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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 8e22890..2755d25 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -48,6 +48,8 @@ \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\init}{\operatorname{in}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +\newcommand{\divis}{\operatorname{div}} +\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} @@ -4034,7 +4036,7 @@ $\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ sur $\kappa(P)$ % \subsection{Morphismes entre courbes} -\begin{prop} +\begin{prop}\label{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective} Tout morphisme entre courbes non nécessairement lisses est soit constant ou surjectif. \end{prop} @@ -4224,7 +4226,7 @@ cf. \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} \textit{in fine}). \end{prop} -\begin{prop} +\begin{prop}\label{sum-of-ramification-degrees} Soit $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes sur $k$. Pour tout point $Q$ de $C$, on a \[ @@ -4276,6 +4278,105 @@ ramification en un point $P$ de $C$ tel que $f(P) = 0$ est $e_P = % +\subsection{Diviseurs sur une courbe} + +\begin{defn} +Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps parfait $k$. On appelle +\textbf{diviseur} sur $C$ une combinaison linéaire formelle (finie) +$\sum n_P (P)$, à coefficients dans $\mathbb{Z}$, de $k^{\alg}$-points +de $C$, qui soit stable par l'action du groupe de Galois +absolu $\Gal(k)$ (ou, si on préfère, une combinaison linéaire formelle +de « points fermés » de $C$, chacun étant vu comme la somme d'une +orbite galoisienne). + +On appelle \textbf{degré} du diviseur $\sum n_P (P)$ l'entier $\sum +n_P$. +\end{defn} + +Si $f \in k(C)$ n'est pas constant, on peut notamment considérer les diviseurs +\[ +\begin{array}{c} +f^*((0)) := \sum_{P\;:\;\ord_P(f) > 0} \ord_P(f)\, (P)\\ +f^*((\infty)) := \sum_{P\;:\;\ord_P(f) < 0} -\ord_P(f)\, (P)\\ +f^*((0)-(\infty)) = \divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)\\ +\end{array} +\] +appelés respectivement \textbf{diviseur des zéros}, \textbf{diviseur + des pôles} et \textbf{diviseur principal} définis par $f$ +(différence des deux premiers). Le contenu du +corollaire \ref{principal-divisors-have-degree-zero} est que ces +diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. + +Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non +constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, +on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle +\textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ +par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini +ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ +sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. +On peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en + avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme +$h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$. + +\begin{prop} +Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, +pour tout diviseur $D$ sur $C$ on a +\[ +\begin{array}{c} +h_* h^* D = (\deg h)\, D\\ +\end{array} +\] +\end{prop} +\begin{proof} +C'est une conséquence immédiate de \ref{sum-of-ramification-degrees} +(et du fait qu'un morphisme non-constants entre courbes est +surjectif !, +cf. \ref{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective}). +\end{proof} + +\begin{defn} +On appelle \textbf{principal} un diviseur (de degré zéro) de la forme +$\divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)$ pour une certaine +fonction $f \in k(C)$ non constante. Les diviseurs principaux forment +un sous-groupe du groupe des diviseurs (car $\divis(fg) = +\divis(f)+\divis(g)$, cf. \ref{properties-valuation}) : on dit que +deux divieurs sont \textbf{linéairement équivalents} lorsque leur +différence est un diviseur principal. Le groupe des diviseurs +(resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs principaux +(=modulo équivalence linéaire) s'appelle \textbf{groupe de Picard} +(resp. groupe de Picard de degré zéro) de la courbe $C$, +noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). +\end{defn} + +\textbf{Exemple :} Sur $\mathbb{P}^1$, pour tout diviseur $\sum n_P +(P)$ de degré zéro, on peut trouver une fraction rationnelle $\prod +(t-P)^{n_P}$ qui a les ordres $n_P$ à ceux des points $P$ qui sont +dans $\mathbb{A}^1$, et le degré à l'infini sera automatiquement le +bon puisque $\sum n_P = 0$. Ceci montre que \emph{tout diviseur de + degré zéro sur $\mathbb{P}^1$ est principal}, donc que +$\Pic^0(\mathbb{P}^1) = 0$, et $\Pic(\mathbb{P}^1) = \mathbb{Z}$. + +On a un morphisme de degré $\deg\colon \Pic(C) \to \mathbb{Z}$, dont +le noyau est $\Pic^0(C)$. Si la courbe $C$ vérifie $C(k) \neq +\varnothing$, c'est-à-dire qu'il existe $P$ un $k$-point sur $C$, +alors tout diviseur peut s'écrire comme somme de $n (P)$ et d'un +diviseur de degré zéro, et il est facile de voir que $\Pic(C) = +\Pic^0(C) \oplus \mathbb{Z}$ (où $\mathbb{Z}$ désigne +$\mathbb{Z}\cdot(P)$, le groupe des diviseurs de la forme $n (P)$). + +\emph{Attention :} Pour une fois, le slogan « rationnel = fixe par + Galois » n'est pas vérifié : quand $C$ est une courbe sur un corps +$k$ parfait non algébriquement clos, il faut bien distinguer le groupe +de Picard rationnel $\Pic C$ de $C$, c'est-à-dire les diviseurs +stables par Galois modulos ceux de la forme $\divis(f)$ avec $f \in +k(C)$, et le groupe de Picard fixé par Galois noté $(\Pic +C_{k^{\alg}})^{\Gal(k)}$, c'est-à-dire les classes des diviseurs $D$ +tels que $\sigma(D)$ soit linéairement équivalent à $D$ +(sur $k^{\alg}$) pour tout $\sigma \in \Gal(k)$. + + + +% % % \end{document} |