diff options
Diffstat (limited to 'controle-2010.tex')
| -rw-r--r-- | controle-2010.tex | 165 |
1 files changed, 155 insertions, 10 deletions
diff --git a/controle-2010.tex b/controle-2010.tex index 72fe965..59b77a2 100644 --- a/controle-2010.tex +++ b/controle-2010.tex @@ -82,6 +82,13 @@ les variables dans l'ordre $x \prec y \prec z$. Écrire dans l'ordre croissant, pour cet ordre, les monômes $1$, $x$, $y$, $z$, $x^2$, $y^2$, $z^2$, $x^2 z$, $x^4$. +\begin{corrige} +On a $1 \prec x \prec x^2 \prec x^4 \prec y \prec y^2 \prec z \prec +x^2 z \prec z^2$. +\end{corrige} + +\medbreak + \textbf{2.} On considère dans l'anneau $k[x,y,z]$ l'idéal $I$ engendré par les deux polynômes \[ @@ -101,11 +108,47 @@ et $f_2$. Quel est le reste (standard) de $f_3$ par rapport à $f_1,f_2$ pour l'ordre monomial $\preceq$ ? Les polynômes $f_1,f_2$ sont-ils une base de Gröbner (de l'idéal $I$) ? +\begin{corrige} +Comme $f_3 = f_1 - f_2$ on a $f_3 \in (f_1,f_2) = I$ donc $(f_1,f_3) +\subseteq (f_1,f_2)$, mais dans l'autre sens $f_2 = f_1 - f_3 \in +(f_1,f_3)$ donc $(f_1,f_2) \subseteq (f_1,f_3)$, ce qui prouve +l'égalité. + +On a $f_3 = 2z + x^2 - 1$ : aucun de ses monômes ($z$, $x^2$ ou $1$) +n'est divisible par le terme de tête d'un des polynômes $f_1$ ou $f_2$ +(soit $z^2$), donc le reste est $f_3$ lui-même. Comme ce reste est +non-nul bien que $f_3 \in (f_1,f_2)$, on peut conclure que $f_1,f_2$ +ne sont pas une base de Gröbner. +\end{corrige} + +\smallbreak + (b) Calculer le reste (standard) $f_4$ de $f_1 - \frac{1}{2} z f_3$ par rapport à $f_1,f_3$ pour l'ordre monomial $\preceq$. Expliquer pourquoi l'idéal engendré par $f_3$ et $f_4$ est le même que celui engendré par $f_1$ et $f_3$. +\begin{corrige} +On a $f_1 - \frac{1}{2} z f_3 = -\frac{1}{2}x^2 z + \frac{1}{2}z + y^2 ++ x^2 - 1$ (il s'agit du polynôme de syzygie entre $f_1$ et $f_3$). +Deux de ses monômes, à savoir $x^2z$ et $z$ sont divisibles par le +monôme de tête de $f_3$ (à savoir $z$). Si on ajoute $\frac{1}{4} x^2 +f_3$ puis $-\frac{1}{4} f_3$ pour annuler ces deux termes, il reste +$y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$, dans lequel +plus aucun monôme n'est divisible par le monôme de tête de $f_1$ +(soit $z^2$) ni $f_3$ (soit $z$). C'est donc le polynôme $f_4$ +recherché. + +L'idéal $(f_3,f_4)$ est le même que $(f_1,f_3)$ pour la même raison +qu'à la question précédente : on a d'une part $f_4 = f_1 + +(-\frac{1}{2}z + \frac{1}{4} x^2 - \frac{1}{4}) f_3$ qui montre $f_4 +\in (f_1,f_3)$, et d'autre part, la même égalité $f_1 = f_4 + +(\frac{1}{2}z - \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{4}) f_3$ qui montre $f_1 +\in (f_3,f_4)$. On a donc bien $(f_1,f_3) = (f_3,f_4)$. +\end{corrige} + +\smallbreak + (c) Montrer qu'une base de Gröbner de $I$ pour l'ordre $\preceq$ est donnée par \[ @@ -116,10 +159,53 @@ y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}\\ \] S'agit-il d'une base de Gröbner réduite ? +\begin{corrige} +Les polynômes en questions sont $\frac{1}{2} f_3$ et $f_4$. On a vu à +la question précédente que ces polynômes engendrent bien $I$. + +Montrons qu'il s'agit d'une base de Gröbner : le polynôme de syzygie +entre $\frac{1}{2}f_3$ et $f_4$ vaut $f_{3,4} := +y^2\cdot\frac{1}{2}f_3 - z\cdot f_4$ (puisque les monômes $z$ et $y^2$ +ont pour pgcd $1$). On peut le calculer complètement ($f_{3,4}$ vaut +$-\frac{1}{4} x^4 z - \frac{1}{2} x^2 z + \frac{3}{4} z + \frac{1}{2} +x^2 y^2 - \frac{1}{2} y^2$), mais ce n'est pas nécessaire pour se +convaincre que les termes divisibles par $z$ vont être annulés en +soustrayant précisément le produit de $\frac{1}{2} f_3$ par les termes +de $f_4$ autres que celui de tête, et qu'ensuite les termes qui +resteront vont être annulés en soustrayant le produit de $f_4$ par les +termes de $\frac{1}{2}f_3$ autres que celui de tête --- le reste vaut +donc $0$. Si l'on préfère, on pouvait aussi dire que $f_{3,4} = g_3 +\cdot \frac{1}{2}f_3 + g_4 f_4$ constitue une écriture standard +lorsque $g_3 = f_4 - y^2$ et $g_4 = \frac{1}{2}f_3 - z$ puisque le +monôme de tête de chacun de $g_3 f_3$ (soit $x^4 z$) et de $g_4 f_4$ +(soit $x^2 y^2$) est à chaque fois égal à celui de $f_{3,4}$, et cette +écriture standard a un reste nul. + +La base est réduite car aucun monôme de $\frac{1}{2} f_3$ ou $f_4$ +n'est divisible par le terme de tête de l'autre, et que ces termes de +tête sont unitaires. (Il s'agit donc de \emph{la} base de Gröbner +réduite de $I$ pour l'ordre $\preceq$.) +\end{corrige} + +\smallbreak + (d) Quel est l'idéal $I \cap k[x,y]$ ? Donner l'équation de l'adhérence de Zariski de la projection de la variété algébrique affine $Z(I)$ sur le plan $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $x,y$. +\begin{corrige} +On a trouvé une base de Gröbner $B$ de $I$ pour l'ordre +lexicographique avec $x \prec y \prec z$. On sait alors qu'une base +de Gröbner de $I \cap k[x,y]$ est donnée par ceux des éléments de $B$ +qui appartiennent à $k[x,y]$, soit en l'occurrence $f_4 = y^2 + +\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$. On a donc $I \cap +k[x,y] = (f_4)$, et $f_4$ est l'équation de l'adhérence de Zariski de +la projection de $Z(I)$ sur le plan de coordonnées $x,y$. (C'est la +courbe $C$ étudiée à la question suivante.) +\end{corrige} + +\medbreak + \textbf{3.} On considère maintenant la variété $C$ définie dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $x,y$ par l'équation $y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4} = 0$. @@ -127,21 +213,80 @@ $y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4} = 0$. (a) Ce plan affine $\mathbb{A}^2$ étant vu dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(T:X:Y)$ par $x = X/T$ et $y = Y/T$, donner les équations de l'adhérence de Zariski $C^+$ -(« complétée projective ») de $C$ dans $\mathbb{P}^2$. +(« complétée projective ») de $C$ dans $\mathbb{P}^2$. Quelles sont +les coordonnées du point $\infty$ d'intersection de $C^+$ et la droite +« à l'infini » $T=0$ ? + +\begin{corrige} +L'équation de $C^+$ s'obtient en homogénéisant celle de $C$, soit $T^2 +Y^2 + \frac{1}{4}X^4 + \frac{1}{2}T^2 X^2 - \frac{3}{4} T^4 = 0$. La +droite à l'infini $T=0$ et $C^+$ se rencontrent au point $(T:X:Y) = +(0:0:1)$ (car $T=0$ et l'équation de $C^+$ impliquent $X=0$, donc on +doit avoir $Y\neq 0$ qu'on peut écrire $Y=1$ vu le choix de +l'homogénéité), qui est donc l'unique point de $C^+$ non dans $C$. +\end{corrige} + +\smallbreak (b) Pourquoi $C$ et $C^+$ sont-elles de dimension $1$ ? -(c) Le polynôme $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$ a-t-il -des racines multiples dans la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$ ? -Pourquoi les racines en question peuvent-elles s'écrire -$\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$ (pour certains -$\lambda_1,\lambda_2 \in k^{\alg}$) ? +\begin{corrige} +D'après le Hauptidealsatz : car elles sont définies par une seule +équation non constante dans le plan. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(c) Le polynôme $h(x) := \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - +\frac{3}{4}$ a-t-il des racines multiples dans la clôture +algébrique $k^{\alg}$ de $k$ ? Pourquoi les racines en question +peuvent-elles s'écrire $\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$ +(pour certains $\lambda_1,\lambda_2 \in k^{\alg}$) ? + +\begin{corrige} +Le discriminant du trinôme $g(u) := \frac{1}{4} u^2 + \frac{1}{2} u - +\frac{3}{4}$ (en la variable $u$) vaut $\frac{1}{2}^2 - 4 +\frac{1}{4}(-\frac{3}{4}) = 1 \neq 0$, donc celui-ci a deux racines +distinctes (qui sont d'ailleurs $u=1$ et $u=-3$), et par ailleurs +distinctes de $0$ (cela se voit sur leur produit qui est $-3$). Les +racines de $h = g(x^2) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - +\frac{3}{4}$ sont les racines carrées des racines de $g$, qui peuvent +donc s'écrire $\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$ avec +$\lambda_1 = 1$ par exemple, et $\lambda_2 = \sqrt{-3}$ (une des deux +racines carrées de $-3$ dans $k^{\alg}$). +\end{corrige} + +\smallbreak + +(d) Montrer que $C$ est lisse. La courbe $C^+$ l'est-elle aussi ? + +\begin{corrige} +Un point non-lisse de $C$ devrait être une solution (dans $k^{\alg}$) +à la fois de $f_4 = 0$ et de $\frac{\partial f_4}{\partial x} = 0$ et +de $\frac{\partial f_4}{\partial y} = 0$, soit $f_4 = 0$ et $x^3 + x = +0$ et $y = 0$. Or ces équations impliquent à la fois $h(x) = 0$ et +$h'(x) = 0$ (où $h = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$ a +été introduit à la question précédente), et on a vu que $h$ n'a pas de +racine multiple, c'est-à-dire précisément qu'il n'a pas de racine +commune avec $h'$. La courbe $C$ est donc lisse. + +En revanche, au point $(T:X:Y) = (0:0:1)$, toutes les dérivées +partielles de l'équation $T^2 Y^2 + \frac{1}{4}X^4 + \frac{1}{2}T^2 +X^2 - \frac{3}{4} T^4 = 0$ de $C^+$ s'annulent simultanément, donc ce +point est singulier. (Cela peut aussi se voir en considérant un autre +ouvert affine, $D(Y) = \{Y\neq 0\}$ de $\mathbb{P}^2$, pour lequel en +posant $\tau = T/Y$ et $\xi = X/Y$ les deux coordonnées affines, +l'équation de $C^+ \cap D(Y)$ devient $\tau^2 + \frac{1}{4}\xi^4 + +\frac{1}{2}\tau^2\xi^2 - \frac{3}{4}\tau^4 = 0$, où effectivement à la +fois l'équation et ses deux dérivées partielles par rapport à $\tau$ +et $\xi$ s'annulent simultanément en $(\tau,\xi) = (0,0)$.) +\end{corrige} -(d) Montrer que $C$ est lisse. Montrer que $C^+$ l'est aussi. +\smallbreak -(e) Quel est le diviseur de $y$ vue comme une fonction rationnelle -sur $C^+$ ? Quel est le diviseur de $dx$ ? Celui de $dx/y$ ? En -conclure quant au genre de $C^+$. +(e) \textbf{FIXME!} Quel est le diviseur de $y$ vue comme une fonction +rationnelle sur $C^+$ ? Quel est le diviseur de $dx$ ? Celui de +$dx/y$ ? En conclure quant au genre de $C^+$. % |