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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index c205bc0..80d4a7b 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2475,10 +2475,11 @@ mais elle est peu maniable : ¶ On reprend l'exemple donné dans l'introduction, mais rendu projectif. Soit $C^+$ le cercle, cette fois projectif, d'équation $x^2 + y^2 = z^2$ (équation homogénéisée de $x^2 + y^2 = 1$) dans -$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(z:x:y)$, et soit le -$\mathbb{P}^1$ de coordonnées $(t_0:t_1)$. On définit un morphisme -$\mathbb{P}^1 \to C^+$ par $(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 : -t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ (c'est bien l'homogénéisation de $t \mapsto +$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(z:x:y)$ (sur un corps $k$ de +caractéristique $\neq 2$), et soit le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées +$(t_0:t_1)$. On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ par +$(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 : t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ (c'est bien +l'homogénéisation de $t \mapsto (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$) : tout d'abord il est clair que ces équations définissent un morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^2$ car $t_0^2+t_1^2 , t_0^2-t_1^2 , 2t_0t_1$ engendrent @@ -2500,6 +2501,17 @@ point $(z:x:y) = (1:1:0)$. Le calcul qu'on vient de faire montre que $(x+z:y) = (y:z-x)$ sur l'intersection des deux ouverts, donc ces deux équations se recollent bien en un unique morphisme. +La composée des morphismes qu'on vient de définir est l'identité : +dans le sens $\mathbb{P}^1 \to C^+ \to \mathbb{P}^1$, c'est clair car +l'identité s'obtient bien en recollant $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0^2 : +2t_0 t_1)$ et $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0 t_1 : 2t_1^2)$. Dans le sens +$C^+ \to \mathbb{P}^1 \to C^+$, on peut faire des calculs dans +$k[x,y,z]/(x^2+y^2-z^2)$, mais le plus simple est sans doute de se +dire que sur une variété irréductible, pour montrer l'égalité de deux +morphismes vers une variété quasiprojective quelconque, il suffit de +la montrer sur un ouvert non vide quelconque (puisque cet ouvert est +dense), et le calcul est alors simplifié. + % |