diff options
Diffstat (limited to 'controle-2010.tex')
| -rw-r--r-- | controle-2010.tex | 127 |
1 files changed, 118 insertions, 9 deletions
diff --git a/controle-2010.tex b/controle-2010.tex index 59b77a2..811bbdf 100644 --- a/controle-2010.tex +++ b/controle-2010.tex @@ -72,8 +72,8 @@ caractéristique $\neq 2,3$ (on pourra, si on le souhaite, supposer qu'il s'agit par exemple de $\mathbb{F}_5$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, cela n'aura pas d'incidence sur les questions). -\emph{La question 3 peut être traitée indépendamment des questions - précédentes.} +\emph{Les questions 3 et 4 peuvent être traitée indépendamment des + questions 1 et 2.} \textbf{1.} Dans l'anneau $k[x,y,z]$ des polynômes à trois indéterminées sur $k$, on considère l'ordre lexicographique pur @@ -214,8 +214,8 @@ $y^2 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4} = 0$. $\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(T:X:Y)$ par $x = X/T$ et $y = Y/T$, donner les équations de l'adhérence de Zariski $C^+$ (« complétée projective ») de $C$ dans $\mathbb{P}^2$. Quelles sont -les coordonnées du point $\infty$ d'intersection de $C^+$ et la droite -« à l'infini » $T=0$ ? +les coordonnées du point (qu'on notera $\infty_C$) d'intersection de +$C^+$ et la droite « à l'infini » $T=0$ ? \begin{corrige} L'équation de $C^+$ s'obtient en homogénéisant celle de $C$, soit $T^2 @@ -258,7 +258,7 @@ racines carrées de $-3$ dans $k^{\alg}$). \smallbreak -(d) Montrer que $C$ est lisse. La courbe $C^+$ l'est-elle aussi ? +(d) Montrer que $C$ est lisse ; $C^+$ l'est-elle aussi ? \begin{corrige} Un point non-lisse de $C$ devrait être une solution (dans $k^{\alg}$) @@ -268,7 +268,7 @@ de $\frac{\partial f_4}{\partial y} = 0$, soit $f_4 = 0$ et $x^3 + x = $h'(x) = 0$ (où $h = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}$ a été introduit à la question précédente), et on a vu que $h$ n'a pas de racine multiple, c'est-à-dire précisément qu'il n'a pas de racine -commune avec $h'$. La courbe $C$ est donc lisse. +commune avec $h'$. La variété $C$ est donc lisse. En revanche, au point $(T:X:Y) = (0:0:1)$, toutes les dérivées partielles de l'équation $T^2 Y^2 + \frac{1}{4}X^4 + \frac{1}{2}T^2 @@ -282,11 +282,120 @@ fois l'équation et ses deux dérivées partielles par rapport à $\tau$ et $\xi$ s'annulent simultanément en $(\tau,\xi) = (0,0)$.) \end{corrige} +\medbreak + +\textbf{4.} Pour les questions qui suivent, on \emph{rappelle} les +faits suivants : il existe une courbe (projective, lisse) $\tilde C$, +unique à isomorphisme près, appelée « normalisée de $C^+$ », munie +d'un morphisme $\nu\colon \tilde C \to C^+$, de sorte que les corps +des fonctions $k(C) = k(C^+)$ et $k(\tilde C)$ coïncident +(via $\nu^*$) ; de plus, $\nu$ est un isomorphisme entre l'ouvert +$\nu^{-1}(C)$ de $\tilde C$ et $C$. On \emph{admet} de plus le fait +suivant : il existe exactement deux $k^{\alg}$-points de $\tilde C$ +envoyés par $\nu$ sur $\infty_C$ (=le complémentaire de $C$ +dans $C^+$, cf. question 3(a)) ; ces deux points seront notés +$\infty_1$ et $\infty_2$. + +(a) La coordonnée $y = Y/T$ étant vue comme fonction rationnelle, que +vaut $\ord_P(y)$ pour $P$ un point de $C$ ? (Discuter selon le +point.) + +\begin{corrige} +Les quatre $k^{\alg}$-points où $y$ s'annule sont les quatre points +$P_1 = (\lambda_1,0)$, $P_2 = (\lambda_2,0)$, $P'_1 = (-\lambda_1,0)$, +$P'_2 = (-\lambda_2,0)$ où $\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$ +sont les quatre racines de $h(x)=0$ (cf. question 3(c)). En tout +point $P$ autre que les $P_1,P_2,P'_1,P'_2$, on a $\ord_P(y) = 0$ ; en +ces quatre points, $\ord_P(y) = 1$ (pour justifier rigoureusement : +$dy_P$ n'est pas nulle, puisqu'il s'agit de points lisses à tangente +verticale ; ou, si l'on préfère, $\deg y = 4$ car $k(C)$ est donné par +une équation de degré $4$ au-desus de $k(y)$). +\end{corrige} + +\smallbreak + +(b) En considérant $\ord_P(x-c)$, avec $c$ une constante, déterminer +de même $\ord_P(dx)$ pour $P$ un point de $C$. Que vaut +$\ord_P(dx/y)$ pour tout point $P$ de $C$ ? + +\begin{corrige} +Pour toutes les valeurs $c$ autres que +$\lambda_1,\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$, la fonction $x-c$ +s'annule en deux $k^{\alg}$-points de la courbe (dont les absisses +sont $c$ et les ordonnées les deux racines carrées de $-h(c)$ +dans $k^{\alg}$), avec $\ord_P(x-c) = 1$ en ces deux points (puisque +$x-c$ est de degré $2$). Lorsque $c$ vaut, disons, $\lambda_1$, on a +$\ord_{P_1}(x-\lambda_1) = 2$ (car $\ord_{P_1}(y^2) = 2$ et que $y^2$ +s'écrit comme $(x-\lambda_1)$ fois une fonction de $x$ ne s'annulant +pas $\lambda_1$), et la même chose vaut pour +$\lambda_2,-\lambda_1,-\lambda_2$. + +En choisissant pour $c$ l'abscisse du point $P$, on en déduit que +$\ord_P(dx) = \ord_P(d(x-c)) = \ord_P(x-c)-1$ vaut $0$ en tout point +$P$ de $C$ sauf $P_1,P_2,P'_1,P'_2$ pour lesquels $\ord_P(dx) = 1$. +Ceci montre que $\ord_P(dx/y) = 0$ en tout point $P$ de $C$. +\end{corrige} + \smallbreak -(e) \textbf{FIXME!} Quel est le diviseur de $y$ vue comme une fonction -rationnelle sur $C^+$ ? Quel est le diviseur de $dx$ ? Celui de -$dx/y$ ? En conclure quant au genre de $C^+$. +(c) Pourquoi a-t-on $(X^4 : T^2 Y^2) = (-4Y^2 - 2X^2 + 3T^2 : Y^2)$ +(ces expressions désignant les coordonnées homogènes d'un point +de $\mathbb{P}^1$) sur $C^+$ ? En déduire que la fonction +$\frac{y^2}{x^4}$ s'étend en un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ +prenant la valeur $-\frac{1}{4}$ en $\infty_C$. Conclure que +$\ord_{\infty_1} \frac{y^2}{x^4} = \ord_{\infty_2} \frac{y^2}{x^4} = +0$. + +\begin{corrige} +L'équation de $C^+$ donne $X^4 = -4T^2 Y^2 - 2T^2 X^2 + 3T^4$. On a +donc $(X^4 : T^2 Y^2) = (-4Y^2 - 2X^2 + 3T^2 : Y^2)$ (simplifier les +coordonnées homogènes du membre de droite par $T^2$). Ceci définit +bien un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ (les coordonnées dans de +gauche ne s'annulent simultanément qu'en $T = X = 0$, soit $\infty_C$, +et celles de droite ne s'y annulent pas toutes). Ce morphisme définit +la fonction $\frac{T^2 Y^2}{X^4} = \frac{y^2}{x^4}$ (on a plongé +$\mathbb{A}^1$ dans $\mathbb{P}^1$ par $t \mapsto (1:t)$), et en +$\infty_C$ de coordonnées $(T:X:Y) = (0:0:1)$ ce morphisme vaut +$(-4:1)$, soit $-\frac{1}{4}$, d'après les coordonnées de droite. + +On peut considérer ce morphisme comme un morphisme $\tilde C \to +\mathbb{P}^1$ (en composant avec $\nu$), c'est toujours +$\frac{y^2}{x^4}$ puisqu'on a identifié les corps de fonctions : il +vaut $-\frac{1}{4}$ en $\infty_1,\infty_2$, donc $\ord +\frac{y^2}{x^4}$ est nul en ces deux points. C'est-à-dire que $y^2$ +et $x^4$, ou, bien sûr, $y$ et $x^2$, ont même ordre en $\infty_1$ et +$\infty_2$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(d) Expliquer pourquoi $\ord_{\infty_1} x = \ord_{\infty_2} x = -1$ et +$\ord_{\infty_1} y = \ord_{\infty_2} y = -2$ et $\ord_{\infty_1} dx = +\ord_{\infty_2} dx = -2$. + +\begin{corrige} +Manifestement $y = \frac{Y}{T}$ vaut $\infty$ en $\infty_1$ et +$\infty_2$. Donc $\ord_{\infty_i} y < 0$. On a vu à la question +précédente que $\ord_{\infty_i} y = 2 \ord_{\infty_i} x$, donc aussi +$\ord_{\infty_i} x < 0$. Or on a calculé $\ord_P x$ pour $P$ +dans $C$ : la somme vaut $2$, et comme le a somme sur tous les $P$ de +$\tilde C$ doit valoir $0$, on a $\ord_{\infty_1} x = \ord_{\infty_2} +x = -1$. Par conséquent, $\ord_{\infty_1} y = \ord_{\infty_2} y = +-2$, et $\ord_{\infty_1} dx = \ord_{\infty_2} dx = -2$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(e) Quel est le diviseur (canonique) de $dx/y$ sur $\tilde C$ ? En +conclure quant au genre de $\tilde C$. + +\begin{corrige} +On a déjà vu que $\ord_P(dx/y) = 0$ pour tout $P$ de $C$, et on vient +de voir que c'est aussi le cas en $\infty_1$ et $\infty_2$. Par +conséquent, $dx/y$ a le diviseur nul sur $\tilde C$. La classe de +diviseurs canonique sur $\tilde C$ ayant le degré $2g-2 = 0$, le genre +de $\tilde C$ est $g=1$. +\end{corrige} % |