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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index a2d6c92..da523ff 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2564,7 +2564,7 @@ est constant sur chaque composante connexe.) % \subsection{Le polynôme de Hilbert-Samuel} -\begin{thm} +\begin{thm}\label{hilbert-samuel-polynomial} Soit $X$ une variété projective dans $\mathbb{P}^d$ (sur un corps $k$). Alors pour tout $\ell\in\mathbb{Z}$, le $k$-espace vectoriel $\mathcal{O}(\ell)(X)$, également noté @@ -3950,7 +3950,7 @@ conjugués par Galois (cf. ci-dessus) : on va voir un résultat plus précis affirmant qu'elles sont, en fait, aussi indépendantes que possible (\ref{approximation-lemma} ci-dessous). -\begin{prop} +\begin{prop}\label{basic-ord-facts} Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ : \begin{itemize} \item Pour tout $f \in k(C)$, il n'y a qu'un nombre fini de $P \in @@ -4340,12 +4340,12 @@ $\divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)$ pour une certaine fonction $f \in k(C)$ non constante. Les diviseurs principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs (car $\divis(fg) = \divis(f)+\divis(g)$, cf. \ref{properties-valuation}) : on dit que -deux divieurs sont \textbf{linéairement équivalents} lorsque leur -différence est un diviseur principal. Le groupe des diviseurs -(resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs principaux -(=modulo équivalence linéaire) s'appelle \textbf{groupe de Picard} -(resp. groupe de Picard de degré zéro) de la courbe $C$, -noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). +deux divieurs sont \textbf{linéairement équivalents} (notation : $D +\sim D'$) lorsque leur différence est un diviseur principal. Le +groupe des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les +diviseurs principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle +\textbf{groupe de Picard} (resp. groupe de Picard de degré zéro) de la +courbe $C$, noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). \end{defn} \textbf{Exemple :} Sur $\mathbb{P}^1$, pour tout diviseur $\sum n_P @@ -4471,8 +4471,131 @@ puisque l'ordre de $t$ est $-1$. On a donc $\divis(dt) = -2(\infty)$. La classe de $\divis(\omega)$ dans $\Pic(C)$ ne dépend pas du choix de $\omega \neq 0$, puisque visiblement $\divis(f\omega) = \divis(f) + \divis(\omega)$. Cette classe s'appelle la \textbf{classe canonique} -dans $\Pic(C)$. On vient par exemple de voir que la classe canonique -de $\mathbb{P}^1$ est de degré $-2$. +dans $\Pic(C)$ (très souvent notée $K$). On vient par exemple de voir +que la classe canonique de $\mathbb{P}^1$ est de degré $-2$. + + + +% +\subsection{Le théorème de Riemann-Roch} + +\begin{defn} +Un diviseur $D$ sur une courbe $C$ est dit \textbf{effectif}, noté $D +\geq 0$, lorsque $D$ est combinaison de points à coefficients +positifs : $D = \sum n_P (P)$ avec $n_P \geq 0$ pour tout $P$. + +Si $D = \sum n_P (P)$ est un diviseur (non nécessairement effectif) +sur une courbe $C$, on note $\mathscr{L}(D)$ ou parfois +$\mathcal{O}(D)$ le $k$-espace vectoriel $\{f \in k(C) : \divis(f)+D +\geq 0\}$ des fonctions rationnelles sur $C$ vérifiant $\ord_P(f) \geq +-n_P$ pour tout point $P$ de $C$. (S'il faut lui donner un nom, c'est +« l'(ensemble des sections globales du) faisceau associé à $D$ ».) +\end{defn} + +\begin{rmk} +Si $D$ et $D'$ sont linéairement équivalents, alors $\mathscr{L}(D) +\cong \mathscr{L}(D')$ comme $k$-espaces vectoriels. En effet, si $D += D' + \divis(g)$ et $f \in \mathscr{L}(D)$ alors $\divis(fg) + D' = +\divis(f) + D \geq 0$ donc $fg \in \mathscr{L}(D')$ et réciproquement. +On peut donc considérer que $\mathscr{L}(D)$ ne dépend que de la +classe de $D$ dans $\Pic(C)$. + +D'autre part, l'ensemble $\{\omega \in \Omega^1_C : \divis(\omega) +\geq 0\}$ (des différentielles « holomorphes ») peut être identifié à +$\mathscr{L}(K)$ pour les mêmes raisons. (Et plus généralement, +$\mathscr{L}(K-D)$ peut être identifié à $\{\omega \in \Omega^1_C : +\divis(\omega)-D \geq 0\}$.) +\end{rmk} + +\begin{prop} +Le $k$-espace vectoriel $\mathscr{L}(D)$ est de dimension finie. +\end{prop} + +On note $l(D)$ cette dimension. Notons par exemple que $l(0) = 1$ (le +diviseur nul, à ne pas confondre avec le diviseur $(0)$ +sur $\mathbb{P}^1$ !), puisque $\mathscr{L}(0) = \mathcal{O}(C) = k$ +(les seules fonctions régulières partout sont les constantes, +d'après \ref{basic-ord-facts}). + +\begin{prop}\label{negative-degree-divisors-have-no-sections} +\begin{itemize} +\item Si $\deg D < 0$ alors $l(D) = 0$. +\item Si $\deg D = 0$ et $l(D) \neq 0$ alors $l(D) = 1$ et $D \sim 0$. +\end{itemize} +\end{prop} +\begin{proof} +Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := +\divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le +degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le +degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim +0$, qui entraîne $l(D) = 1$. +\end{proof} + +\begin{thm}[Riemann-Roch] +Il existe un entier $g \geq 0$, appelé \textbf{genre} de $C$ tel que +pour tout diviseur $D$ on ait, en notant $K$ un diviseur canonique : +\[ +l(D) - l(K-D) = \deg D + 1 - g +\] +\end{thm} + +\begin{cor} +\begin{itemize} +\item Pour $K$ un diviseur canonique sur une courbe $C$, on a : +\[ +\begin{array}{c} +l(K) = g\\ +\deg(K) = 2g-2\\ +\end{array} +\] +\item Si $D$ est un diviseur avec $\deg D > 2g-2$, alors $l(D) = \deg + D + 1 - g$. +\end{itemize} +\end{cor} +\begin{proof} +Pour la première affirmation, appliquer Riemann-Roch à $D=0$ donne +$1-l(K) = 0+1-g$, d'où $l(K) = g$ ; puis à $D=K$ donne $g-1 = \deg K + +1 - g$ d'où $\deg K = 2g-2$. Pour la seconde affirmation, on utilise +\ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} pour conclure que +$l(K-D) = 0$. +\end{proof} + +\begin{cor} +Si $C$ est une courbe, tout ouvert $U$ de $C$ autre que $C$ tout +entier est affine. (Cf. \ref{approximation-lemma} pour un contexte +utile de ce résultat.) +\end{cor} +\begin{proof}[Démonstration (partielle)] +Le cas $U=\varnothing$ est vrai (on a $U = \Spec 0$ où $0$ désigne +l'anneau nul) mais inintéressant : supposons donc $U$ non vide. + +On admet\footnote{Il n'y a pas d'arnaque : c'est là un résultat + beaucoup plus facile et moins profond que Riemann-Roch ; il s'agit + de dire que $f$ est un morphisme « fini », donc en particulier + « affine » c'est-à-dire que l'image réciproque d'un ouvert affine + est affine.} le résultat suivant : si $f \colon C \to C_0$ est un +morphisme non-constant de courbes, alors l'image réciproque par $f$ de +tout ouvert affine de $C_0$ est affine. + +Soit $P$ un point du complémentaire de $U$ : le théorème de +Riemann-Roch, et notamment le corollaire précédent, montre que si $n$ +est assez grand, alors $l(n(P)) > 1$, autrement dit, il existe une +fonction $f \in k(C)$ non constante et régulière partout sauf en $P$ +(où elle ne peut pas être régulière). En considérant $f$ comme un +morphisme $C \to \mathbb{P}^1$, on voit alors que $U' := C +\setminus\{P\} = f^{-1}(\mathbb{A}^1)$, et d'après le résultat admis, +$U'$ est affine. Le lemme d'approximation \ref{approximation-lemma} +montre que si $Q_1,\ldots,Q_s$ sont les points de $U'\setminus U$, il +existe une fonction $h$ ayant un pôle d'ordre $1$ en chacun des $Q_i$ +et régulière sur tout $U \setminus \{Q_i\}$ ; si de plus on exige que +$h$ ait un zéro d'ordre très élevé (c'est-à-dire supérieur à $s$) en +un quelconque autre point $R$ (ce que le lemme d'approximation permet +toujours de faire), on assure que $h$ aura aussi un pôle en $P$ +d'après \ref{principal-divisors-have-degree-zero}. Autrement dit, +ceci assure que $U = h^{-1}(\mathbb{A}^1)$ (en voyant de nouveau $h$ +comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$), ce qui conclut. +\end{proof} |