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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 54ad429..66c5e35 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2173,13 +2173,13 @@ certaine puissance $t_i^{n_i}$ de $t_i$. % \subsection{Fonctions régulières sur l'espace projectif} -On veut voir $D(x_0) = \{x_0\neq 0\}$ comme un espace +On veut voir $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$ comme un espace affine $\mathbb{A}^d$ dans $\mathbb{P}^d$ (ici sur $k$). On sait quelles sont les fonctions régulières dessus : ce sont les polynômes sur $k$ en $d$ variables, qu'on doit ici considérer comme -$\frac{x_1}{x_0},\ldots,\frac{x_d}{x_0}$. De façon équivalente, il -s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{x_0^\ell}$ avec -$h \in k[x_0,\ldots,x_d]$ homogène de degré $\ell$. Plus +$\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}$. De façon équivalente, il +s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{t_0^\ell}$ avec +$h \in k[t_0,\ldots,t_d]$ homogène de degré $\ell$. Plus généralement, on veut définir les fonctions régulières sur $D(f)$ dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est homogène de degré $D$, disons) comme les fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{f^r}$ avec $h$ @@ -2199,7 +2199,7 @@ algébriques\footnote{Ou encore : puisqu'une fonction régulière sur $k$-algèbre $A$, de façon compatible aux changements d'anneaux $A \to A'$, consiste à prendre la fonction constante valant un élément de $k$, toujours le même.} : notamment, si on recouvre -$\mathbb{P}^d$ par les $d+1$ ouverts affines $D(x_i)$ (pour +$\mathbb{P}^d$ par les $d+1$ ouverts affines $D(t_i)$ (pour $i=0,\ldots,d$), la seule façon de se donner une fonction régulière sur chacune qui coïncident aux intersections est d'avoir une constante (toujours la même) sur chaque ouvert. @@ -2309,6 +2309,93 @@ généralement travailler \emph{localement}, c'est-à-dire, à partir des variétés affines dont la variété projective est la réunion. +% +\subsection{Le lien affine-projectif} + +On a déjà signalé que $\mathbb{P}^d$ est la réunion des $d+1$ ouverts +$D(t_0),\ldots,D(t_d)$, qu'on veut considérer comme $d+1$ espaces +affines, ou $d+1$ copies de l'espace affine $\mathbb{A}^d$. Il faut +considérer que les coordonnées affines sur $D(t_i)$ sont les +$\frac{t_j}{t_i}$ avec $j\neq i$ (ce qui fait $d$ coordonnées). +Notamment : +\begin{itemize} +\item Si $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène de degré $\ell$, + l'intersection de $Z(f) \subseteq \mathbb{P}^d$ avec $D(t_i)$ est + donnée par $Z(\frac{f}{t_i^\ell}) \subseteq \mathbb{A}^d$ en voyant + $\frac{f}{t_i^\ell}$ comme un polynôme en les $\frac{t_j}{t_i}$. +\item Plus généralement, si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ est la + variété projective définie par un idéal homogène $I$ de + $k[t_0,\ldots,t_d]$, l'intersection de $X$ avec $D(t_i)$ est la + variété affine $Z(I_{t_i}) \subseteq \mathbb{A}^d$ où $I_{t_i}$ est + l'idéal engendré par les $\frac{f_j}{t_i^{\ell_j}}$ pour $f_j$ + parcourant des générateurs homogènes de $I$ et $\ell_j = \deg f_j$ + (l'idéai $I_{t_i}$ ne dépend pas du choix des $f_j$). +\item Bon à savoir : si $I$ est un idéal homogène de + $k[t_0,\ldots,t_d]$, alors + $k[\frac{t_0}{t_i},\ldots,\frac{t_d}{t_i}]/I_{t_i}$, où $I_{t_i}$ + est défini ci-dessus, est l'ensemble des éléments homogènes de degré + zéro de $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$. L'un ou + l'autre, donc, est vu comme l'ensemble des fonctions régulières sur + $Z(I) \cap D(t_i)$. +\item Une fonction régulière sur $X = Z(I)$ est la donnée d'une + fonction régulière sur chaque $X \cap D(t_i)$ qui coïncident sur les + intersections. C'est-à-dire : pour chaque $i$ on se donne un + élément $h_i$ de $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$ + homogène de degré zéro, tel que pour tous $i$ et $j$ les éléments + $h_i$ et $h_j$ correspondants coïcident dans + $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i \bar t_j}]$. On note + $\mathcal{O}(X)$ l'ensemble des fonctions régulières sur $X$. + Concrètement, si $k$ est algébriquement clos, on peut donc voir une + fonction régulière sur $X$ comme une fonction sur $X(k)$ (à valeurs + dans $k$) qui sur chaque ouvert affine $X \cap D(t_i)$ est une + fonction régulière sur cette variété, c'est-à-dire la restriction + d'une fonction polynomiale en les variables $\frac{t_j}{t_i}$ + (pour $j\neq i$). En fait, les seules fonctions régulières sur une + variété projective sont les fonctions constantes sur chaque + composante connexe (mais ce n'est pas évident). +\item Une « section globale de $\mathcal{O}(\ell)$ sur $X$ » est la + donnée pour chaque $i$ d'un élément $h_i$ de + $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$ homogène de + degré $\ell$, tels que pour tous $i$ et $j$ les éléments $h_i$ et + $h_j$ correspondants coïcident dans + $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i \bar t_j}]$. On note + $\mathcal{O}(\ell)(X)$ l'ensemble de ces sections : tout élément + homogène de degré $\ell$ de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ définit un élément + de $\mathcal{O}(\ell)(X)$ (mais il peut y en avoir d'autres, comme + on l'a signalé déjà pour $\ell=0$). +\item On pourrait également définir les morphismes $X \to + \mathbb{P}^e$ (donc resp. aussi $X \to Y$ avec $Y$ variété + projective vue comme $Z(J)$ dans $\mathbb{P}^e$) selon ce procédé : + avec les notations précédentes, ce serait la donnée de $d+1$ + morphismes $X \cap D(t_i) \to \mathbb{P}^e$ (resp. $X \cap D(t_i) + \to Y$) qui se recollent, or $X \cap D(t_i)$ est affine donc un + morphisme $X \cap D(t_i) \to \mathbb{P}^e$ est la même chose qu'un + élément de $\mathbb{P}^e(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$ où + $\mathcal{O}(X\cap D(t_i)) = (k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar + t_i}]$ comme on vient de l'expliquer (resp. un élément de + $Y(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$, c'est-à-dire un élément de + $\mathbb{P}^e(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$ qui vérifie les équations + de $Y$). Ce n'est probablement pas la façon la plus simple de + procéder ! +\end{itemize} + +\medbreak + +Inversement, donnée une variété affine $X = Z(I)$ où $I$ est un idéal +(radical...) de $k[\tau_1,\ldots,\tau_d]$, on peut définir une variété +projective $X^+ = Z(I^+)$ dont l'idéal $I^+$ est engendré par les $f^+ +:= t_0^{\deg f} f(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}) \in +k[t_0,\ldots,t_d]$ pour tous les $f\in I$ (c'est-à-dire les polynômes +homogénéisés) : il s'agit précisément de l'adhérence de $X$ +dans $\mathbb{P}^d$. Malheureusement, il ne suffit pas en général de +prendre un ensemble de générateurs de $I$ pour que leurs homogénéisés +engendrent $I^+$ (penser à $I = (\tau_2-\tau_1^2,\; \tau_3-\tau_1^3)$ +qui contient $\tau_3-\tau_1\tau_2$ alors que $(t_0 t_2 - t_1^2,\; t_0 +t_3 - t_1^3)$ ne contient pas $t_0 t_3-t_1 t_2$, il faut le mettre +explicitement dans $I^+$). Il y a cependant un cas favorable : +lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$. + + % % |