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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 2755d25..a2d6c92 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -4377,6 +4377,106 @@ tels que $\sigma(D)$ soit linéairement équivalent à $D$ % +\subsection{Différentielles} + +\begin{prop} +Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$. Il existe un +$k(C)$-espace vectoriel de dimension $1$, noté\footnote{Notation + abusive, en fait. Une bonne notation serait $\Omega^1_{C/k} + \otimes_{\mathcal{O}_C} k(C)$, mais c'est un peu encombrant.} +$\Omega^1_C$ et appelé \textbf{espace des (formes) différentielles + méromorphes} sur $C$, et une application $k$-linéaire $d\colon k(C) +\to \Omega^1_C$, vérifiant les conditions suivantes : +\begin{itemize} +\item on a $dc = 0$ pour $c \in k$, +\item on a $d(fg) = f\,dg + g\,df$ pour $f,g\in k(C)$, +\item si $t \in k(C)$ vérifie $\ord_P(t) = 1$ en au moins un + point\footnote{Si $k$ est de caractéristique zéro, cette condition + est réalisée dès que $t$ n'est pas constant.} alors $dt \neq 0$, +\end{itemize} +et ces conditions caractérisent à isomorphisme près $\Omega^1_C$ muni +de l'application $d\colon k(C) \to \Omega^1_C$. +\end{prop} + +La moralité est que $\frac{df}{dt}$ a un sens, comme élément de +$k(C)$, dès que $f$ et $t$ sont deux éléments de $k(C)$ et que $t$ est +une uniformisante en au moins un point. + +\textbf{Remarque :} On peut relier $\frac{df}{dt} \in k(C)$ à ce qui a +été fait en \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} de la +façon suivante : si $Q$ est un point de $C$ tel que $t$ et $f$ soient +régulières en $Q$, on peut voir $t$ et $f$ comme deux morphismes $U +\to \mathbb{A}^1$ pour un certain voisinage (affine, disons) $U$ +de $Q$, on a des applications linéaires $dt_Q\colon T_Q C \to +k^{\alg}$ et $df_Q\colon T_Q C \to k^{\alg}$, et la valeur de +$\frac{df}{dt}$ en $Q$ est le rapport entre ces deux applications +linéaires (ceci a bien un sens car ce sont des applications entre +espaces de dimension $1$). + +\begin{prop}\label{order-of-derivative} +Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$, $P$ un point de $C$ et +$t$ une uniformisante en $P$ (i.e., $\ord_P(t) = 1$). Pour $f \in +k(C)$, on a +\begin{itemize} +\item $\ord_P(df/dt) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$, et +\item $\ord_P(df/dt) \geq 0$ si $\ord_P(f) = 0$. +\end{itemize} +\end{prop} + +(Ces propriétés découlent des propriétés correspondantes des +polynômes.) + +\begin{defn} +Si $C$ est une courbe (lisse) sur un corps $k$, $P$ un point de $C$ +(sur $k^{\alg}$) et $\omega \in \Omega^1_C$, on définit +\[ +\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt) +\] +où $t \in k(C)$ est tel que $\ord_P(t) = 1$ (=est une uniformisante +en $P$). Cette définition ne dépend pas du choix de $t$. + +Si $\omega \neq 0$, le diviseur $\divis(\omega) := \sum_P +\ord_P(\omega) (P)$ s'appelle \textbf{diviseur canonique} de la forme +différentielle $\omega$. +\end{defn} + +La définition de $\ord_P(\omega)$ ne dépend pas du choix de $t$, car +si $t' = u t$ où $\ord_P(u) = 0$, alors $dt'/dt = u + t\,(du/dt)$, et +$\ord_P(du/dt) \geq 0$ d'après \ref{order-of-derivative} donc +$\ord_P(t\,(du/dt)) \geq 1$, ce qui assure $\ord_P(dt'/dt) = 0$, et +donc $\ord_P(\omega/dt') = \ord_P(\omega/dt)$. + +La définition qu'on vient de faire permet de reformuler la +proposition \ref{order-of-derivative} en : + +\begin{prop}\label{order-of-differential} +Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$, et $P$ un point de $C$. +Pour $f \in k(C)$, on a +\begin{itemize} +\item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$, et +\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) = 0$. +\end{itemize} +\end{prop} + +\textbf{Exemple :} Soit $t$ la coordonnée affine sur $\mathbb{A}^1$, +vue comme élément de $k(\mathbb{P}^1) = k(t)$. Alors $dt$ a pour +ordre $0$ en tout $P \neq \infty$ (en $P=0$ c'est clair d'après la +proposition qui précède, et en tout autre $P \in \mathbb{A}^1$ on peut +remarquer que $dt = d(t-P)$ d'après les règles de calcul, donc de même +$dt$ est d'ordre $0$) ; en $\infty$, en revanche, son ordre est $-2$ +puisque l'ordre de $t$ est $-1$. On a donc $\divis(dt) = -2(\infty)$. + +\medbreak + +La classe de $\divis(\omega)$ dans $\Pic(C)$ ne dépend pas du choix +de $\omega \neq 0$, puisque visiblement $\divis(f\omega) = \divis(f) + +\divis(\omega)$. Cette classe s'appelle la \textbf{classe canonique} +dans $\Pic(C)$. On vient par exemple de voir que la classe canonique +de $\mathbb{P}^1$ est de degré $-2$. + + + +% % % \end{document} |