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@@ -2324,7 +2324,7 @@ variétés affines dont la variété projective est la réunion.
 
 
 %
-\subsection{Le lien affine-projectif}
+\subsection{Le lien affine-projectif}\label{subsection-affine-vs-projective}
 
 On a déjà signalé que $\mathbb{P}^d$ est la réunion des $d+1$ ouverts
 $D(t_0),\ldots,D(t_d)$, qu'on veut considérer comme $d+1$ espaces
@@ -2799,7 +2799,7 @@ et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si
 $k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels
 qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
 
-\begin{thm}[Chevalley]
+\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley}
 \begin{itemize}
 \item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété
   quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
@@ -3833,10 +3833,13 @@ identifier à $f$.  Réciproquement, tout morphisme $C \to \mathbb{P}^1$
 qui n'est pas constamment égal à $\infty$ (=le point complémentaire
 de $\mathbb{A}^1$) définit une fonction régulière sur l'ouvert $U =
 f^{-1}(\mathbb{A}^1)$ de $C$.  On a donc expliqué pourquoi :
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{rational-function-on-a-curve-is-regular}
 Si $C$ est une courbe (lisse), les fonctions rationnelles sur $C$
 s'identifient (comme expliqué ci-dessus) aux morphismes $C \to
 \mathbb{P}^1$ non constamment égaux à $\infty$.
+
+Plus généralement, tout morphisme d'un ouvert non-vide de $C$ vers une
+variété \emph{projective} $Y$ s'étend à $C$ tout entier.
 \end{prop}
 
 
@@ -3848,7 +3851,7 @@ Soit $C$ une courbe (non nécessairement lisse) et $P$ un
 $k^{\alg}$-point lisse sur $C$.  On appelle $\mathfrak{m}_P$ l'idéal
 dans $\mathcal{O}_{C,P}$ formé des fonctions s'annulant en $P$.
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{properties-valuation}
 Avec les notations ci-dessus, il existe une unique fonction $\ord_P
 \colon k(C) \to \mathbb{Z} \cup \{+\infty\}$ vérifiant :
 \begin{itemize}
@@ -3870,7 +3873,10 @@ l'\textbf{ordre (du zéro) en $P$}.  Lorsque $\ord_P(f) = v > 0$, on
 dit que $f$ a un zéro d'ordre $v$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(f) = (-v) <
 0$, on dit que $f$ a un pôle d'ordre $v$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(f) =
 0$, on dit que $f$ est inversible en $P$ (cela signifie bien que $f$
-est inversible dans $\mathcal{O}_{C,P}$).
+est inversible dans $\mathcal{O}_{C,P}$) ; lorsque $\ord_P(f) = 1$, on
+dit que $f$ est une \textbf{uniformisante} en $P$ (il n'est pas
+difficile de voir que cela signifie que $f$ engendre
+l'idéal $\mathfrak{m}_P$).
 
 \textbf{Exemple :} Si on voit $k(t)$ comme $k(\mathbb{P}^1)$, alors
 \begin{itemize}
@@ -3900,7 +3906,15 @@ on a $\ord_P(f) = \ord_{\sigma(P)}(f)$ pour tout $\sigma \in \Gal(k)$
 (le groupe de Galois absolu de $k$).
 
 \begin{prop}
-Soit $C$ une courbe (lisse) :
+Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$.  Alors toute fonction
+$k(C) \to \mathbb{Z} \cup \{+\infty\}$ vérifiant les trois premières
+et la dernière des propriétés énumérées pour $\ord_P$
+en \ref{properties-valuation} est de la forme $\ord_P$ pour un certain
+$P \in C(k^{\alg})$.
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ :
 \begin{itemize}
 \item Pour tout $f \in k(C)$, il n'y a qu'un nombre fini de $P \in
   C(k^{\alg})$ tels que $\ord_P(f) \neq 0$.
@@ -3916,40 +3930,165 @@ connexe est constante
 (cf. \ref{projective-to-affine-morphisms-are-constant}).
 \end{proof}
 
+
+
+%
+\subsection{Morphismes entre courbes}
+
+\begin{prop}
+Tout morphisme entre courbes non nécessairement lisses est soit
+constant ou surjectif.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $h \colon C' \to C$ un tel morphisme.  Puisque $C'$ est
+projective, l'image de $h$ est un fermé dans $C$
+(cf. \ref{image-of-a-morphism-chevalley}).  Si c'est $C$, le morphisme
+est surjectif.  Sinon, c'est un ensemble fini, et comme $C'$ est
+connexe, il est réduit à un point, donc $h$ est constant.
+\end{proof}
+
+Si $h\colon C' \to C$ est un morphisme non constant de courbes
+sur $k$, à tout $f \in k(C)$, vu comme un morphisme $C \to
+\mathbb{P}^1$ (non constamment égal à $\infty$), on peut associer
+$h^*(f) := h\circ f \colon C' \to \mathbb{P}^1$ vu comme un élément de
+$k(C')$ (car il est n'est pas constant égal à $\infty$).  (Si on
+préfère, pour $U$ ouvert affine de $C$, le morphisme d'algèbres $h^*
+\colon \mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(h^{-1}(U))$ donne un $h^* \colon
+k(C) \to k(C')$ entre les corps des fractions ; ceci fonctionne même
+si $C,C'$ ne sont pas supposées lisses.)  Il s'agit d'un morphisme de
+$k$-algèbres qui sont des corps, donc automatiquement injectif :
+c'est-à-dire que $h^*$ plonge $k(C)$ comme un sous-corps de $k(C')$
+(en commutant à l'action du groupe de Galois, et en particulier en
+préservant $k$).  Avec ce plongement, $k(C')$ est une extension
+\emph{algébrique} de $k(C)$ (car tous deux ont le même degré de
+transcendance, $1$, sur $k$), et $k(C')$ est engendré en tant que
+corps, sur $k$ donc sur $k(C)$, par un nombre fini d'éléments : ceci
+montre que $k(C')$ est une \emph{extension finie} de $k(C)$
+(c'est-à-dire, de dimension finie comme $k(C)$-espace vectoriel), et
+son degré (=sa dimension comme $k(C)$-espace vectoriel) s'appelle le
+\textbf{degré} de $h$, noté $\deg h$.  Lorsque $h$ est un morphisme
+constant, on pose $\deg h = 0$.
+
+\textbf{Exemple :} Si $h \in k[t]$, on peut voir $h$ comme un
+morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ (par $(t_0:t_1) \mapsto
+(t_0^{\deg h} : t_0^{\deg h}\,h(t_1/t_0))$,
+cf. \ref{subsection-affine-vs-projective} ; ou, de façon équivalente,
+en considérant $h$ comme un élément de $k(t) = k(\mathbb{P}^1)$ qui
+définit donc un morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$).
+L'inclusion $h^*$ est celle qui considère $k(u)$ pour $u = h(t)$ comme
+un sous-corps de $k(t)$.  Manifestement, le polynôme minimal de $t$
+sur $k(u)$ est justement $h(x)-u$ (écrit en l'indéterminée $x$), qui
+est de degré $\deg h$, donc le degré de $h$ en tant que polynôme ou en
+tant que morphisme est le même !
+
+\textbf{Fonctorialité :} Si $C'' \buildrel h'\over\to C' \buildrel
+h\over\to C$ sont deux morphismes entre courbes, on a $(h'\circ h)^* =
+h^* \circ h^{\prime*}$, c'est-à-dire que $k(C)$ se voit à l'intérieur
+de $k(C')$ quand celui-ci se voit à l'intérieur de $k(C'')$.  Grâce à
+la composition des degrés dans les extensions de corps, on a $\deg
+(h'\circ h) = \deg(h') \cdot \deg(h)$.
+
+\begin{prop}\label{function-map-on-curves-is-fully-faithful}
+Si $C, C'$ sont deux courbes sur $k$, où $C$ peut ne pas être lisse
+(mais $C'$ est tenue de l'être), et si $\iota\colon k(C) \to k(C')$
+est une inclusion fixant $k$ du corps $k(C)$ dans $k(C')$, alors il
+existe un unique morphisme $h\colon C' \to C$ de courbes sur $k$ tel
+que $\iota = h^*$.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Esquisse de démonstration]
+Si $C \subseteq \mathbb{P}^d$, on peut considérer les rapports
+$t_1/t_0, \ldots, t_d/t_0$ de coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^d$
+comme des éléments de $k(C)$.  Leurs images par $\iota$ dans $k(C')$
+définissent un morphisme d'un ouvert non vide de $C'$
+vers $\mathbb{P}^d$, donc de tout $C'$ vers $\mathbb{P}^d$
+(cf. \ref{rational-function-on-a-curve-is-regular}), et comme ces
+fonctions vérifient les équations de $C$ dans $\mathbb{P}^d$, on a un
+morphisme $C' \buildrel h\over\to C$, qui vérifie $h^* = \iota$.  De
+plus, une fois $C$ plongé dans $\mathbb{P}^d$ comme on l'a fait,
+c'était le seul morphisme possible, donc on a bien l'unicité.
+\end{proof}
+
+\begin{cor}\label{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}
+Si $C, C'$ sont deux courbes (lisses) sur $k$ et $h\colon C'\to C$ un
+morphisme de degré $1$, alors $h$ est un isomorphisme.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+Dire que $h$ est un morphisme de degré $1$ signifie que $h^*$ est un
+isomorphisme de $k(C)$ avec $k(C')$.  Son isomorphisme réciproque peut
+lui-même s'écrire sous la forme $g^*$ d'après la proposition qui
+précède, et les relations de fonctorialité $(h\circ g)^* = g^* \circ
+h^*$ et $(g \circ h)^* = h^* \circ g^*$ ainsi que l'unicité du
+morphisme dans la proposition montrent que $h \circ g = \id_{C'}$ et
+$g \circ h = \id_C$.
+\end{proof}
+
 \medbreak
 
-\hbox to\hsize{\dotfill}
+Revenons brièvement sur le corps des fonctions d'une courbe.
 
-Remarquons par ailleurs que $k(C)$ est engendré (en tant que
-corps)\footnote{Ceci signifie qu'il existe $x_1,\ldots,x_r \in k(C)$
-  tels que tout sous-corps de $k(C)$ contenant $k$ et $x_1,\ldots,x_r$
-  soit $k(C)$ tout entier.} par un nombre fini d'éléments au-dessus
-de $k$ (en effet, si $U$ est un ouvert affine non-vide de $C$, alors
+On sait que $k(C)$ est engendré (en tant que corps)\footnote{Ceci
+  signifie qu'il existe $x_1,\ldots,x_r \in k(C)$ tels que tout
+  sous-corps de $k(C)$ contenant $k$ et $x_1,\ldots,x_r$ soit $k(C)$
+  tout entier.} par un nombre fini d'éléments au-dessus de $k$ (en
+effet, si $U$ est un ouvert affine non-vide de $C$, alors
 $\mathcal{O}(U)$ est une $k$-algèbre de type fini, et si
 $x_1,\ldots,x_r$ en sont des générateurs, ils engendrent aussi $k(C) =
-\Frac(\mathcal{O}(U))$ en tant que corps sur $k$).  Enfin, remarquons
-que $k^{\alg} \cap k(C) = k$ (ce qui est clair si on a décrit $k(C)$
-comme les éléments de $k^{\alg}(C)$ fixes par Galois), c'est-à-dire
-que tout élément de $k(C)$ algébrique sur $k$ est en fait dans $k(C)$.
-
+\Frac(\mathcal{O}(U))$ en tant que corps sur $k$).  D'autre part,
+remarquons que $k^{\alg} \cap k(C) = k$ (ce qui est clair si on a
+décrit $k(C)$ comme les éléments de $k^{\alg}(C)$ fixes par Galois),
+c'est-à-dire que tout élément de $k(C)$ algébrique sur $k$ est en fait
+dans $k(C)$.  Ces remarques sont pertinentes car :
 \begin{prop}
 Soit $K$ un corps contenant $k$, de degré de transcendance $1$ dessus,
 engendré en tant que corps par un nombre fini d'éléments au-dessus
-de $k$, et tel que $k$ soit algébriquement fermé dans $K$.  Alors $K$
-est le corps des fonctions $k(C)$ d'une certaine courbe (lisse) $C$
-sur $k$.
-
-De plus, cette courbe est unique à isomorphisme près (de $k$-variétés
-algébriques) --- on verra des énoncés plus précis à ce sujet plus
-loin.
+de $k$ (ou, de façon équivalente, $K$ est de degré \emph{fini}
+sur $k(t)$ où $t \in K$ est transcendant sur $k$), et tel que $k$ soit
+algébriquement fermé dans $K$.  Alors $K$ est le corps des fonctions
+$k(C)$ d'une certaine courbe (lisse) $C$ sur $k$.
 \end{prop}
 
-Si $h\colon C' \to C$ est un morphisme de courbes sur $k$, pour tout
-ouvert $U \subseteq C$ on en déduit un morphisme $h^{-1}(U) \to U$ (où
-$h^{-1}(U)$ est un ouvert de $C'$) donc un morphisme d'algèbres $h^*
-\colon \mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(h^{-1}(U))$.  Ceci définit donc
-un morphisme de corps, c'est-à-dire une inclusion de corps, $h^*
-\colon k(C) \to k(C')$, fixant $k$.
+Le corollaire suivant permet d'oublier les courbes non lisses :
+\begin{cor}
+Soit $C$ une courbe non nécessairement lisse.  Alors il existe un
+morphisme $\tilde C \to C$ depuis une courbe lisse $\tilde C$
+vers $C$, unique à isomorphisme unique près de $\tilde C$
+au-dessus\footnote{Ceci signifie que si $\tilde C \buildrel\nu\over\to
+  C$ et $\tilde C' \buildrel\nu'\over\to C$ sont deux morphismes comme
+  expliqué, alors il existe un unique isomorphisme $\tilde C'
+  \buildrel h\over\to \tilde C$ tel que $\nu' = h\circ \nu$.} de $C$,
+qui soit de degré $1$, c'est-à-dire que $\nu^*$ identifie $k(C)$
+à $k(\tilde C)$.  La courbe $\tilde C$ s'appelle la
+\textbf{normalisation} de $C$.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+La proposition garantit qu'il existe une courbe lisse $\tilde C$ de
+corps des fonctions $k(C)$.  Le morphisme identité $k(C) \to k(\tilde
+C)$ donne alors d'après \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful}
+le morphisme $\nu \colon \tilde C \to C$ désiré.  L'unicité est
+analogue à \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}.
+\end{proof}
+
+\begin{cor}
+Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$.  Si $K$ est un
+sous-corps de $k(C)$ contenant $k$ et tel que $k(C)$ soit fini sur $K$
+(c'est-à-dire, de dimension finie comme $K$-espace vectoriel), alors
+il existe une courbe $C_0$ et un morphisme $h\colon C \to C_0$, unique
+à isomorphisme près de $C_0$ au-dessous de $C$, tel que $h^*$ plonge
+$k(C_0)$ comme le sous-corps $K$ de $k(C)$.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+Le corps $K$ est de degré de transcendance $1$ sur $k$ car $k(C)$ est
+algébrique sur $K$ ; et $k$ est algébriquement fermé dans $K$.  Le
+point non-évident est que $K$ est engendré par un nombre fini
+d'éléments sur $k$ : mais $K$ contient un élément $t$ transcendant
+sur $k$, et $k(C)$, donc $K$, est de degré fini sur $k(t)$.  Ainsi $K$
+peut bien s'écrire comme $k(C_0)$ pour une certaine courbe $C_0$, et
+l'inclusion $K = k(C_0) \to k(C)$ fournit un morphisme $C \to C_0$
+d'après \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful}.  De nouveau,
+l'unicité découle aussi
+de \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful} de manière analogue
+à \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}.
+\end{proof}