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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 330181a..b7b7e5c 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1816,7 +1816,9 @@ $X_i$ qui coïncident aux intersections ; un morphisme de $X$ vers une variété algébrique affine $Y$ est, de même, la donnée de morphismes $X_i \to Y$ qui se recollent. -On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque le morphisme $X \to \Spec +On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque $X$ est isomorphe à une +variété algébrique $\Spec R$ avec $R$ algèbre de type finie réduite, +ou, de façon équivalente, lorsque le morphisme $X \to \Spec \mathcal{O}(X)$, où $\mathcal{O}(X)$ est l'anneau des fonctions régulières sur $X$, défini naturellement, est, en fait, un isomorphisme. @@ -1914,6 +1916,62 @@ dans $\mathbb{A}^2$, qui n'est pas un isomorphisme. % +\subsection{Récapitulation : que doit-on savoir sur une variété algébrique ?} + +On ne proposera pas de définition générale de ce qu'est une variété +algébrique. Cependant, il faut au moins savoir les choses suivantes : +\begin{itemize} +\item une variété algébrique affine ou quasi-affine sur $k$ est une + variété algébrique sur $k$ ; en particulier, pour toute $k$-algèbre + $R$ de type fini réduite sur $k$, on a une variété algébrique + (affine) $\Spec R$ ; +\item une variété algébrique a une notion d'\emph{ouverts} (de + Zariski) : ces ouverts sont eux-mêmes des variétés algébriques ; ces + ouverts vérifient les axiomes d'une topologie, i.e., le vide et le + plein sont des ouverts, une réunion quelconque ou une intersection + finie d'ouverts sont des ouverts ; de plus, une variété algébrique + est quasi-compacte (de tout recouvrement par des ouverts on peut + extraire un sous-recouvrement finie) ; +\item une variété algébrique peut être recouverte par des ouverts + \emph{affines} ; +\item si la variété $X$ est recouverte par des ouverts $U_i$, se + donner une fonction régulière sur $X$ (resp. un morphisme de $X$ + vers une variété $Y$ quelconque) équivaut à se donner une fonction + régulière sur chaque $U_i$ (resp. un morphisme de chaque $U_i$ + vers $Y$) telles que les données coïncident aux intersections $U_i + \cap U_j$ ; en particulier, appliquer ce principe à un recouvrement + par des ouverts affines permet de ramener l'étude d'une variété + quelconque à des variétés affines et à leurs intersections ; +\item pour chaque $k$-algèbre $A$, on a un ensemble $X(A)$ appelé + ensemble des $A$-points de la variété $X$, et pour chaque morphisme + $\varphi\colon A\to A'$ de $k$-algèbres une application $X(A) \to + X(A')$ telle que $X(\psi\circ\varphi) = X(\psi)\circ X(\varphi)$ si + $\varphi\colon A\to A'$ et $\psi\colon A'\to A''$, +\item les morphismes $X \to Y$ sont exactement les données pour chaque + $k$-algèbre d'une application $X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A)$ + telle que : si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est un morphisme de + $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) \buildrel + X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et $X(A) + \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$ + coïncident ; +\item si $X$ est affine, les morphismes $X \to Y$ s'identifient avec + les éléments de $Y(\mathscr{O}(X))$ (on ne suppose pas ici que $Y$ + soit affine) ; +\item si $Y$ est affine, les morphismes $X \to Y$ s'identifient avec + les morphismes d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ (on ne + suppose pas que $X$ soit affine), et en particulier les fonctions + régulières sur $X$ s'identifient avec les morphismes $X \to + \mathbb{A}^1$ ; +\item sur un corps $k$ algébriquement clos, le Nullstellensatz assure + que beaucoup de données se « lisent » sur les $k$-points : + notamment, une fonction régulière sur $X$ est déterminée par ses + valeurs sur $X(k)$, un morphisme $X \to Y$ est déterminée par la + fonction $X(k) \to Y(k)$, un ouvert de $X$ est déterminé par le + sous-ensemble $U(k)$ de $X(k)$... +\end{itemize} + + +% % % |