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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index d9a0de0..ca7df0f 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1979,39 +1979,39 @@ algébrique. Cependant, il faut au moins savoir les choses suivantes : \subsection{L'espace projectif sur un corps et sur un anneau} -Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^n(k)$ l'ensemble des -$(n+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$ modulo la -relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_n) \sim (x'_0,\cdots,x'_n)$ ssi -les vecteurs $(x_0,\cdots,x_n)$ et $(x'_0,\cdots,x'_n)$ sont -colinéaires. On note $(x_0:\cdots:x_n)$ (certains auteurs préfèrent -$[x_0,\ldots,x_n]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_n)$ pour cette -relation d'équivalence. On peut voir $\mathbb{P}^n(k)$ comme +Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^d(k)$ l'ensemble des +$(d+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$ modulo la +relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_d) \sim (x'_0,\cdots,x'_d)$ ssi +les vecteurs $(x_0,\cdots,x_d)$ et $(x'_0,\cdots,x'_d)$ sont +colinéaires. On note $(x_0:\cdots:x_d)$ (certains auteurs préfèrent +$[x_0,\ldots,x_d]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_d)$ pour cette +relation d'équivalence. On peut voir $\mathbb{P}^d(k)$ comme l'ensemble des droites vectorielles (=passant par l'origine) -de $k^{n+1}$. +de $k^{d+1}$. -Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^n$ (sur un corps), selon +Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^d$ (sur un corps), selon que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme -$(1:x_1:\cdots:x_n)$ (avec $x_1,\ldots,x_n$ quelconques) ou bien -$(0:x_1:\cdots:x_n)$ (avec $x_1,\ldots,x_n$ non tous nuls). Le point -$(x_1,\ldots,x_n)$ de $\mathbb{A}^n$ sera identifié au point -$(1:x_1:\cdots:x_n)$ de $\mathbb{P}^n$, tandis que les points de la -forme $(0:x_1:\ldots:x_n)$ sont appelés « points à l'infini » (et +$(1:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ quelconques) ou bien +$(0:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ non tous nuls). Le point +$(x_1,\ldots,x_d)$ de $\mathbb{A}^d$ sera identifié au point +$(1:x_1:\cdots:x_d)$ de $\mathbb{P}^d$, tandis que les points de la +forme $(0:x_1:\ldots:x_d)$ sont appelés « points à l'infini » (et collectivement, « hyperplan à l'infini »). On peut donc écrire -$\mathbb{P}^n(k) = \mathbb{A}^n(k) \cup \mathbb{P}^{n-1}(k)$ (réunion +$\mathbb{P}^d(k) = \mathbb{A}^d(k) \cup \mathbb{P}^{d-1}(k)$ (réunion disjointe des points où $x_0 \neq 0$ et des points où $x_0 = 0$) ; -moralement, on aura envie que $\mathbb{A}^n$ soit un ouvert -dans $\mathbb{P}^n$ et $\mathbb{P}^{n-1}$ son fermé complémentaire. +moralement, on aura envie que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert +dans $\mathbb{P}^d$ et $\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire. Noter que le choix de $x_0$ est arbitraire : on peut voir -$\mathbb{P}^n$ comme réunion de $n+1$ espaces affines $\mathbb{A}^n$. +$\mathbb{P}^d$ comme réunion de $d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$. \smallbreak -Si $A$ est un anneau, on définit $\mathbb{P}^n(A)$ comme l'ensemble -des classses d'équivalence de matrices $n\times n$ à coefficients +Si $A$ est un anneau, on définit $\mathbb{P}^d(A)$ comme l'ensemble +des classses d'équivalence de matrices $d\times d$ à coefficients dans $A$, disons $(x_{ij})$ telles que \[ \begin{array}{c} -\sum_{i=1}^n x_{ii} = 1\\ +\sum_{i=1}^d x_{ii} = 1\\ (\forall i,i',j,j')\, x_{ij} x_{i'j'} = x_{ij'} x_{i'j}\\ \end{array} \] @@ -2023,44 +2023,44 @@ x'_{i'j'} = x_{ij'} x'_{i'j}$ (toute ligne de $x$ est colinéaire à toute ligne de $x'$ avec la même définition). Ceci généralise bien la définition sur un corps : si $k$ est un corps, -pour un élément $(x_0:\cdots:x_n)$ du $\mathbb{P}^n(k)$ précédemment +pour un élément $(x_0:\cdots:x_d)$ du $\mathbb{P}^d(k)$ précédemment défini, il existe $i_0$ tel que $x_{i_0} \neq 0$, et on peut supposer $x_{i_0} = 1$, auquel cas on identifie le point avec la matrice $x_{ij}$ définie par $x_{ij} = 0$ sauf si $i=0$ auquel cas $x_{i_0,j} = x_j$. Inversement, si $(x_{ij})$ est une matrice représentant un -élément du $\mathbb{P}^n(k)$ défini en deuxième, avec $k$ un corps, on +élément du $\mathbb{P}^d(k)$ défini en deuxième, avec $k$ un corps, on peut prendre une ligne quelconque de la matrice dont tous les coefficients ne sont pas nuls (il en existe nécessairement une puisque la somme des coefficients diagonaux vaut $1$ !) et elle représente un -point de $\mathbb{P}^n(k)$ défini en premier. Il est facile de +point de $\mathbb{P}^d(k)$ défini en premier. Il est facile de vérifier que ces deux fonctions sont réciproques. % -\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^n$, +\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$, fonctions régulières} -On veut voir $\mathbb{P}^n$ comme une variété algébrique (au moins +On veut voir $\mathbb{P}^d$ comme une variété algébrique (au moins pour $k$ algébriquement clos pour le moment). Il faudra une notion d'ouverts et une notion de fonctions régulières. -On dit qu'un $f \in k[x_0,\ldots,x_n]$ est \textbf{homogène de +On dit qu'un $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène de degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le même degré total $\ell$. L'intérêt de cette remarque est que si -$(x_0:\cdots:x_n) \in \mathbb{P}^n(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in -k[x_0,\ldots,x_n]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ +$(x_0:\cdots:x_d) \in \mathbb{P}^d(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in +k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$ ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de -$(x_0:\cdots:x_n)$. On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_n) -\in \mathbb{P}^n(k) : f(x_0,\ldots,x_n) = 0\}$ (il faudrait noter -$Z_{\mathbb{P}^n}(f)$, mais bon...) et $D(f)$ son complémentaire. +$(x_0:\cdots:x_d)$. On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_d) +\in \mathbb{P}^d(k) : f(x_0,\ldots,x_d) = 0\}$ (il faudrait noter +$Z_{\mathbb{P}^d}(f)$, mais bon...) et $D(f)$ son complémentaire. On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f -\in k[x_0,\ldots,x_n]$ la somme de tous ses monômes de degré +\in k[t_0,\ldots,t_d]$ la somme de tous ses monômes de degré total $\ell$. Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties homogènes. Le produit de deux polynômes homogènes de degrés respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$. -On dit qu'un idéal $I$ de $k[x_0,\ldots,x_n]$ est \textbf{homogène} +On dit qu'un idéal $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène} lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit @@ -2081,17 +2081,17 @@ $\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.) (Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque $I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé -\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{n+1}$ est un +\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{d+1}$ est un \emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties. L'ensemble $Z(I)$ défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites -vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^n$.) +vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^d$.) -Pour $I$ idéal homogène de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on définit $Z(I)$ +Pour $I$ idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on définit $Z(I)$ comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement, d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant un ensemble de générateurs homogènes de $I$. Les $Z(I)$ s'appellent -les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^n$. Inversement, si $E$ est -une partie de $\mathbb{P}^n$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal +les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^d$. Inversement, si $E$ est +une partie de $\mathbb{P}^d$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal (par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$ s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq E$). @@ -2100,16 +2100,16 @@ E$). Si $k$ est un corps algébriquement clos : \begin{itemize} \item (Nullstellensatz faible projectif.) Pour $I$ un idéal homogène - de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans - $\mathbb{P}^n$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$ - contienne tous les monômes en $x_0,\ldots,x_n$ de degré total $\ell$ + de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans + $\mathbb{P}^d$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$ + contienne tous les monômes en $t_0,\ldots,t_d$ de degré total $\ell$ (et, par conséquent, de tout degré plus grand). Un tel idéal s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme]. \item (Nullstellensatz projectif.) Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux - de $k[x_0,\ldots,x_n]$ autres que $(x_0,\ldots,x_n)$ d'une part, et - les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^n(k)$ d'autre part. + de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et + les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part. \end{itemize} \end{thm} |