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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index f1776cb..8e22890 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -3847,7 +3847,7 @@ variété \emph{projective} $Y$ s'étend à $C$ tout entier. \bigbreak -\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.} Quand on considère les points +\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.}\label{remark-on-galois} Quand on considère les points d'une variété sur un corps $k$ parfait non algébriquement clos, il est parfois préférable de considérer les $k^{\alg}$-points séparément (qu'on peut appeler \emph{points géométriques} pour insister), parfois @@ -3864,11 +3864,11 @@ $i$ est le même que celui des polynômes réels s'annulant en $-i$, c'est l'idéal engendré par $t^2+1$). On appelle \emph{degré} d'un point fermé le nombre de points géométriques qui le constitue : c'est aussi le degré (=la dimension comme $k$-espace vectoriel) du corps -résiduel $\mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine et -$\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$. Certains -résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de degré $n$, -d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant une orbite -galoisienne). +résiduel $\kappa(P) = \mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine +et $\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$. +Certains résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de +degré $n$, d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant +une orbite galoisienne). @@ -4012,6 +4012,23 @@ fraction sur le dénominateur en question on se ramène à un problème d'approximation sur le numérateur. \end{proof} +\begin{prop}\label{dimension-of-space-of-jets} +Soit $P$ un $k^{\alg}$-point lisse d'une courbe $C$ non nécessairement +lisse sur un corps $k$, et pour $v\geq 0$ soit $\mathfrak{m}^v_P = \{f +\in k(C) : \ord_P(f) \geq v\}$ (idéal de $\mathcal{O}_{C,P}$). Alors +$\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ est un espace vectoriel de +dimension $v$ sur le corps $\kappa(P) := \mathcal{O}_{C,P} / +\mathfrak{m}_P$, donc $dv$ sur $k$, où $d$ est le degré de $P$, +c'est-à-dire (pour $k$ parfait) le nombre de conjugués de $P$ sous +l'action de Galois. +\end{prop} +\begin{proof} +Il existe une uniformisante $t$ de $C$ en $P$ : il n'est pas difficile +de voir que $1,t,t^2,\ldots,t^{v-1}$ forment une base de +$\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ sur $\kappa(P)$ +(cf. \ref{remark-on-galois} pour la dimension de $\kappa(P)$ sur $k$). +\end{proof} + % @@ -4185,7 +4202,7 @@ f$ pour tout $f \in k(C)$. On appelle $e_P$ l'\textbf{indice de ramification} de $h$ en $P$. \end{prop} -\begin{rmk} +\begin{rmk}\label{ramification-of-functions-as-morphisms} Si $h \in k(C)$ n'est pas constant, on peut considérer $h$ comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ correspondant à l'inclusion $k(t) \cong k(h) \subseteq k(C)$. En voyant $h$ comme $h^*(t)$, on voit que $e_P @@ -4229,7 +4246,31 @@ d'approximation \ref{approximation-lemma} permet de montrer que cette algèbre est le produit d'algèbres $\mathcal{O}(U)/\mathfrak{m}_P \mathcal{O}(U)$ où $\mathfrak{m}_P$ parcourt les idéaux maximaux tels que $h(P)=Q$ (un seul par orbite sous Galois), et la dimension de ce -produit est $\sum_{h(P)=Q} e_P$. +produit est $\sum_{h(P)=Q} e_P$ +d'après \ref{dimension-of-space-of-jets}. +\end{proof} + +\begin{cor}\label{principal-divisors-have-degree-zero} +Soit $C$ une courbe sur un corps $k$, et soit $f \in k(C)$ non +constant. Alors +\[ +\sum_P \ord_P(f) = 0 +\] +où la somme est prise sur tous les points $P$ de $C$. Plus +précisément, +\[ +\begin{array}{c} +\sum_{P\;:\;\ord_P(f)>0} \ord_P(f) = \deg f\\ +\sum_{P\;:\;\ord_P(f)<0} \ord_P(f) = -\deg f\\ +\end{array} +\] +\end{cor} +\begin{proof} +On a vu en \ref{ramification-of-functions-as-morphisms} que si $f$ est +vu comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$, alors son indice de +ramification en un point $P$ de $C$ tel que $f(P) = 0$ est $e_P = +\ord_P(f)$, et en un point $P$ tel que $f(P) = \infty$ est $e_P = +-\ord_P(f)$. La proposition précédente permet de conclure. \end{proof} |