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diff --git a/notes-geoalg-2010.tex b/notes-geoalg-2010.tex index a43ea85..cbd9e69 100644 --- a/notes-geoalg-2010.tex +++ b/notes-geoalg-2010.tex @@ -3957,8 +3957,8 @@ Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ : \begin{itemize} \item Pour tout $f \in k(C)$, il n'y a qu'un nombre fini de $P \in C(k^{\alg})$ tels que $\ord_P(f) \neq 0$. -\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $f$, alors $f \in k$ (la - fonction est constante). +\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $P \in C(k^{\alg})$, alors $f + \in k$ (la fonction est constante). \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} @@ -4219,7 +4219,7 @@ $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ -(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un +(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_{h(P)} C$ est un isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de @@ -4311,13 +4311,13 @@ diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, -on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle +on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(Q)} e_Q (Q)$ qu'on appelle \textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est -encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On +encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(f\circ h)$). On peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme $h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa @@ -4555,7 +4555,7 @@ Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := \divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) -est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim 0$, qui entraîne $l(D) = 1$. \end{proof} diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index 32baeca..f3b06d9 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -2239,8 +2239,8 @@ Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ : \begin{itemize} \item Pour tout $f \in k(C)$, il n'y a qu'un nombre fini de $P \in C(k^{\alg})$ tels que $\ord_P(f) \neq 0$. -\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $f$, alors $f \in k$ (la - fonction est constante). +\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $P \in C(k^{\alg})$, alors $f + \in k$ (la fonction est constante). \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} @@ -2501,7 +2501,7 @@ $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ -(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un +(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_{h(P)} C$ est un isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de @@ -2593,13 +2593,13 @@ diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, -on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle +on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(Q)} e_Q (Q)$ qu'on appelle \textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est -encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On +encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(f\circ h)$). On peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme $h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa @@ -2837,7 +2837,7 @@ Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := \divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) -est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim 0$, qui entraîne $l(D) = 1$. \end{proof} diff --git a/notes-geoalg-2012.tex b/notes-geoalg-2012.tex index a822bab..53d8b12 100644 --- a/notes-geoalg-2012.tex +++ b/notes-geoalg-2012.tex @@ -3010,8 +3010,8 @@ Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ : \begin{itemize} \item Pour tout $f \in k(C)$, il n'y a qu'un nombre fini de $P \in C(k^{\alg})$ tels que $\ord_P(f) \neq 0$. -\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $f$, alors $f \in k$ (la - fonction est constante). +\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $P \in C(k^{\alg})$, alors $f + \in k$ (la fonction est constante). \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} @@ -3272,7 +3272,7 @@ $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ -(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un +(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_{h(P)} C$ est un isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de @@ -3344,8 +3344,8 @@ absolu $\Gal(k)$ (ou, si on préfère, une combinaison linéaire formelle de « points fermés » de $C$, chacun étant vu comme la somme d'une orbite galoisienne). -On appelle \textbf{degré} du diviseur $\sum n_P (P)$ l'entier $\sum -n_P$. +On appelle \textbf{degré} du diviseur $\sum_{P \in C} n_P \cdot (P)$ +l'entier $\sum_{P \in C} n_P$. \end{defn} Si $f \in k(C)$ n'est pas constant, on peut notamment considérer les diviseurs @@ -3363,19 +3363,19 @@ corollaire \ref{principal-divisors-have-degree-zero} est que ces diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non -constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, -on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle -\textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ -par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini -ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ -sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. -Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est -encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On -peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en - avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme -$h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa -moins évident, que l'image directe d'un diviseur principal est un -diviseur principal. +constant entre courbes, et $D = \sum_{P\in C} n_P \cdot (P)$ un +diviseur sur $C$, on définit $h^*(D) = \sum_{Q\in C'} n_{h(Q)} e_Q +\cdot (Q)$ qu'on appelle \textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en + arrière}) de $D$ par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros +$f^*((0))$ défini ci-dessus est bien le tiré en arrière du +diviseur $(0)$ sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to +\mathbb{P}^1$. Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur +principal est encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = +\divis(f\circ h)$). On peut aussi définir l'\textbf{image directe} +(ou \textbf{poussé en avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_{Q\in + C'} n_Q \cdot (Q)$ sur $C'$ comme $h_*(D') = \sum_{Q\in C'} n_Q +\cdot (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa moins évident, que +l'image directe d'un diviseur principal est un diviseur principal. \begin{prop} Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, @@ -3395,7 +3395,7 @@ cf. \ref{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective}). \begin{defn} On appelle \textbf{principal} un diviseur (de degré zéro) de la forme -$\divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)$ pour une certaine +$\divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\cdot (P)$ pour une certaine fonction $f \in k(C)$ non constante. Les diviseurs principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs (car $\divis(fg) = \divis(f)+\divis(g)$, cf. \ref{properties-valuation}) : on dit que @@ -3408,10 +3408,10 @@ courbe $C$, noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). \end{defn} \textbf{Exemple :} Sur $\mathbb{P}^1$, pour tout diviseur $\sum n_P -(P)$ de degré zéro, on peut trouver une fraction rationnelle $\prod -(t-P)^{n_P}$ qui a les ordres $n_P$ à ceux des points $P$ qui sont -dans $\mathbb{A}^1$, et le degré à l'infini sera automatiquement le -bon puisque $\sum n_P = 0$. Ceci montre que \emph{tout diviseur de +\cdot (P)$ de degré zéro, on peut trouver une fraction rationnelle +$\prod (t-P)^{n_P}$ qui a les ordres $n_P$ à ceux des points $P$ qui +sont dans $\mathbb{A}^1$, et le degré à l'infini sera automatiquement +le bon puisque $\sum n_P = 0$. Ceci montre que \emph{tout diviseur de degré zéro sur $\mathbb{P}^1$ est principal}, donc que $\Pic^0(\mathbb{P}^1) = 0$, et $\Pic(\mathbb{P}^1) = \mathbb{Z}$. @@ -3421,7 +3421,8 @@ le noyau est $\Pic^0(C)$. Si la courbe $C$ vérifie $C(k) \neq alors tout diviseur peut s'écrire comme somme de $n (P)$ et d'un diviseur de degré zéro, et il est facile de voir que $\Pic(C) = \Pic^0(C) \oplus \mathbb{Z}$ (où $\mathbb{Z}$ désigne -$\mathbb{Z}\cdot(P)$, le groupe des diviseurs de la forme $n (P)$). +$\mathbb{Z}\cdot(P)$, le groupe des diviseurs de la forme $n\cdot +(P)$). \emph{Attention :} Pour une fois, le slogan « rationnel = fixe par Galois » n'est pas vérifié : quand $C$ est une courbe sur un corps @@ -3431,10 +3432,20 @@ stables par Galois modulos ceux de la forme $\divis(f)$ avec $f \in k(C)$, et le groupe de Picard fixé par Galois noté $(\Pic C_{k^{\alg}})^{\Gal(k)}$, c'est-à-dire les classes des diviseurs $D$ tels que $\sigma(D)$ soit linéairement équivalent à $D$ -(sur $k^{\alg}$) pour tout $\sigma \in \Gal(k)$. Néanmoins, certains -auteurs appellent (à tort) $\Pic C$ ce deuxième groupe (d'autres -encore appellent $\Pic C$ tout le groupe de Picard géométrique $\Pic -C_{k^{\alg}}$) : il faut donc faire attention à qui utilise quoi. +(sur $k^{\alg}$) pour tout $\sigma \in \Gal(k)$. (Un exemple de +situation où il y a une différence est celui de la conique sans points +$\{t_0^2 + t_1^2 + t_2^2 = 0\} \subset \mathbb{P}^2_{\mathbb{R}}$ : +les diviseurs rationnels sont tous de degré pair, donc $\Pic C$ est le +sous-groupe $2\mathbb{Z}$ si on identifie $\Pic C_{\mathbb{C}}$ à +$\mathbb{Z}$ via le degré, sur lequel $\Gamma_{\mathbb{R}}$ opère +trivialement.) Certains auteurs appellent (à tort) $\Pic C$ ce +deuxième groupe (d'autres encore appellent $\Pic C$ tout le groupe de +Picard géométrique $\Pic C_{k^{\alg}}$) : il faut donc faire attention +à qui utilise quoi. Cependant, cette distinction ne doit pas nous +inquiéter, parce qu'on peut montrer que $\Pic C$ coïncide bien avec le +groupe $(\Pic C_{k^{\alg}})^{\Gal(k)}$ des invariants sous Galois +lorsque $k$ est un corps fini \emph{ou bien} que $C(k) \neq +\varnothing$ (=la courbe a un point rationnel). @@ -3499,8 +3510,8 @@ où $t \in k(C)$ est tel que $\ord_P(t) = 1$ (=est une uniformisante en $P$). Cette définition ne dépend pas du choix de $t$. Si $\omega \neq 0$, le diviseur $\divis(\omega) := \sum_P -\ord_P(\omega) (P)$ s'appelle \textbf{diviseur canonique} de la forme -différentielle $\omega$. +\ord_P(\omega)\cdot (P)$ s'appelle \textbf{diviseur canonique} de la +forme différentielle $\omega$. \end{defn} La définition de $\ord_P(\omega)$ ne dépend pas du choix de $t$, car @@ -3562,10 +3573,10 @@ Ceci signifie que la classe canonique $K$ sur $C$ est \emph{nulle}. \begin{defn} Un diviseur $D$ sur une courbe $C$ est dit \textbf{effectif}, noté $D \geq 0$, lorsque $D$ est combinaison de points à coefficients -positifs : $D = \sum n_P (P)$ avec $n_P \geq 0$ pour tout $P$. +positifs : $D = \sum n_P\cdot (P)$ avec $n_P \geq 0$ pour tout $P$. -Si $D = \sum n_P (P)$ est un diviseur (non nécessairement effectif) -sur une courbe $C$, on note $\mathscr{L}(D)$ ou parfois +Si $D = \sum n_P\cdot (P)$ est un diviseur (non nécessairement +effectif) sur une courbe $C$, on note $\mathscr{L}(D)$ ou parfois $\mathcal{O}(D)$ le $k$-espace vectoriel $\{f \in k(C) : \divis(f)+D \geq 0\}$ des fonctions rationnelles sur $C$ vérifiant $\ord_P(f) \geq -n_P$ pour tout point $P$ de $C$. (S'il faut lui donner un nom, c'est @@ -3608,7 +3619,7 @@ Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := \divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) -est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim 0$, qui entraîne $l(D) = 1$. \end{proof} @@ -3707,8 +3718,9 @@ morphisme non-constant de courbes, alors l'image réciproque par $f$ de tout ouvert affine de $C_0$ est affine. Soit $P$ un point du complémentaire de $U$ : le théorème de -Riemann-Roch, et notamment le corollaire \ref{degree-of-canonical-divisor}, montre que si $n$ -est assez grand, alors $l(n(P)) > 1$, autrement dit, il existe une +Riemann-Roch, et notamment le +corollaire \ref{degree-of-canonical-divisor}, montre que si $n$ est +assez grand, alors $l(n\cdot (P)) > 1$, autrement dit, il existe une fonction $f \in k(C)$ non constante et régulière partout sauf en $P$ (où elle ne peut pas être régulière). En considérant $f$ comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$, on voit alors que $U' := C |