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diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index 32baeca..f3b06d9 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -2239,8 +2239,8 @@ Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ : \begin{itemize} \item Pour tout $f \in k(C)$, il n'y a qu'un nombre fini de $P \in C(k^{\alg})$ tels que $\ord_P(f) \neq 0$. -\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $f$, alors $f \in k$ (la - fonction est constante). +\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $P \in C(k^{\alg})$, alors $f + \in k$ (la fonction est constante). \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} @@ -2501,7 +2501,7 @@ $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ -(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un +(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_{h(P)} C$ est un isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de @@ -2593,13 +2593,13 @@ diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, -on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle +on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(Q)} e_Q (Q)$ qu'on appelle \textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est -encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On +encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(f\circ h)$). On peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme $h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa @@ -2837,7 +2837,7 @@ Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := \divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) -est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim 0$, qui entraîne $l(D) = 1$. \end{proof} |