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diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index b6b5268..a09a405 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -1840,9 +1840,9 @@ pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert). Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$, -et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si -$k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels -qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? +et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, quel +est l'ensemble des $y \in Y$ tels qu'il existe $x \in X$ ($x,y$ des +points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ? \begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley} \begin{itemize} @@ -1850,9 +1850,8 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant : il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$) - telle que $y \in Y'$ (point sur un corps $k^{\alg}$ algébriquement - clos) si et seulement si il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = - y$. + telle que $y \in Y'$ si et seulement si il existe $x \in X$ pour + lequel $f(x) = y$. \item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$. \item Variante : si $X$ est projective et $Y$ quasiprojective, la @@ -1871,14 +1870,14 @@ un idéal radical engendré par $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$, et si $x \in X(k)$ (on prendra généralement $k$ algébriquement clos ici), on appelle \textbf{vecteur tangent à $X$ en $x$} un élément du noyau de la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial - t_j}(x_1,\ldots,x_d)$ (c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$ + t_j}(x_1,\ldots,x_d)$, c'est-à-dire un $d$-uplet $v_1,\ldots,v_d$ tel que $\sum_{j=1}^d \frac{\partial f_i}{\partial - t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$). Intuitivement, il faut comprendre + t_j}(x_1,\ldots,x_d)\, v_j = 0$. Intuitivement, il faut comprendre un tel élément comme un vecteur basé en $(x_1,\ldots,x_d)$ et le reliant à $(x_1+v_1 \varepsilon, \ldots, x_d+v_d\varepsilon)$ avec -$\varepsilon$ infinitésimal (en fait, $\varepsilon^2=0$). L'espace -vectoriel des vecteurs tangents à $X$ en $x$ (ou simplement -\textbf{espace tangent à $X$ en $x$}) se note $T_x X$. +$\varepsilon$ infinitésimal ($\varepsilon^2=0$). L'espace vectoriel +des vecteurs tangents à $X$ en $x$ (ou simplement \textbf{espace + tangent à $X$ en $x$}) se note $T_x X$. Si $X$ est une variété algébrique quasiprojective quelconque, on rappelle que tout point $x \in X$ a un voisinage affine $V$, et on @@ -1886,13 +1885,14 @@ définit alors $T_x X = T_x V$. (Cette définition passe sous silence un certain nombre de choses, par exemple la manière dont on identifie $T_x V$ et $T_x V'$ si $V,V'$ sont deux voisinages affines différents du même point $x$, à commencer par le fait qu'ils ont la même -dimension.) +dimension : cela est en fait justifié par la notion de différentielle +d'un morphisme, expliquée plus bas.) \medbreak \begin{prop} -Si $X$ est une variété irréductible sur un corps $k$ (algébriquement -clos), pour tout $x \in X(k)$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$. +Si $X$ est une variété algébrique quasiprojective sur un corps $k$, +pour tout $x \in X$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$. \end{prop} Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit @@ -1975,7 +1975,7 @@ que prend la matrice des dérivés partielles). \textbf{Différentielle d'un morphisme.} Si $h\colon X\to Y$ est un morphisme entre variétés quasiprojectives sur un corps algébriquement -clos $k$ et $x \in X(k)$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to +clos $k$ et $x \in X$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to T_{h(x)} Y$ qui est définie de la façon suivante. Quitte à remplacer $X$ par un voisinage affine de $x$ et $Y$ par un voisinage affine de $h(x)$, on peut supposer que $X$ et $Y$ sont affines. Dans ce cadre, |