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diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index bc12fc8..b6b5268 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -1863,7 +1863,7 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? % -\subsection{Vecteurs tangents et points lisses} +\subsection{Vecteurs tangents, points lisses, et différentielles} \label{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} Si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ est une variété affine où $I$ est @@ -1971,6 +1971,48 @@ reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible que prend la matrice des dérivés partielles). +\medbreak + +\textbf{Différentielle d'un morphisme.} Si $h\colon X\to Y$ est un +morphisme entre variétés quasiprojectives sur un corps algébriquement +clos $k$ et $x \in X(k)$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to +T_{h(x)} Y$ qui est définie de la façon suivante. Quitte à remplacer +$X$ par un voisinage affine de $x$ et $Y$ par un voisinage affine de +$h(x)$, on peut supposer que $X$ et $Y$ sont affines. Dans ce cadre, +si $X$ est défini par des équations\footnote{Ce genre de formulation + sous-entend non seulement que $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ mais, plus + fortement, que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est \emph{radical}, + c'est-à-dire que c'est $\mathfrak{I}(X)$.} $f_1=\cdots=f_r = 0$ +dans $\mathbb{A}^d$ (de sorte que $T_x X$ se voit comme l'ensemble des +$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial + t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$ +dans $\mathbb{A}^e$ (de sorte que $T_y Y$ se voit comme l'ensemble des +$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial + u_j}(y_1,\ldots,y_d)\, w_j = 0$), et le morphisme $h$ par des +polynômes $(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$) +envoyant $(x_1,\ldots,x_d)$ sur +$(h_1(x_1,\ldots,x_d),\ldots,\penalty-100 h_e(x_1,\ldots,x_d))$, alors +$dh_x$ envoie $(v_1,\ldots,v_d)$ sur $(w_1,\ldots,w_e)$ où $w_i = +\sum_{j=1}^d \frac{\partial h_i}{\partial t_j}\, v_j$ (et la condition +souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j \frac{\partial g_i}{\partial + u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$ est une conséquence de la formule des +dérivées composées appliquée à $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$ : on a +$\sum_{j=1}^e \frac{\partial g_i}{\partial u_j} \frac{\partial + h_j}{\partial t_l} = 0$). Cette application $dh_x$ est linéaire +(pour chaque $x$ donné) : on l'appelle \textbf{différentielle} du +morphisme $h$ au point $x$. + +\textbf{Lissité des morphismes.} On ne définira le concept de +morphisme lisse entre variétés quasiprojectives $X \to Y$ que lorsque +$Y$ elle-même est lisse. Plus exactement, on dit qu'un morphisme $X +\buildrel h\over\to Y$ est \emph{lisse} en un point $x \in X$ tel que +$Y$ soit lisse en $h(x)$, lorsque $dh_x \colon T_x X \to T_{h(x)} Y$ +est \emph{surjective}. On dit qu'un morphisme $X \to Y$, avec $Y$ +lisse, est lisse (partout) lorsque la différentielle est surjective en +tout point. Une conséquence importante de la lissité de $h$ est que +la fibre $h^{-1}(y)$ est elle-même lisse (en tant que variété, un +fermé à l'intérieur de $X$) pour chaque $y\in Y$. + % % |