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diff --git a/notes-geoalg-2010.tex b/notes-geoalg-2010.tex index 1c30f6f..3611325 100644 --- a/notes-geoalg-2010.tex +++ b/notes-geoalg-2010.tex @@ -176,7 +176,7 @@ $\cos\theta,\sin\theta$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$), valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] = - \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de + \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$.}), permet de montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t \in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$). @@ -891,7 +891,7 @@ coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y) \in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 : x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des -abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits +abscisses) qui sont tous les deux strictement plus petits que $Z(xy)$. \begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal} @@ -1271,7 +1271,7 @@ k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$ par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to \mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto -x^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans +t^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans l'image de $f^*$. Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une bijection au niveau des $k$-points. @@ -1415,7 +1415,7 @@ $U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas. Les $D(f)$ s'appellent parfois \emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts} -(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former +(un ensemble d'ouverts stable par intersections finies est dit former une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une réunion d'une sous-famille d'entre eux). @@ -2557,7 +2557,7 @@ l'identité. Tout morphisme d'une variété projective connexe vers une variété affine est constant. (En particulier, toute fonction régulière sur une variété projective, c'est-à-dire morphisme vers $\mathbb{A}^1$, -est constant sur chaque composante connexe.) +est constante sur chaque composante connexe.) \end{thm} @@ -2797,7 +2797,7 @@ pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert). Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$, -et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si +et la question devient celle de définir l'image de $f$ : notamment, si $k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? @@ -2865,7 +2865,7 @@ clos), pour tout $x \in X(k)$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$. Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$ -(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que +(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension minimale que peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou \textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$. Lorsque tout point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit @@ -3089,7 +3089,7 @@ clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle de corps de sa clôture algébrique qui laissent $k$ fixe (i.e. $\sigma(x) = x$ pour tout $x\in k$). -\textbf{Exemples :} Si $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}}, +\textbf{Exemples :} $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}}, (z\mapsto\bar z)\}$ est le groupe cyclique d'ordre $2$. Si $k$ est algébriquement clos, $\Gamma_k$ est trivial. Si $k = \mathbb{F}_q$ est fini, $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$ contient au moins toutes les @@ -3232,7 +3232,7 @@ structure sur $k$ / l'action de Galois). pas réunion de deux fermés plus petits définis sur $k$), cela n'implique pas que $I_{k^{\alg}}$ soit premier, c'est-à-dire que $X_{k^{\alg}}$ soit irréductible ; par contre, la réciproque est -vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréducible} ou +vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréductible} ou \emph{géométriquement irréductible} lorsque $X_{k^{\alg}}$ est irréductible. Contre-exemple : $Z(x^2+y^2)$ dans $\mathbb{A}^2$ sur $\mathbb{R}$ n'est pas absolument irréductible puisque sur diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index f3b06d9..f6c8f1d 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -498,7 +498,7 @@ coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y) \in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 : x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des -abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits +abscisses) qui sont tous les deux strictement plus petits que $Z(xy)$. \begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal} @@ -806,7 +806,7 @@ k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$ par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to \mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto -x^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans +t^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans l'image de $f^*$. Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une bijection au niveau des $k$-points. @@ -906,7 +906,7 @@ $U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas. Les $D(f)$ s'appellent parfois \emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts} -(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former +(un ensemble d'ouverts stable par intersections finies est dit former une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une réunion d'une sous-famille d'entre eux). @@ -1316,7 +1316,7 @@ suivantes : \subsection{Variétés projectives et quasi\-projectives, morphismes}\label{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms} On appelle \textbf{variété algébrique projective}, -resp. \textbf{variété algébrique quasiprojective} un fermé de Zariski +resp. \textbf{variété algébrique quasiprojective}, un fermé de Zariski de l'espace projectif $\mathbb{P}^d$, resp. un ouvert de Zariski d'une telle variété (autrement dit, l'intersection d'un ouvert et d'un fermé de Zariski de $\mathbb{P}^d$). @@ -1486,7 +1486,7 @@ clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle de corps de sa clôture algébrique qui laissent $k$ fixe (i.e. $\sigma(x) = x$ pour tout $x\in k$). -\textbf{Exemples :} Si $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}}, +\textbf{Exemples :} $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}}, (z\mapsto\bar z)\}$ est le groupe cyclique d'ordre $2$. Si $k$ est algébriquement clos, $\Gamma_k$ est trivial. Si $k = \mathbb{F}_q$ est fini, $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$ contient au moins toutes les @@ -1631,7 +1631,7 @@ structure sur $k$ / l'action de Galois). pas réunion de deux fermés plus petits définis sur $k$), cela n'implique pas que $I_{k^{\alg}}$ soit premier, c'est-à-dire que $X_{k^{\alg}}$ soit irréductible ; par contre, la réciproque est -vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréducible} ou +vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréductible} ou \emph{géométriquement irréductible} lorsque $X_{k^{\alg}}$ est irréductible. Contre-exemple : $Z(x^2+y^2)$ dans $\mathbb{A}^2$ sur $\mathbb{R}$ n'est pas absolument irréductible puisque sur @@ -1707,7 +1707,7 @@ de passer à la clôture algébrique). Tout morphisme d'une variété projective connexe vers une variété affine est constant. (En particulier, toute fonction régulière sur une variété projective, c'est-à-dire morphisme vers $\mathbb{A}^1$, -est constant sur chaque composante connexe.) +est constante sur chaque composante connexe.) \end{thm} @@ -1814,7 +1814,7 @@ de $X$.) Soit $f\colon Z\to X$ un morphisme de variétés algébriques (quasiprojectives) irréductibles, surjectif (au sens où pour tout $x \in X$ il existe $z \in Z$ tel que $x = f(z)$, $x,z$ étant des points -sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement clos,, cf. la section +sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement clos, cf. la section suivante), et soit $d = \dim X$ et $e = \dim Z$. Alors $e \geq d$, et de plus : \begin{itemize} @@ -1840,7 +1840,7 @@ pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert). Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$, -et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, quel +et la question devient celle de définir l'image de $f$ : notamment, quel est l'ensemble des $y \in Y$ tels qu'il existe $x \in X$ ($x,y$ des points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ? @@ -1894,7 +1894,7 @@ corps $k$, pour tout $x \in X$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$. Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$ -(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que +(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension minimale que peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou \textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$. Lorsque tout point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit @@ -1957,7 +1957,7 @@ condition ouverte de Zariski. \begin{prop} Soit $X$ une variété quasiprojective : alors il existe un point lisse -de $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ --- par conséquent, sur il +de $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ --- par conséquent, il existe un ouvert dense de points lisses sur une variété quasiprojective irréductible. \end{prop} diff --git a/notes-geoalg-2012.tex b/notes-geoalg-2012.tex index 549b68b..4e8ae38 100644 --- a/notes-geoalg-2012.tex +++ b/notes-geoalg-2012.tex @@ -163,7 +163,7 @@ valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait tout anneau commutatif dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] = - \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de + \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$.}), permet de montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t \in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$). @@ -203,7 +203,7 @@ cercle $C(\mathbb{R})$ : ces fonctions s'appellent « polynômes $\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction (à valeurs dans $k$) sur \emph{n'importe quel} $C(k)$. On verra aussi plus loin qu'un élément de $C(k)$ peut se voir comme un morphisme d'anneaux -commutatif $\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to k$. +commutatifs $\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to k$. % @@ -713,7 +713,7 @@ coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y) \in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 : x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des -abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits +abscisses) qui sont tous les deux strictement plus petits que $Z(xy)$. \begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal} @@ -1021,7 +1021,7 @@ k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$ par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to \mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto -x^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans +t^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans l'image de $f^*$. Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une bijection au niveau des $k$-points. @@ -1121,7 +1121,7 @@ $U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas. Les $D(f)$ s'appellent parfois \emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts} -(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former +(un ensemble d'ouverts stable par intersections finies est dit former une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une réunion d'une sous-famille d'entre eux). @@ -1580,7 +1580,7 @@ suivantes : \subsection{Variétés projectives et quasi\-projectives, morphismes}\label{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms} On appelle \textbf{variété algébrique projective}, -resp. \textbf{variété algébrique quasiprojective} un fermé de Zariski +resp. \textbf{variété algébrique quasiprojective}, un fermé de Zariski de l'espace projectif $\mathbb{P}^d$, resp. un ouvert de Zariski d'une telle variété (autrement dit, l'intersection d'un ouvert et d'un fermé de Zariski de $\mathbb{P}^d$). @@ -1750,7 +1750,7 @@ clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle de corps de sa clôture algébrique qui laissent $k$ fixe (i.e. $\sigma(x) = x$ pour tout $x\in k$). -\textbf{Exemples :} Si $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}}, +\textbf{Exemples :} $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}}, (z\mapsto\bar z)\}$ est le groupe cyclique d'ordre $2$. Si $k$ est algébriquement clos, $\Gamma_k$ est trivial. Si $k = \mathbb{F}_q$ est fini, $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$ contient au moins toutes les @@ -1895,7 +1895,7 @@ structure sur $k$ / l'action de Galois). pas réunion de deux fermés plus petits définis sur $k$), cela n'implique pas que $I_{k^{\alg}}$ soit premier, c'est-à-dire que $X_{k^{\alg}}$ soit irréductible ; par contre, la réciproque est -vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréducible} ou +vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréductible} ou \emph{géométriquement irréductible} lorsque $X_{k^{\alg}}$ est irréductible. Contre-exemple : $Z(x^2+y^2)$ dans $\mathbb{A}^2$ sur $\mathbb{R}$ n'est pas absolument irréductible puisque sur @@ -1971,7 +1971,7 @@ de passer à la clôture algébrique). Tout morphisme d'une variété projective connexe vers une variété affine est constant. (En particulier, toute fonction régulière sur une variété projective, c'est-à-dire morphisme vers $\mathbb{A}^1$, -est constant sur chaque composante connexe.) +est constante sur chaque composante connexe.) \end{thm} @@ -2078,7 +2078,7 @@ de $X$.) Soit $f\colon Z\to X$ un morphisme de variétés algébriques (quasiprojectives) irréductibles, surjectif (au sens où pour tout $x \in X$ il existe $z \in Z$ tel que $x = f(z)$, $x,z$ étant des points -sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement clos,, cf. la section +sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement clos, cf. la section suivante), et soit $d = \dim X$ et $e = \dim Z$. Alors $e \geq d$, et de plus : \begin{itemize} @@ -2173,7 +2173,7 @@ pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert). Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$, -et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, quel +et la question devient celle de définir l'image de $f$ : notamment, quel est l'ensemble des $y \in Y$ tels qu'il existe $x \in X$ ($x,y$ des points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ? @@ -2227,7 +2227,7 @@ corps $k$, pour tout $x \in X$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$. Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$ -(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que +(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension minimale que peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou \textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$. Lorsque tout point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit @@ -2290,7 +2290,7 @@ condition ouverte de Zariski. \begin{prop} Soit $X$ une variété quasiprojective : alors il existe un point lisse -de $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ --- par conséquent, sur il +de $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ --- par conséquent, il existe un ouvert dense de points lisses sur une variété quasiprojective irréductible. \end{prop} |