche.} On reprend l'exemple étudié à plusieurs reprises de la cubique gauche, la variété $C$ définie dans $\mathbb{P}^3$ par $t_0 t_2 = t_1^2$, $t_1 t_3 = t_2^2$ et $t_0 t_3 = |