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Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? -\documentclass[12pt,a4paper]{article} -\usepackage[francais]{babel} -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -%\usepackage{ucs} -\usepackage{times} -% A tribute to the worthy AMS: -\usepackage{amsmath} -\usepackage{amsfonts} -\usepackage{amssymb} -\usepackage{amsthm} -% -\usepackage{mathrsfs} -\usepackage{wasysym} -\usepackage{url} -% -\usepackage{graphics} -\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} -\usepackage{tikz} -\usetikzlibrary{matrix} -% -\theoremstyle{definition} -\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection] -\newcommand\thingy{% -\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } -\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition} -\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition} -\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme} -\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème} -\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire} -\newtheorem{rmk}[comcnt]{Remarque} -\newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie} -\newtheorem{algo}[comcnt]{Algorithme} -\newtheorem{exmps}[comcnt]{Exemples} -\newtheorem{princ}[comcnt]{Principe} -\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}} -\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}} -\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}} -\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} -\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} -\newcommand{\id}{\operatorname{id}} -\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} -\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} -\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} -\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} -\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} -\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} -\newcommand{\init}{\operatorname{in}} -\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} -\newcommand{\divis}{\operatorname{div}} -\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} -\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} -% -\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} -% -\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} -\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} -% -\DeclareFontFamily{U}{manual}{} -\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} -\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% - {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} -\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped -\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% - \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} -% -% -% -\begin{document} -\title{\underline{Brouillon} de notes de cours\\de géométrie algébrique} -\author{David A. Madore} -\maketitle - -\centerline{\textbf{MDI349}} - -% -% -% - -\section*{Conventions} - -Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont -commutatifs et ont un élément unité (noté $1$). - -Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi : -implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k -\buildrel\varphi\over\to A$ (appelé \emph{morphisme structural} de -l'algèbre). On peut multiplier un élément de $A$ par un élément -de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in -A$). - - -% -% -% - -\section{Introduction / motivations} - -Qu'est-ce que la géométrie algébrique ? En condensé : -\begin{itemize} -\item\textbf{But :} Étudier les solutions de systèmes d'équations - polynomiales dans un corps ou un anneau quelconque, ou des objets - apparentés. (Étudier = étudier leur existence, les compter, les - paramétrer, les relier, définir une structure dessus, etc.) -\item\textbf{Géométrie :} Voir de tels systèmes d'équations comme des - objets géo\-mé\-triques, soit plongés dans un espace ambiant (espace - affine, espace projectif), soit intrinsèques ; leur appliquer des - concepts de géométrie (espace tangent, étude locale de singularités, - etc.). -\item\textbf{Moyens :} L'étude locale de ces objets passe par les - fonctions définies dessus, qui sont des anneaux tout à fait - généraux, donc l'\emph{algèbre commutative} (étude des anneaux - commutatifs et de leurs idéaux). -\end{itemize} - -\smallbreak - -Problèmes \emph{géométriques} = étude de solutions sur des corps -algébriquement clos (e.g., $\mathbb{C}$ : géométrie algébrique -complexe ; $\bar{\mathbb{F}}_p$) ou « presque » (e.g., $\mathbb{R}$ : -géométrie algébrique réelle). Problèmes \emph{arithmétiques} = sur -des corps loin d'être algébriquement clos (e.g., $\mathbb{Q}$ : -géométrie arithmétique), ou des anneaux plus gé\-né\-raux -(e.g., $\mathbb{Z}$ : idem, « équations diophantiennes »). - -Applications : cryptographie et codage (géométrie sur $\mathbb{F}_q$), -calcul formel, robotique (géométrie sur $\mathbb{R}$), analyse -complexe (géométrie sur $\mathbb{C}$), théorie des nombres -(sur $\mathbb{Q}$, corps de nombres...), etc. - -\smallbreak - -\textbf{Un exemple :} Pour tout anneau $k$, on définit $C(k) = -\{(x,y)\in k^2 : x^2+y^2 = 1\}$. Interprétation géométrique : ceci -est un cercle ! Il est plongé dans le « plan affine » $\mathbb{A}^2$ -défini par $\mathbb{A}^2(k) = k^2$ pour tout anneau $k$. - -\begin{itemize} -\item Sur $\mathbb{R}$, les solutions forment effectivement un cercle, - au sens naïf. -\item (Sur $\mathbb{C}$, les solutions dans $\mathbb{C}^2$ forment une - surface, qui ressemblerait plutôt à une sphère privée de deux - points.) -\item Sur $\mathbb{F}_q$, on peut compter les solutions : on peut - montrer qu'il y en a $q-1$ ou $q+1$ selon que $q \equiv 1\pmod{4}$ - ou $q \equiv 3\pmod{4}$ (ou encore $q$ pour $q = 2^r$). -\item Sur $\mathbb{Q}$, il n'est pas complètement évident de trouver - des solutions autres que $(\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1)$. Un exemple : - $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ (Pythagore, Euclide...). -\end{itemize} - -Paramétrage des solutions : - -\begin{center} -\begin{tikzpicture}[scale=3] -\draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25); -\draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15); -\draw (0,0) circle (1cm); -\draw (1,-1.15) -- (1,1.15); -\coordinate (P) at (0.8,0.6); -\coordinate (Q) at (1,0.6666666667); -\draw (0.8,0) -- (P); -\draw (-1,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (Q); -\fill[black] (P) circle (.5pt); -\fill[black] (Q) circle (.5pt); -\fill[black] (-1,0) circle (.5pt); -\node[anchor=west] at (Q) {$\scriptstyle (1,2t)$}; -\node[anchor=north east] at (-1,0) {$\scriptstyle (-1,0)$}; -\node[anchor=east] at (P) {$\scriptstyle (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$}; -\end{tikzpicture} -\end{center} - -Un petit calcul géométrique (cf. les formules exprimant -$\cos\theta,\sin\theta$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$), -valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait -tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une - $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] = - \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de -montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut -s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t -\in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$). - -\emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point -$(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le -corps des fonctions rationnelles à une indéterminée sur $k$ ; (b) ceci -permet, par exemple, de trouver de nombreuses solutions -sur $\mathbb{Q}$, ou d'en trouver rapidement sur -$\mathbb{F}_q$ ($q$ impair) ; (c) on a, en fait, défini un -« morphisme » d'objets géométriques de la droite affine $\mathbb{A}^1$ -vers le cercle $C$ (privé du point $(-1,0)$). - -On peut aussi définir une structure de \emph{groupe} (abélien) sur les -points de $C(k)$ pour n'importe quel anneau $k$ : si $(x,y) \in C(k)$ -et $(x',y') \in C(k)$, on définit leur composée $(x,y)\star (x',y') = -(x'',y'')$ par -\[ -\left\{\begin{array}{c} -x'' = xx'-yy'\\ -y'' = xy'+yx'\\ -\end{array}\right. -\] -(cf. les formules exprimant -$\cos(\theta+\theta'),\sin(\theta+\theta')$ en fonction de -$\cos\theta,\sin\theta$ et $\cos\theta',\sin\theta'$). Élément -neutre : $(1,0)$ ; inverse de $(x,y)$ : $(x,-y)$. - -(Les fonctions trigonométriques, ``transcendantes'', servent à motiver -ces formules, mais les formules sont parfaitement valables sur -$\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !) - -\emph{Remarque :} Tout élément $f$ de l'anneau -$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction réelle sur le -cercle $C(\mathbb{R})$ : ces fonctions s'appellent « polynômes - trigonométriques ». Tout élément de l'anneau -$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction (à valeurs -dans $k$) sur \emph{n'importe quel} $C(k)$. On verra aussi plus loin -qu'un élément de $C(k)$ peut se voir comme un morphisme d'anneaux -$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to k$. - - -% -% -% - -\section{Prolégomènes d'algèbre commutative} - -\subsection{Anneaux réduits, intègres}\label{subsection-reduced-and-integral-rings} - -Anneau \textbf{réduit} = anneau dans lequel $x^n = 0$ implique $x = -0$. En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel que $x^n = 0$ pour un -certain $n \in \mathbb{N}$ s'appelle un élément \textbf{nilpotent}. - -Anneau \textbf{intègre} = anneau non nul dans lequel $xy = 0$ implique -$x=0$ ou $y=0$ (remarque : la réciproque vaut dans tout anneau). En -général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel qu'il existe $y \neq 0$ tel -que $xy = 0$ s'appelle un \textbf{diviseur de zéro}. - -Élément \textbf{inversible} (ou \emph{unité}) d'un anneau $A$ = -élément $x$ tel qu'il existe $y$ vérifiant $xy = 1$. L'ensemble -$A^\times$ ou $\mathbb{G}_m(A)$ des tels éléments forme un -\emph{groupe}, appelé groupe multiplicatif des inversibles de $A$. Un -\textbf{corps} est un anneau tel que $A^\times = A\setminus\{0\}$. - -Un corps est un anneau intègre. Un anneau intègre est un anneau -réduit. - -\smallbreak - -Idéal \textbf{maximal} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{m} \neq -A$ tel que si $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}'$ (avec -$\mathfrak{m}'$ un autre idéal) alors soit -$\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ soit $\mathfrak{m}'=A$). Propriété -équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{m}$ tel que $A/\mathfrak{m}$ -soit un corps. - -Idéal \textbf{premier} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{p} \neq -A$ tel que si $x,y\not\in\mathfrak{p}$ alors $xy \not\in -\mathfrak{p}$. Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{p}$ -tel que $A/\mathfrak{p}$ soit intègre. - -Idéal \textbf{radical} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{r}$ tel -que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$. Propriété -équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$ -soit réduit. - -\emph{Exemples :} L'idéal $7\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est maximal -(le quotient $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps), donc \textit{a - fortiori} premier et radical. L'idéal $0$ de $\mathbb{Z}$ est -premier mais non maximal (le quotient $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = -\mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais non un corps). L'idéal -$6\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est radical mais n'est pas premier. -L'idéal $9\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ n'est pas radical. - -\smallbreak - -Un anneau est un corps ssi son idéal $(0)$ est maximal. Un anneau est -intègre ssi son idéal $(0)$ est premier. Un anneau est réduit ssi son -idéal $(0)$ est radical. - -Un anneau est dit \textbf{local} lorsqu'il a un unique idéal maximal. -(En particulier, un corps est un anneau local.) Le quotient d'un -anneau local par son idéal maximal s'appelle son \emph{corps - résiduel}. \emph{Exercice :} l'anneau $A$ des rationnels de la -forme $\frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{Z}$ et $b$ impair est un -anneau local dont l'idéal maximal $\mathfrak{m}$ est formé des -$\frac{a}{b}$ avec $a$ pair. (Quel est le corps résiduel ?) - -\smallbreak - -On admet le résultat ensembliste suivant : -\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff] -Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$. On -suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non -vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par -l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a -soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I - \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$. -Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $\mathfrak{M}$ maximal -pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec -$I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$). -\end{lem} - -\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals} -Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans -un idéal maximal. -\end{prop} -\begin{proof} -Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de -Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$ -contenant $I$. Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement -ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in - \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux - n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la - somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$. En - revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement - ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est - un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on - peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un - cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}} - I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer -que $1$ n'y appartient pas). Le principe maximal de Hausdorff permet -de conclure. -\end{proof} - -\begin{prop} -Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal : -c'est le plus petit idéal radical. Cet idéal est précisément -l'intersection des idéaux premiers de l'anneau. On l'appelle le -\textbf{nilradical} de l'anneau. -\end{prop} -\begin{proof} -L'ensemble des nilpotents est un idéal car si $x^n=0$ et $y^n=0$ alors -$(x+y)^{2n}=0$ en développant. Il est inclus dans tout idéal radical, -et il est visiblement lui-même radical : c'est donc le plus petit -idéal radical. Étant inclus dans tout idéal radical, il est \textit{a - fortiori} inclus dans tout idéal premier. Reste à montrer que si -$z$ est inclus dans tout idéal premier, alors $x$ est nilpotent. - -Supposons que $z$ n'est pas nilpotent. Considérons $\mathfrak{p}$ un -idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun -$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff -(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$). -Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut -voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$. Par maximalité de $\mathfrak{p}$, -chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux - d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un - idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus - petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$ - et $J$. Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un - élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.} -$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$, -c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme -$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient -des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance -de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy -\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont -dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in -\mathfrak{p}$. -\end{proof} - -En appliquant ce résultat à $A/I$, on obtient : -\begin{prop} -Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments -tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal : -c'est le plus petit idéal radical contenant $I$. Cet idéal est -précisément l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$. -On l'appelle le \textbf{radical} de l'idéal $I$ et on le note $\surd -I$. -\end{prop} - -L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le -\textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général, -strictement plus grand que le nilradical. - -Notons aussi la conséquence facile suivante de la -proposition \ref{existence-maximal-ideals}. -\begin{prop}\label{non-invertible-elements-and-maximal-ideals} -Dans un anneau $A$, l'ensemble des éléments non-inversibles est la -réunion de tous les idéaux maximaux. -\end{prop} -\begin{proof} -Dire que $x$ est inversible signifie que $x$ engendre l'idéal unité. -Si c'est le cas, $x$ n'appartient à aucun idéal strict de $A$, et en -particulier aucun idéal maximal. Réciproquement, si $x$ n'est pas -inversible, l'idéal $(x)$ qu'il engendre est strict, donc inclus dans -un idéal maximal $\mathfrak{m}$ -d'après \ref{existence-maximal-ideals}, donc $x$ est bien dans la -réunion des idéaux maximaux. -\end{proof} - -% -\subsection{Modules} - -Un \textbf{module} $M$ sur un anneau $A$ est un groupe abélien muni -d'une multiplication externe $A \times M \to M$ vérifiant : -\begin{itemize} -\item $a(x+y) = ax + ay$ -\item $1x = x$ -\item $(ab)x = a(bx)$ -\item $(a+b)x = ax + bx$ -\end{itemize} -(Exercice : $a0 = 0$, $a(-x) = -(ax)$, $0x = x$, $(-a)x = -(ax)$...) - -Un \textbf{sous-module} $M'$ d'un module $M$ est un sous-groupe $M'$ -de $M$ tel que $ax \in M'$ dès que $x\in M'$ et $a\in A$. - -Tout anneau est un module sur lui-même de façon évidente. Un -sous-$A$-module de $A$ est la même chose qu'un idéal de $A$. Si $B$ -est une $A$-algèbre, c'est-à-dire si on se donne un morphisme -d'anneaux $A \buildrel\varphi\over\to B$, on peut voir $B$ comme un -$A$-module (par $a\cdot b = \varphi(a)\,b$). - -Module de type fini = il existe une famille \emph{finie} $(x_i)$ -d'éléments de $M$ qui engendre $M$ comme $A$-module, c'est-à-dire que -tout $x \in M$ peut s'écrire $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in -A$. - -Module libre = il existe une base $(x_i)$, c'est-à-dire une famille -(non né\-ces\-sairement finie) telle que tout $x \in M$ peut s'écrire -\emph{de façon unique} comme $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in -A$ tous nuls sauf un nombre fini (de façon unique, c'est-à-dire que -$\sum_i a_i x_i = 0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$). - -% -\subsection{Anneaux noethériens} - -Anneau \textbf{noethérien} : c'est un anneau $A$ vérifiant les -proprités équivalentes suivantes : -\begin{itemize} -\item toute suite croissante pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1 - \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ d'idéaux de $A$ stationne - (c'est-à-dire est constante à partir d'un certain rang) ; -\item tout idéal $I$ de $A$ est de type fini : il existe une famille - \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $I$ qui engendre $I$ comme idéal - (= comme $A$-module) (c'est-à-dire que tout $x \in I$ peut s'écrire - $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$) ; -\item plus précisément, si $I$ est l'idéal engendré par une famille - $x_i$ d'éléments, on peut trouver une sous-famille finie des $x_i$ - qui engendre le même idéal $I$ ; -\item un sous-module d'un $A$-module de type fini est de type fini. -\end{itemize} - -L'essentiel des anneaux utilisés en géométrie algébrique (en tout cas, -auxquels on aura affaire) sont noethériens. L'anneau $\mathbb{Z}$ est -noethérien. Tout corps est un anneau noethérien. Tout quotient d'un -anneau noethérien est noethérien (attention : il n'est pas vrai qu'un -sous-anneau d'un anneau noethérien soit toujours noethérien). Et -surtout : -\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert] -Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à -une indéterminée sur $A$ est noethérien. -\end{prop} -\begin{proof} -Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal. Supposons par l'absurde que $I$ -n'est psa de type fini. On construit par récurrence une suite -$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit. Si -$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal -$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut -choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$ -non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$. - -Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$. Comme $A$ est -supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$ -engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$. Montrons qu'en -fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une -contradiction). - -On peut écrire $c_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$. Par -ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun -de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers. On peut donc -construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m - - \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$, -et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$. Alors, $f_m - g$ est de -degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas -à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix -de $f_m$. -\end{proof} - -En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors -$A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$. Comme un -quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien : - -\begin{defn}\label{finite-type-algebras} -Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre) -lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer} -$B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive -$f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in -A[t_1,\ldots,t_d]$. -\end{defn} - -\danger\textbf{Attention :} Cela ne signifie pas que $B$ soit de type -fini comme $A$-module. Lorsque c'est le cas, on dit que $B$ est une -$A$-algèbre \emph{finie}, ce qui est plus fort car cela signifie que -$f$ serait de degré $1$. (Par exemple, $k[t]$ est une $k$-algèbre de -type fini, engendrée par $t$, mais pas finie.) - -Dire que $B$ est une $A$-algèbre de type fini engendrée par -$x_1,\ldots,x_d$ signifie donc que le morphisme $\xi\colon -A[t_1,\ldots,t_d] \to B$ défini par $f \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)$ est -\emph{surjectif}. Par conséquent, si $I$ désigne le noyau de ce -morphisme (c'est-à-dire l'ensemble des $f \in A[t_1,\ldots,t_d]$ qui -s'annulent en $(x_1,\ldots,x_d)$) alors $\xi$ définit un isomorphisme -$A[t_1,\ldots,t_d]/I \buildrel\sim\over\to B$. On peut donc dire : -une $A$-algèbre de type fini est un quotient de $A[t_1,\ldots,t_d]$ -(pour un certain $d$). - -\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian} -Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier -sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien. -\end{cor} - -% -\subsection{Notes sur les morphismes}\label{subsection-note-morphisms} - -Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire -qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B -\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ (ou bien -$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{Alg}}(A,B)$ s'il y a -ambiguïté\footnote{Par exemple pour bien distinguer de l'ensemble - $\Hom_{k\traitdunion\mathrm{Mod}}(A,B)$ des applications - $k$-linéaires, ou morphismes de $k$-modules, entre $A$ et $B$ vus - comme des $k$-modules.}) l'ensemble des morphismes de $k$-algèbres -$A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes d'anneaux -$A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant commuter -le diagramme : -\begin{center} -\begin{tikzpicture}[auto] -\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{ -A&&B\\&k&\\}; -\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\varphi_A$} (diag-1-1); -\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$\varphi_B$} (diag-1-3); -\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\psi$} (diag-1-3); -\end{tikzpicture} -\end{center} - -Remarque : une $\mathbb{Z}$-algèbre est la même chose qu'un anneau, et -un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux. - -\begin{prop} -\begin{itemize} -\item $\Hom_k(k,A)$ est un singleton pour toute $k$-algèbre $A$. -\item $\Hom_k(k[t],A)$ est en bijection avec $A$ en envoyant - $\psi\colon k[t]\to A$ sur $\psi(t)$. -\item De même, $\Hom_k(k[t_1,\ldots,t_d],A)$ est en bijection avec - l'ensemble $A^d$ (en envoyant $\psi$ sur - $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$). -\item Si $I$ est un idéal de $R$, alors $\Hom_k(R/I, A)$ est en - bijection avec le sous-ensemble de $\Hom_k(R,A)$ formé des - $\psi\colon R\to A$ qui s'annulent sur $I$ (la bijection envoyant - $\hat\psi \colon R/I \to A$ sur $\psi \colon R\to A$ composé de - $\hat\psi$ avec la surjection canonique $R \to R/I$). -\item (En particulier,) si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de - $k[t_1,\ldots,t_d]$ et si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors - $\Hom_k(R, A)$ est en bijection avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) - \in A^d :\penalty0 (\forall j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté - $Z(I)(A)$). -\end{itemize} -\end{prop} - -À titre d'exemple, dans l'introduction on avait posé $C(T) = -\{(x,y)\in T^2 : x^2+y^2 = 1\}$ pour tout anneau $T$. Un élément de -$C(T)$ peut donc se voir comme un morphisme -$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to T$. - -\textbf{Exercice :} Si on note $k[x,x^{-1}] = k[x,y]/(xy-1)$, à quoi -peut-on identifier l'ensemble $\Hom_k(k[x,x^{-1}], A)$ ? - -\smallbreak - -Si $\beta\colon B \to B'$, on définit une application -$\Hom_k(A,\beta)\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ par $\psi \mapsto -\beta\circ\psi$ ; si $\alpha \colon A' \to A$ (attention au sens de la -flèche !), on définit de même une application $\Hom_k(\alpha,B) \colon -\Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ par $\psi \mapsto \psi\circ\alpha$. Ces -applications $\Hom_k(A,\beta)$ et $\Hom_k(\alpha,B)$ commutent au sens -où $\Hom_k(\alpha,B') \circ \Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ -\Hom_k(\alpha,B) \penalty0\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B')$ (c'est -trivial : composer $\psi$ à droite par $\alpha$ puis à gauche -par $\beta$ revient à le composer à gauche par $\beta$ puis à droite -par $\alpha$). De façon à peine moins triviale : - -\begin{prop}[lemme de Yoneda] -Soient $B,B'$ deux $k$-algèbres. On suppose que pour toute -$k$-algèbre $A$ on se donne une application $\beta_A\colon \Hom_k(A,B) -\to \Hom_k(A,B')$ telle que si $\alpha\colon A'\to A$ alors -$\Hom_k(\alpha,B') \circ \beta_A = \beta_{A'} \circ \Hom_k(\alpha,B)$. -Alors il existe un unique morphisme $\beta\colon B \to B'$ de -$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour toute -$k$-algèbre $A$. - -Dans l'autre sens : si $A,A'$ sont deux $k$-algèbres, et si pour toute -$k$-algèbre $B$ on se donne une application $\alpha_B\colon -\Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ telle que $\alpha_{B'} \circ -\Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ \alpha_B$, alors il existe un -unique morphisme $\alpha\colon A'\to A$ de $k$-algèbres tel que -$\alpha_B = \Hom_k(\alpha,B)$ pour toute $k$-algèbre $B$. -\end{prop} -\begin{proof} -Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$, ou -pour $\alpha$ l'image de l'identité $\id_A$ par $\alpha_A$. -\end{proof} - -% -\subsection{Localisation} - -On dit qu'une partie $S$ d'un anneau $A$ est \emph{multiplicative} -lorsque $1\in S$ et $s,s'\in S \limp ss'\in S$. Par exemple, le -complémentaire d'un idéal premier est, par définition, -multiplicative ; en particulier, dans un anneau intègre, l'ensemble -des éléments non nuls est une partie multiplicative. - -Dans ces conditions, on construit un anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou -$S^{-1}A$) de la façon suivante : ses éléments sont notés $a/s$ avec -$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie\footnote{Ce racourci de langage - signifie qu'on considère la relation d'équivalence $\sim$ sur - $A\times S$ définie par $(a,s) \sim (a',s')$ lorsqu'il existe $t \in - S$ tel que $t(a's-as') = 0$, on appelle $A[S^{-1}]$ le quotient - $(A\times S)/\sim$, et on note $a/s$ la classe de $(a,s)$ pour cette - relation ; il faudrait encore vérifier que toutes les opérations - proposées ensuite sont bien définies.} $a/s = a'/s'$ lorsqu'il -existe $t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$. L'addition est définie par -$(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le zéro par $0/1$, l'opposé par -$-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') = -(aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$). Cet anneau est muni d'un morphisme -naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ donné par $a \mapsto -a/1$. On l'appelle le \textbf{localisé} de $A$ inversant la partie -multiplicative $S$. Si $A$ est une $k$-algèbre (pour un certain -anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente -(en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme -naturel $A \to A[S^{-1}]$). - -\begin{prop}\label{properties-localization} -\begin{itemize} -\item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est - injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro. - (Extrême inverse : si $S$ contient $0$, alors $A[S^{-1}]$ est - l'anneau nul.) -\item Tout idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ est de la forme $J = I[S^{-1}] := - \{a/s : a\in I,\penalty0 s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque - dans $A$ (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de - l'idéal $J$ considéré. Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$ - définit une injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$. -\item Un idéal $I$ de $A$ est de la forme $\iota^{-1}(J)$ pour un - idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (né\-ces\-sai\-rement $J = I[S^{-1}]$ d'après le - point précédent) ssi aucun élément de $S$ n'est diviseur de zéro - dans $A/I$. -\item En particulier, $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$ - définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et - ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$. -\item Si $A$ est une $k$-algèbre, $\Hom_k(A[S^{-1}],B)$ s'identifie, - via $\Hom_k(\iota,B)\colon\penalty0 \Hom_k(A[S^{-1}],B) \to - \Hom_k(A,B)$, au sous-ensemble de $\Hom_k(A,B)$ formé des morphismes - $\psi\colon A\to B$ tels que $\psi(s)$ soit inversible pour - tout $s\in S$. -\end{itemize} -\end{prop} - -Cas particuliers importants : si $\mathfrak{p}$ est premier et $S = -A\setminus\mathfrak{p}$ est son com\-plé\-men\-taire, on note -$A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; c'est un anneau local (dont l'idéal -maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s -\not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle le localisé de $A$ -\textbf{en} $\mathfrak{p}$. Si $A$ est un anneau intègre et $S = A -\setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note -$\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \textbf{corps des - fractions} de $A$. Par exemple, $\Frac(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}$ et -$\Frac(k[t]) = k(t)$ pour $k$ un corps. - -Toute partie $\Sigma$ de $A$ engendre une partie multiplicative $S$ -(c'est l'intersection de toutes les parties multiplicatives -contenant $\Sigma$, ou simplement l'ensemble de tous les produits -possibles d'éléments de $\Sigma$) : on note généralement -$A[\Sigma^{-1}]$ pour $A[S^{-1}]$. En particulier, lorsque $\Sigma$ -est le singleton d'un élément $\sigma$, on note $A[\sigma^{-1}]$ ou -$A[\frac{1}{\sigma}]$. - -\begin{prop}\label{localization-inverting-one-element} -Si $A$ est un anneau et $f\in A$ alors $A[\frac{1}{f}] \cong -A[z]/(zf-1)$ (ici, $A[z]$ est l'anneau des polynômes en une -indéterminée) par un isomorphisme envoyant $\frac{a}{f^n}$ sur la -classe de $a z^n$. -\end{prop} -\begin{proof} -Considérons le morphisme $A[z] \to A[\frac{1}{f}]$ envoyant $z$ -sur $\frac{1}{f}$, c'est-à-dire $h \mapsto h(\frac{1}{f})$ (pour $h -\in A[z]$). Il est évident qu'il est surjectif ($a z^n$ s'envoie -sur $\frac{a}{f^n}$) et que son noyau contient $zf-1$. Tout revient -donc à montrer que si $h \in A[z]$ est dans le noyau, i.e., vérifie -$h(\frac{1}{f}) = 0 \in A[\frac{1}{f}]$, alors $h$ est dans l'idéal -engendré par $zf-1$. Mettons $h = c_0 + c_1 z + \cdots + c_n z^n$ : -la condition $h(\frac{1}{z}) = 0$ signifie $(c_0 f^n + c_1 f^{n-1} + -\cdots + c_n)/f^n = 0 \in A[\frac{1}{f}]$, c'est-à-dire qu'il existe -$k$ tel que $c_0 f^{n+k} + c_1 f^{n+k-1} + \cdots + c_n f^k = 0$. -Cherchons une écriture $h(z) = q(z)\,(1-zf)$ où $q \in A[z]$, disons -$q(z) = d_0 + d_1 z + \cdots + d_N z^N$. En identifiant les -coefficients, on trouve $c_0 = d_0$, $c_1 = d_1 - d_0 f$, $c_2 = d_2 - -d_1 f$, etc., c'est-à-dire $d_0 = c_0$, $d_1 = c_0 f + c_1$, et -généralement $d_r = c_0 f^r + \cdots + c_{r-1} f + c_r$ en convenant -$c_i = 0$ si $i>n$. Pour que ceci définisse bien un polynôme $q$, il -faut et il suffit que $d_r$ soit nul à partir d'un certain rang (à -savoir $N+1$ avec les notations précédentes). Or la condition qu'on a -trouvé s'exprime précisément par le fait que $d_{n+k} = 0$ ainsi que -tous les $d_i$ ultérieurs. -\end{proof} - -% -\subsection{TODO} - -Lemme de Nakayama ? - -Produit tensoriel ? (Sous quelle forme ?) - - -% -% -% - -\section{Variétés algébriques affines sur un corps algé\-bri\-que\-ment clos} - -Pour le moment, $k$ est un corps, qui sera bientôt algébriquement -clos. - -% -\subsection{Une question d'idéaux maximaux} - -On commence par une remarque : si $x = (x_1,\ldots,x_d)$ est un point -de $k^d$, on dispose d'un \emph{morphisme d'évaluation en $x$}, -$k[t_1,\ldots,t_d] \to k$, donné par $f \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)$ -(pour $f$ un polynôme à $d$ indéterminées), qui à $f$ associe sa -valeur en $d$. Ce morphisme est évidemment surjectif (tout $c \in k$ -est l'image du polynôme constant $c$). Si on appelle $\mathfrak{m}_x$ -son noyau, c'est-à-dire, l'ensemble (donc l'idéal) des polynômes $f$ -s'annulant en $x$, alors l'évaluation définit un isomorphisme -$k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}_x \buildrel\sim\over\to k$. Par -conséquent, $\mathfrak{m}_x$ est un idéal \emph{maximal} -de $k[t_1,\ldots,t_d]$. Notons que $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal -$(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$ engendré par tous les $t_i - x_i$. - -Si $k$ n'est pas algébriquement clos, il n'est pas vrai que tout idéal -maximal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ soit de la forme $\mathfrak{m}_x$ pour -un certain $x \in k^d$ (par exemple, si $k = \mathbb{R}$, l'idéal -qu'on pourrait noter $\mathfrak{m}_{\{\pm i\}}$ de $\mathbb{R}[t]$ et -formé des $f \in \mathbb{R}[t]$ tels que $f(i) = 0$, ou, de façon -équivalente, $f(-i) = 0$, c'est-à-dire l'idéal engendré par $t^2+1$, -n'est pas de cette forme, et d'ailleurs le quotient -$\mathbb{R}[t]/(t^2+1)$ est isomorphe à $\mathbb{C}$ et pas -à $\mathbb{R}$). En revanche, si $k$ \emph{est} algébriquement clos, -on va voir ci-dessous que tout idéal maximal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ -est l'idéal $\mathfrak{m}_x$ des polynômes s'annulant en un certain -point $x$. - -% -\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux} - -\textbf{Comment associer une partie de $k^d$ à un idéal de - $k[t_1,\ldots,t_d]$ ?} - -Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit un -ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0 -(\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (on devrait -plutôt noter $Z(\mathscr{F})(k)$, surtout si $k$ -n'est pas algébriquement clos, mais il le sera bientôt). Plus -généralement, pour toute $k$-algèbre $A$, on définit -$Z(\mathscr{F})(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall -f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$. - -Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors -$Z(\mathscr{F}) \supseteq Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est -« décroissante pour l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) = \bigcap_{f\in - \mathscr{F}} Z(f)$ (où $Z(f)$ est un racourci de notation pour -$Z(\{f\})$). Plus intéressant : si $I$ est l'idéal engendré par -$\mathscr{F}$ alors $Z(I) = Z(\mathscr{F})$. On peut donc se -contenter de regarder les $Z(I)$ avec $I$ idéal -de $k[t_1,\ldots,t_d]$. Encore un peu mieux : si $\surd I = \{f : -(\exists n)\,f^n\in I\}$ désigne le radical de l'idéal $I$, on a -$Z(\surd I) = Z(I)$ ; on peut donc se contenter de considérer les -$Z(I)$ avec $I$ idéal radical. - -On appellera \textbf{fermé de Zariski} dans $k^d$ une partie $E$ de -$k^d$ vérifiant le premier point, c'est-à-dire de la forme -$Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$ -de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il -s'agit d'un idéal radical. - -Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble -$k^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) = k^d$) ; tout -singleton est un fermé de Zariski ($Z(\mathfrak{m}_x) = \{x\}$, par -exemple en voyant $\mathfrak{m}_x$ comme $(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$). -Si $(E_i)_{i\in \Lambda}$ sont des fermés de Zariski, alors -$\bigcap_{i\in \Lambda} E_i$ est un fermé de Zariski : plus -précisément, si $(I_i)_{i\in \Lambda}$ sont des idéaux -de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(\sum_{i\in\Lambda} I_i) = -\bigcap_{i\in\Lambda} Z(I_i)$. Si $E,E'$ sont des fermés de Zariski, -alors $E \cup E'$ est un fermé de Zariski : plus précisément, si -$I,I'$ sont des idéaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(I\cap I') = -Z(I) \cup Z(I')$ (l'inclusion $\supseteq$ est évidente ; pour l'autre -inclusion, si $x \in Z(I\cap I')$ mais $x \not\in Z(I)$, il existe -$f\in I$ tel que $f(x) \neq 0$, et alors pour tout $f' \in I'$ on a -$f(x)\,f'(x) = 0$ puisque $ff' \in I\cap I'$, donc $f'(x) = 0$, ce qui -prouve $x \in Z(I')$). - -\medbreak - -\textbf{Comment associer un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ à une partie - de $k^d$ ?} - -Réciproquement, si $E$ est une partie de $k^d$, on note -$\mathfrak{I}(E) = \{f\in k[t_1,\ldots,t_d] :\penalty0 (\forall -(x_1,\ldots,x_d)\in E)\, f(x_1,\ldots,x_d)=0\}$. Vérification -facile : c'est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, et même un idéal -radical. Remarque évidente : si $E \subseteq E'$ alors -$\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(E')$ ; on a $\mathfrak{I}(E) = -\bigcap_{x\in E} \mathfrak{m}_x$ (où $\mathfrak{m}_x$ désigne l'idéal -maximal $\mathfrak{I}(\{x\})$ des polynômes s'annulant en $x$), et en -particulier $\mathfrak{I}(E) \neq k[t_1,\ldots,t_d]$ dès que $E \neq -\varnothing$. - -On a de façon triviale $\mathfrak{I}(\varnothing) = -k[t_1,\ldots,t_d]$. De façon moins évidente, si $k$ est infini (ce -qui est en particulier le cas lorsque $k$ est algébriquement clos), on -a $\mathfrak{I}(k^d) = (0)$ (démonstration par récurrence sur $d$, -laissée en exercice). - -\danger Sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, on a -$\mathfrak{I}({\mathbb{F}_q}^d) \neq (0)$. Par exemple, si $t$ est -une des in\-dé\-ter\-mi\-nées, le polynôme $t^q-t$ s'annule en tout -point de ${\mathbb{F}_q}^d$. - -\medbreak - -\textbf{Le rapport entre ces deux fonctions} - -On a $E \subseteq Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} \subseteq -\mathfrak{I}(E)$ (les deux signifiant « tout polynôme dans - $\mathscr{F}$ s'annule en tout point de $E$ »). En particulier, en -appliquant ceci à $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, on a $E \subseteq -Z(\mathfrak{I}(E))$ pour toute partie $E$ de $k^d$ ; et en -l'appliquant à $E = Z(\mathscr{F})$, on a $\mathscr{F} \subseteq -\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F}))$. De $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ on -déduit $\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ -(car $\mathfrak{I}$ est décroissante), mais par ailleurs -$\mathfrak{I}(E) \subseteq \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ en -appliquant l'autre inclusion à $\mathfrak{I}(E)$ : donc -$\mathfrak{I}(E) = \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ pour toute partie -$E$ de $k^d$ ; de même, $Z(\mathscr{F}) = -Z(\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F})))$ pour tout ensemble $\mathscr{F}$ de -polynômes. On a donc prouvé : - -\begin{prop} -Avec les notations ci-dessus : -\begin{itemize} -\item Une partie $E$ de $k^d$ vérifie $E = Z(\mathfrak{I}(E))$ si et - seulement si elle est de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour un - certain $\mathscr{F}$ (=: c'est un fermé de Zariski), et dans ce cas - on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal - radical. -\item Une partie $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifie $I = - \mathfrak{I}(Z(I))$ si et seulement si elle est de la forme - $\mathfrak{I}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut - prendre $E = Z(I)$, et $I$ est un idéal radical - de $k[t_1,\ldots,t_d]$. -\item Les fonctions $\mathfrak{I}$ et $Z$ se restreignent en des - bijections décroissantes réci\-proques entre l'ensemble des parties - $E$ de $k^d$ vérifiant le premier point ci-dessus et l'ensemble des - idéaux radicaux $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifiant le second. -\end{itemize} -\end{prop} - -On a appelé \textbf{fermé de Zariski} une partie $E$ de $k^d$ -vérifiant le premier point, c'est-à-dire de la forme $Z(\mathscr{F})$ -pour une certaine partie $\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ : on a -vu qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical, et on vient -de voir qu'on peut écrire précisément $E = Z(I)$ où $I = -\mathfrak{I}(E)$. (On ne donne pas de nom particulier aux idéaux -vérifiant le second point (=être dans l'image de la -fonction $\mathfrak{I}$), mais on va voir que pour $k$ algébriquement -clos il s'agit de tous les idéaux radicaux.) - -\medbreak - -\textbf{Fermés irréductibles et idéaux premiers} - -On dit qu'un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ non vide est -\textbf{irréductible} lorsqu'on ne peut pas écrire $E = E' \cup E''$, -où $E',E''$ sont deux fermés de Zariski (forcément contenus -dans $E$...), sauf si $E'=E$ ou $E''=E$. - -\emph{Contre-exemple :} $Z(xy)$ (dans le plan $k^2$ de -coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y) -\in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 : -x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est -réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des -abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits -que $Z(xy)$. - -\begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal} -Un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ est irréductible si, et -seulement si, l'idéal $\mathfrak{I}(E)$ est premier. -\end{prop} -\begin{proof} -Supposons $\mathfrak{I}(E)$ premier : on veut montrer que $E$ est -irréductible. Supposons $E = E' \cup E''$ comme ci-dessus (on a vu -que $E = Z(\mathfrak{I}(E))$, $E' = Z(\mathfrak{I}(E'))$ et $E'' = -Z(\mathfrak{I}(E''))$) : on veut montrer que $E' = E$ ou $E'' = E$. -Supposons le contraire, c'est-à-dire $\mathfrak{I}(E) \neq -\mathfrak{I}(E')$ et $\mathfrak{I}(E) \neq \mathfrak{I}(E'')$. Il -existe alors $f' \in \mathfrak{I}(E') \setminus \mathfrak{I}(E)$ et -$f'' \in \mathfrak{I}(E'') \setminus \mathfrak{I}(E)$. On a alors -$f'f'' \not\in \mathfrak{I}(E)$ car $\mathfrak{I}(E)$ est premier, et -pourtant $f'f''$ s'annule sur $E'$ et $E''$ donc sur $E$, une -contradiction. - -Réciproquement, supposons $E$ irréductible : on veut montrer que -$\mathfrak{I}(E)$ est premier. Soient $f',f''$ tels que $f'f'' \in -\mathfrak{I}(E)$ : posons $E' = Z(\mathfrak{I}(E) + (f'))$ et $E'' = -Z(\mathfrak{I}(E) + (f''))$. On a $E' \subseteq E$ et $E'' \subseteq -E$ puisque $E = Z(\mathfrak{I}(E))$, et en fait $E' = E \cap Z(f')$ et -$E'' = E \cap Z(f'')$ ; on a par ailleurs $E = E' \cup E''$ (car si $x -\in E$ alors $f'(x)\,f''(x) = 0$ donc soit $f'(x)=0$ soit $f''(x)=0$, -et dans le premier cas $x \in E'$ et dans le second $x \in E''$). -Puisqu'on a supposé $E$ irréductible, on a, disons, $E' = E$, -c'est-à-dire $E \subseteq Z(f')$, ce qui signifie $f' \in -\mathfrak{I}(E)$. Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(E)$ est premier. -\end{proof} - -% -\subsection{Le Nullstellensatz} - -(Nullstellensatz, littéralement, « théorème du lieu d'annulation », ou -« théorème des zéros de Hilbert ».) - -On suppose maintenant que $k$ est algébriquement clos ! - -\begin{prop}[Nullstellensatz faible] -Soit $k$ un corps algébriquement clos. Si $I$ est un idéal de -$k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que $Z(I) = \varnothing$, alors $I = -k[t_1,\ldots,t_d]$. -\end{prop} -\begin{proof}[Démonstration dans le cas particulier où $k$ est indénombrable.] -Supposons par contraposée $I \subsetneq k[t_1,\ldots,t_d]$. Alors il -existe un idéal maximal $\mathfrak{m}$ tel que $I \subseteq -\mathfrak{m}$, et on a $Z(\mathfrak{m}) \subseteq Z(I)$. On va -montrer $Z(\mathfrak{m}) \neq \varnothing$. - -Soit $K = k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$. Il s'agit d'un corps, qui -est de dimension au plus dénombrable (=il a une famille génératrice -dénombrable, à savoir les images des monômes dans les $t_i$) sur $k$. -Mais $K$ ne peut pas contenir d'élément transcendant $\tau$ sur $k$ -car, $k$ ayant été supposé indénombrable, la famille des -$\frac{1}{\tau - x}$ pour $x\in k$ serait linéairement indépendante -(par décomposition en élément simples) dans $k(\tau)$ donc dans $K$. -Donc $K$ est algébrique sur $k$. Comme $k$ était supposé -algébriquement clos, on a en fait $K=k$. Les classes des -indéterminées $t_1,\ldots,t_d$ définissent alors des éléments -$x_1,\ldots,x_d \in k$, et pour tout $f \in \mathfrak{m}$, on a -$f(x_1,\ldots,x_d) = 0$. Autrement dit, $(x_1,\ldots,x_d) \in -Z(\mathfrak{m})$, ce qui conclut. -\end{proof} - -En fait, dans le cours de cette démonstration, on a montré (dans le -cas particulier où on s'est placé, mais c'est vrai en général) : -\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{maximal-ideals-of-polynomial-algebras} -Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos. Tout idéal maximal -$\mathfrak{m}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme -$\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_d)} := \{f : f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ -pour un certain $(x_1,\ldots,x_d) \in k^d$. -\end{prop} -\begin{proof} -En fait, on a prouvé que si $\mathfrak{m}$ est un idéal maximal, il -existe $(x_1,\ldots,x_d) \in k^d$ tels que $(x_1,\ldots,x_d) \in -Z(\mathfrak{m})$, ce qui donne $\mathfrak{m} \subseteq -\mathfrak{I}(\{(x_1,\ldots,x_d)\})$, mais par maximalité de -$\mathfrak{m}$ ceci est en fait une égalité. -\end{proof} - -En particulier, le corps quotient $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$ est -isomorphe à $k$, l'isomorphisme étant donnée par l'évaluation au point -$(x_1,\ldots,x_d)$ tel que ci-dessus. - -\begin{thm}[Nullstellensatz = théorème des zéros de Hilbert] -Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ (toujours avec $k$ un corps -algébriquement clos) : alors $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le -radical de $I$). -\end{thm} -\begin{proof} -On sait que $\surd I \subseteq \mathfrak{I}(Z(I))$ et il s'agit de -montrer la réciproque. Soit $f \in \mathfrak{I}(Z(I))$ : on veut -prouver $f\in \surd I$. On vérifie facilement que ceci revient à -montrer que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$ -de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est l'idéal unité. Or -$k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$ -d'après \ref{localization-inverting-one-element}. Soit $J$ l'idéal -engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que -$Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir -simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$, -donc le Nullstellensatz faible entraîne $J = k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : -ceci donne $I[\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$. -\end{proof} - -\begin{scho} -Si $k$ est un corps algébriquement clos, les fonctions $I \mapsto -Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections -réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux -de $k[t_1,\ldots,t_d]$ d'une part, et les fermés de Zariski de $k^d$ -d'autre part. - -Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons) -de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de -$k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$), et les -\emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux -premiers. -\end{scho} - -% -\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski} - -Si $X$ est un fermé de Zariski dans $k^d$ avec $k$ algébriquement -clos, on a vu qu'il existe un unique idéal radical $I$ -de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{I}(X)$ des -polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = Z(I)$. Le quotient -$k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi -$X$ est irréductible) s'appelle l'\emph{anneau des fonctions - régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$. - -Pourquoi fonctions régulières ? On peut considérer un élément $f \in -\mathcal{O}(X)$ comme une fonction $X \to k$ de la façon suivante : si -$\tilde f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ est un représentant de $f$ -(modulo $I$) et si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in X$, la valeur de $\tilde -f(x_1,\ldots,x_d)$ ne dépend pas du choix de $\tilde f$ représentant -$f$ puisque tout élément de $I$ s'annule en $x$ ; on peut donc appeler -$f(x)$ cette valeur. Inversement, un $f \in \mathcal{O}(X)$ est -complètement déterminé par sa valeur sur chaque point $x$ de $X$ -(rappel : $k$ est algébriquement clos ici, et c'est important !) ; en -effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X$, tout élément de -$k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x \in X$, -c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui signifie justement -$f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$. Moralité : on peut bien considérer les -éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions. Ces fonctions sont, -tout simplement, les restrictions à $X$ des fonctions polynomiales -sur $k^d$. - -Dans le cas où $X = k^d$ tout entier (donc $I = (0)$), évidemment, -$\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]$. - -On définit un fermé de Zariski de $X$ comme un fermé de Zariski -de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$. La bonne nouvelle est -que la correspondance entre fermés de Zariski de $k^d$ et idéaux de -$k[t_1,\ldots,t_d]$ se généralise presque mot pour mot à une -correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux -de $\mathcal{O}(X)$ : - -\begin{prop} -Avec les notations ci-dessus : -\begin{itemize} -\item Tout fermé de Zariski de $X$ est de la forme $Z(\mathscr{F}) := - \{x\in X :\penalty0 {(\forall f\in \mathscr{F})}\penalty100\, f(x) = - 0\}$ pour un certain ensemble $\mathscr{F}$ d'éléments - de $\mathcal{O}(X)$. -\item En posant $\mathfrak{I}(E) := \{f\in \mathcal{O}(X) :\penalty0 - {(\forall x\in E)}\penalty100\, f(x)=0\}$, les fonctions $I \mapsto - Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections - réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux - radicaux de $\mathcal{O}(X)$ d'une part, et les fermés de Zariski de - $X$ d'autre part : on a $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ pour tout - idéal $I$ de $\mathcal{O}(X)$. -\item Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les - singletons) de $X$ en correspondance avec les idéaux maximaux de - $\mathcal{O}(X)$ (qui sont donc tous de la forme $\mathfrak{m}_x := - \{f \in \mathcal{O}(X) : f(x)=0\}$ pour un $x\in X$) ; et les - \emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux - premiers. -\end{itemize} -\end{prop} - -\smallbreak - -Soulignons en particulier que si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$ -(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal radical -de $\mathcal{O}(X)$), alors la surjection canonique $\mathcal{O}(X) -\to \mathcal{O}(X)/I$ est un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to -\mathcal{O}(X')$ qu'il faut interpréter comme envoyant une fonction -régulière $f$ sur $X$ sur sa \emph{restriction} à $X'$, parfois -notée $f|_{X'}$. - -% -\subsection{Points à valeurs dans une $k$-algèbre} - -On reprend la même situation : $I$ est un idéal radical de -$k[t_1,\ldots,t_d]$ et $X = Z(I)$ est le fermé de Zariski qu'il -définit (et $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d] / I$ l'anneau des -fonctions régulières sur $X$. - -On a pour l'instant considéré $X$ comme un sous-ensemble de $k^d$, -mais on souhaite changer progressivement de point de vue ; notamment, -l'ensemble pré\-cé\-dem\-ment noté $X$ aura de plus en plus tendance à être -noté $X(k)$, en appliquant la définition suivante : - -Pour toute $k$-algèbre $A$, on note $X(A)$ ou $Z(I)(A)$ (et on appelle -ensemble des \textbf{$A$-points} de $X$) l'ensemble -$\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall f \in I)\, -f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ des points de $A^d$ vérifiant les équations -définissant $X$. L'ensemble $X(k)$ est donc celui qu'on a -pré\-cé\-dem\-ment considéré sous le nom de $X$. - -Le cas particulier de l'espace affine tout entier (soit $I = (0)$) -sera noté $\mathbb{A}^d$ (normalement on devrait écrire -$\mathbb{A}^d_k$, mais c'est rarement important) : ainsi, -$\mathbb{A}^d(A) = A^d$ pour toute $k$-algèbre $A$. - -Si $A \buildrel\varphi\over\to A'$ est un morphisme de $k$-algèbres, -on a une application $X(\varphi) \colon X(A) \to X(A')$ qui à -$(x_1,\ldots,x_d) \in X(A)$ associe -$(\varphi(x_1),\ldots,\varphi(x_d)) \in X(A')$. (Par ailleurs, -$X(\psi\circ\varphi) = X(\psi)\circ X(\varphi)$.) On aura de plus en -plus tendance à considérer que $X$ ``est'' la donnée de ces ensembles -$X(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$ et de ces applications $X(\varphi)$ -pour tout morphisme de $k$-algèbres $\varphi$ : la collection de ces -données s'appelle le \textbf{foncteur des points} de $X$. - -\begin{rmk} -D'après ce qu'on a expliqué en \ref{subsection-note-morphisms}, pour -toute $k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des -morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ est en -bijection avec $X(A)$ (la bijection envoyant un morphisme $\psi\colon -\mathcal{O}(X) \to A$ sur le $d$-uplet $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$ -où $t_1,\ldots,t_d$ sont les classes des indéterminées dans le -quotient $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]/I$). On aura tendance à -utiliser cette bijection tacitement, et à considérer que les éléments -de $X(A)$ ``sont'' des morphismes d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to A$. - -En particulier, les $k$-points de $X$ (c'est-à-dire l'ensemble -précédemment noté $X$ et maintenant de préférence $X(k)$) peuvent être -identifiés avec les éléments de $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), k)$, le -point $x \in X$ étant identifié avec le morphisme $f \mapsto f(x)$ -d'évaluation en $x$. La classification des idéaux maximaux -de $\mathcal{O}(X)$ signifie donc que (pour $k$ algébriquement clos, -insistons !) tout idéal maximal de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des -fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$. -\end{rmk} - -% -\subsection{Morphismes de variétés algébriques affines}\label{subsection-morphisms-of-affine-algebraic-varieties} - -On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine} -dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski -$X$ de $k^d$. Pourquoi cette terminologie redondante ? Le terme -« fermé de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongée dans l'espace -affine $\mathbb{A}^d$. Le terme de « variété algébrique affine » -insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses propres fermés de -Zariski et de ses propres fonctions régulières, qu'on va maintenant -présenter. On a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau -$\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières, et, pour chaque -$k$-algèbre, on a identifié l'ensemble $X(A)$ des $A$-points de $X$ -avec $\Hom_k(\mathcal{O}(X), A)$. - -On veut maintenant définir des morphismes entre ces variétés -algébriques. Une fonction régulière doit être la même chose qu'un -morphisme vers la droite affine. On définit donc : -\begin{itemize} -\item un morphisme [de $k$-variétés algébriques affines] $f$ de $X$ - vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de dimension $e$ est la donnée - de $e$ fonctions régulières sur $X$, c'est-à-dire d'un $e$-uplet - d'éléments de $\mathcal{O}(X)$, -\item un morphisme [de $k$-variétés algébriques affines] $f$ de $X$ - vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$ défini dans l'espace - affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J = (g_1,\ldots,g_r)$ est la - donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)^e$ comme - ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes $g_j(f_1,\ldots,f_e) = - 0$ pour tout $j$ (cela revient à demander $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x)) - = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ; -\item on dit qu'un morphisme comme ci-dessus envoie le point $x \in X$ - sur le point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point - $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in k^e$, qui se trouve appartenir à $Y$) ; - en pariculier, il définit une fonction $X(k) \to Y(k)$, et plus - généralement $X(A) \to Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$ ; -\item d'après ce qu'on a dit sur les fonctions régulières (un $f \in - \mathcal{O}(X)$ est déterminé par ses valeurs sur $X(k)$, $k$ étant - algébriquement clos), un morphisme $f \colon X\to Y$ est déterminé - par ses valeurs sur $X(k)$ (toujours : $k$ étant algébriquement - clos) ; -\item on définit la composée d'un morphisme $f \colon X \to Y$ comme - ci-dessus (représenté par $f_1,\ldots,f_e \in \mathcal{O}(X)$ si $Y - \subseteq \mathbb{A}^e$) et d'un morphisme $g \colon Y \to Z$ - (représenté par $g_1,\ldots,g_s \in \mathcal{O}(Y)$ si $Z \subseteq - \mathbb{A}^s$) de la façon suivante : si $\tilde g_1,\ldots,\tilde - g_s \in k[u_1,\ldots,u_e]$ relèvent $g_1,\ldots,g_s$, on représente - $g\circ f$ par les éléments $\tilde g_1(f_1,\ldots,f_e), \ldots, - \penalty-100 \tilde g_s(f_1,\ldots,f_e) \penalty-50 \in - \mathcal{O}(X)$ ; on a, heureusement, $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ pour - tout $x \in X(k)$ (ou même tout $x \in X(A)$). -\end{itemize} - -Pour dire les choses autrement, un morphisme $X \to \mathbb{A}^e$ est -la donnée d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$, c'est-à-dire -un élément de $\mathbb{A}^e(\mathcal{O}(X))$, et un morphise $X \to Y$ -où $Y = Z(g_1,\ldots,g_r)$ est la donné d'un élément de -$Y(\mathcal{O}(X))$. Ceci est encore équivalent à un morphisme de -$k$-algèbres $f^* \colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$, d'où la -philosophie suivante : - -\begin{center} -Un morphisme de $k$-variétés algébriques affines $f\colon X \to Y$ est -``la même chose'' qu'un morphisme de $k$-algèbres $f^*\colon -\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$. -\end{center} - -Concrètement, avec les notations ci-dessus, le morphisme -$\mathcal{O}(Y) \buildrel f^*\over \to \mathcal{O}(X)$ serait celui -qui envoie un élément $h \in \mathcal{O}(Y)$ sur $h(f_1,\ldots,f_e) -\in \mathcal{O}(X)$. Réciproquement, donné un morphisme -$\varphi\colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ d'anneaux, le -morphisme $X \to Y$ qui lui correspond est celui qui à un point $x \in -X$ associe le $y \in Y$ défini par $h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h -\in \mathcal{O}(Y)$. - -\smallbreak - -Il faut bien se rendre compte que le meme objet --- un morphisme $f -\colon X \to Y$ de $k$-variétés algébriques --- peut être représenté -par différentes données plus ou moins équivalentes : -\begin{itemize} -\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme - $Z(g_1,\ldots,g_r)$,) $e$ éléments de $\mathcal{O}(X)$ vérifiant les - équations $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$, -\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme $Z(g_1,\ldots,g_r)$, - et $X$ dans $\mathbb{A}^d$ comme $Z(I)$,) $e$ éléments $\tilde - f_1,\ldots,\tilde f_e \in k[t_1,\ldots,t_d]$, vus modulo $I$, - définissant une fonction polynomiale $\mathbb{A}^d \to \mathbb{A}^e$ - telle qu'il se trouve que $g_j(\tilde f_1,\ldots,\tilde f_e) \in I$ - pour tout $j$, -\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme $Z(g_1,\ldots,g_r)$, - et $X$ dans $\mathbb{A}^d$ comme $Z(I)$, et en utilisant le fait que - $k$ est algébriquement clos,) une fonction de $X(k)$ vers $Y(k)$ qui - se trouve être la restriction d'une fonction polynomiale $k^d \to - k^e$ (c'est-à-dire donnée par $x \mapsto \tilde f_1(x),\ldots,\tilde - f_e(x)$ pour certains $\tilde f_1,\ldots,\tilde f_e \in - k[t_1,\ldots,t_d]$) qui se trouve avoir envoyer $X(k)$ dans $Y(k)$, -\item un élément de $Y(\mathcal{O}(X))$, -\item un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$, -\item pour chaque $k$-algèbre $A$, une application $X(A) \buildrel - f(A)\over\to Y(A)$ telle que : si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est - un morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) - \buildrel X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et - $X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$ - coïncident (cf. lemme de Yoneda). -\end{itemize} -On aura tendance à confondre silencieusement tout ou partie de ces -objets. Par ailleurs, on a tendance à appeler $x \mapsto -(f_1(x),\ldots,f_e(x))$ le morphisme, comme s'il s'agissait simplement -d'une application (il faut considérer ça comme une application de -$X(k)$ vers $Y(k)$ définissant le morphisme ou, mieux, de $X(A)$ vers -$Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$). - -Certaines de ces présentations ne se généraliseront pas (si $k$ n'est -pas algébriquement clos, si la variété n'est plus affine...) : la -dernière est, de ce point de vue, la plus robuste. - -\emph{Remarque :} Un morphisme $X \to \mathbb{A}^1$ est la même chose -qu'une fonction régulière sur $X$ (c'était le point de départ, mais il -est bon d'insister là-dessus). - -\smallbreak - -\textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$, -c'est-à-dire $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in k[x,y]$ (anneau des -polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps algébriquement -clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$. On a -$\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) = -k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$ -par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme -d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to -\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto -x^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans -l'image de $f^*$. Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une -bijection au niveau des $k$-points. - -Considérons la courbe $C^\sharp$ (la « cubique gauche » affine) -d'équations $y = z^3$ et $x = z^2$, c'est-à-dire $C^\sharp = -Z(x-z^2,\penalty-100 y-z^3)$. On a un morphisme $\mathbb{A}^1 \to -C^\sharp$ envoyant $t$ sur $(t^2, t^3, t)$ : cette fois, ce morphisme -est un isomorphisme, et sa réciproque est donnée par $(x,y,z) \mapsto -z$. L'anneau $\mathcal{O}(C^\sharp) = k[x,y,z]/(x-z^2,\penalty-100 -y-z^3)$ est isomorphe à $k[t]$. Par ailleurs, le morphisme -$\mathbb{A}^1 \to C$ décrit au paragraphe précédent peut être vu comme -la composée de l'isomorphisme $\mathbb{A}^1 \to C^\sharp$ et de la -projection $C^\sharp \to C$ décrite par $(x,y,z) \mapsto (x,y)$. - -Sur le cercle $C = Z(x^2+y^2-1)$ (pas le même $C$ que dans les deux -paragraphes précédents, mais le même que dans l'introduction), si $k$ -est de caractéristique $\neq 5$, on peut définir le morphisme $C \to -C$ de « rotation d'angle $\arctan\frac{3}{4}$ » (terminologie abusive -si $k$ n'est pas un corps contenant $\mathbb{R}$) ou « multiplication - par le point $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ » par $(x,y) \mapsto -(\frac{4}{5}x - \frac{3}{5}y, \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y)$. On -pourrait définir l'opération de composition $C \times C \to C$ par -$((x,y),(x',y')) \mapsto (xx'-yy', xy'+yx')$ mais il faudrait pour -cela avoir défini le produit de deux variétés (pour donner un sens à -$C \times C$), ce qu'on n'a pas encore fait. - -\smallbreak - -Si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$, on a expliqué qu'il y avait -naturellement un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to -\mathcal{O}(X')$ (consistant à restreindre à $X'$ une fonction -régulière sur $X$) : le morphisme de variétés algébriques $X' \to X$ -qui lui est associé est tout simplement le morphisme d'inclusion de -$X'$ dans $X$, qu'on appelle \textbf{immersion fermée} ou -\textbf{plongement} de la sous-variété fermée $X'$ dans $X$. - -De façon très liée, si $f \colon X\to Y$ est un morphisme de -$k$-variétés on peut, dans ce contexte, définir la restriction de $f$ -à $X'$ (parfois notée $f|_{X'}$) comme la composée $X' \to X \to Y$ où -$X' \to X$ est l'immersion de $X'$ dans $X$ ; si on voit $f$ comme -défini par $e$ fonctions régulières sur $X$ (c'est-à-dire $Y$ plongé -dans $\mathbb{A}^e$), les fonctions définissant $f|_{X'}$ sont -simplement $f_1|_{X'},\ldots,f_e|_{X'}$. - -\medbreak - -\textbf{Variétés algébriques affines abstraites, et le spectre d'une - algèbre.} - -\textbf{Note :} On considère que deux variétés algébriques (affines) -sont « la même » lorsqu'elle sont isomorphes, alors que deux fermés de -Zariski sont « le même » lorsqu'ils sont égaux dans le $\mathbb{A}^d$ -dans lequel ils vivent. Par exemple, la cubique gauche $C^\sharp$ -décrite ci-dessus, en tant que fermé de Zariski, n'est pas une droite, -mais en tant que variété algébrique affine c'est juste $\mathbb{A}^1$ -puisqu'on a montré qu'elle lui était isomorphe. Ou, si on préfère, un -fermé de Zariski de $\mathbb{A}^d$ est la donnée d'une variété -algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci -dans $\mathbb{A}^d$. - -Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on -rappelle, cf. \ref{finite-type-algebras}, que cela signifie que $R$ -est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments -$x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient -de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier) -et si $R$ est réduite, alors on peut voir $R$ comme l'anneau -$\mathcal{O}(X)$ pour une certaine variété algébrique $X$, à savoir le -$X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ défini par les équations -$f_1=0,\ldots,\penalty-100 f_r=0$ dans $\mathbb{A}^d$. Cette variété -est unique en ce sens que toutes les variétés $X$ telles que -$\mathcal{O}(X) = R$ sont isomorphes (puisque leurs $\mathcal{O}(X)$ -sont isomorphes, justement). On peut donc donner un nom à $X$ : c'est -le \textbf{spectre} de $R$, noté $\Spec R$. (Par exemple, $\Spec k[t] -= \mathbb{A}^1_k$ et plus généralement $\Spec k[t_1,\ldots,t_d] = -\mathbb{A}^d_k$. Et bien sûr, $\Spec k$ est vu comme un point, ou, -pour être plus explicite, un $k$-point.) - -(\emph{Avertissement 1 :} Tout le monde est d'accord sur l'identité de -$\Spec R$ en tant qu'objet géométrique, en l'occurrence, une variété -algébrique affine ; par exemple, $\Spec k[x,y]/(x^2+y^2-1)$ est -indubitablement une vision idéalisée du « cercle unité ». Néanmoins, -il existe différentes façons de formaliser la notion de variété -algébrique : comme nous nous sommes placés sur $k$ un corps -algébriquement clos, nous avons vu $\Spec R$ plutôt comme l'ensemble -des idéaux maximaux de $R$ ; une description qui marche mieux en -général, et qu'on retrouve souvent, consiste à formaliser $\Spec R$ -comme l'ensemble des idéaux \emph{premiers} de $R$ ; enfin, une autre -description, tout à fait générale, consiste à voir $\Spec R$ par ce -qu'on a appelé son foncteur des points, c'est-à-dire la donnée pour -chaque $k$-algèbre $A$ de l'ensemble $(\Spec R)(A) = \Hom_k(R,A)$, et -pour chaque morphisme de $k$-algèbres $\varphi\colon A \to A'$, de -l'application $(\Spec R)(\varphi) \colon \Hom_k(R,A) \to \Hom_k(R,A')$ -qui s'en déduit.) - -(\emph{Avertissement 2 :} Les gens savants n'ont pas peur de définir -$\Spec R$ même si $R$ n'est pas réduite, c'est-à-dire, a des -nilpotents. Il faut imaginer, par exemple, que si $R = k[\varepsilon] -:= k[t]/(t^2)$, alors $\Spec R$ est un point « un peu épaissi », ou -entouré d'un « flou infinitésimal », comparé à $\Spec k$ qui est un -point sans ornement de ce genre. Ce point de vue rend plus difficile -la vision géométrique des choses, mais a des avantages considérables, -par exemple qu'un morphisme $\Spec k[\varepsilon] \to X$ peut se voir -comme un vecteur tangent à $X$.) - -% -\subsection{La topologie de Zariski} - -On appelle \textbf{ouvert de Zariski} dans $k^d$ (toujours avec $k$ un -corps algébriquement clos) le complémentaire d'un fermé de Zariski. -Autrement dit, si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit -$U(I) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0 (\exists f\in I)\, -f(x_1,\ldots,x_d) \neq 0\}$ le complémentaire de $Z(I)$ : un ouvert de -Zariski de $k^d$ est un ensemble de la forme $U(I)$. Plus -généralement, si $X$ est une variété algébrique affine, si $I$ est un -idéal de $\mathcal{O}(X)$, on définit $U(I) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in X -:\penalty0 (\exists f\in I)\, f(x_1,\ldots,x_d) \neq 0\}$ le -complémentaire de $Z(I)$ : on appelle ces ensembles ouverts de Zariski -de $X$. (Pour l'instant, on les voit comme des ensembles de -$k$-points, on verra plus loin comment définir leurs $A$-points, leurs -morphismes, etc.) - -Étant donné qu'une intersection quelconque ou une réunion finie de -fermés sont des fermés, dualement, \emph{une réunion quelconque ou une - intersection finie d'ouverts sont des ouverts} (par ailleurs, -l'ensemble vide et l'ensemble plein sont des ouverts) --- ces -propriétés sont constitutives de la notion de \emph{topologie}, en -l'occurrence la \textbf{topologie de Zariski} (sur l'ensemble $k^d$ ou -$X(k)$). - -\smallbreak - -Si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$, alors les fermés et ouverts de -Zariski de $X'$ sont précisément les intersections avec $X'$ des -fermés et ouverts de Zariski de $X$. (On dit que la topologie de $X'$ -est \emph{induite} par celle de $X$.) - -\smallbreak - -Si $I$ est engendré par les éléments $f_1,\ldots,f_r$, on peut écrire -$U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est -l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas. Les $D(f)$ s'appellent parfois -\emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de -les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts} -(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former -une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une -réunion d'une sous-famille d'entre eux). - -\begin{prop}\label{covering-by-principal-open-sets} -Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$ -(pour $i \in \Lambda$ disons), alors $\bigcup_{i\in\Lambda} D(f_i) = -X$ si et seulement si les $f_i$ engendrent l'idéal unité -dans $\mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire ssi il existe des $g_i$, tous nuls -sauf un nombre fini, tels que $\sum_{i\in\Lambda} g_i f_i = 1$). -\end{prop} -\begin{proof} -Dire $\bigcup_{i\in\Lambda} D(f_i) = X$ équivaut à -$\bigcap_{i\in\Lambda} Z(f_i) = \varnothing$, c'est-à-dire encore -$Z(\{f_i\}) = \varnothing$, soit encore $Z(I) = \varnothing$ où $I$ -est l'idéal engendré par les $f_i$, et l'énoncé découle du -Nullstellensatz faible. -\end{proof} - -On aura besoin pour la suite de remarquer que $D(f) \cap D(f') = -D(ff')$. - -\smallbreak - -Un peu de vocabulaire de topologie : dans ce qui suit, on suppose que -$X$ est un ensemble muni d'une topologie (c'est-à-dire un ensemble de -parties de $X$ dites « ouvertes » contenant $\varnothing$ et $X$ et -telles qu'une réunion quelconque ou une intersection finie d'ouverts -sont des ouverts), sachant qu'on s'intéresse évidemment au cas de la -topologie de Zariski. - -Si $x \in U \subseteq V$ avec $U$ ouvert (et $V$ une partie quelconque -de $X$), on dit que $V$ est un \textbf{voisinage} de $x$. (Un -voisinage ouvert de $x$ est donc tout simplement la même chose qu'un -ouvert contenant $x$.) - -Si $E \subseteq X$ est une partie quelconque, l'intersection de tous -les fermés (=complémentaires des ouverts) contenant $E$, c'est-à-dire -le plus petit fermé contenant $E$, s'appelle \textbf{adhérence} -de $E$, parfois notée $\overline{E}$. Il s'agit de l'ensemble des $x -\in X$ tels que tout voisinage de $x$ rencontre $E$. Lorsque -l'adhérence de $E$ est $X$ tout entier, on dit que $E$ est -\textbf{dense} dans $X$. - -On dit que $X$ est \textbf{irréductible} lorsque toute écriture $X = -F' \cup F''$ avec $F',F''$ fermés impose $F' = X$ ou $F'' = X$ ; de -façon équivalente, cela signifie que tout ouvert non vide de $X$ est -dense. - -On dit que $X$ est \textbf{connexe} lorsque ($X$ est non vide et que) -$\varnothing$ et $X$ sont les seuls ensembles à la fois ouverts et -fermés dans $X$. (« Irréductible » est plus fort que « connexe », car -si $X$ est irréductible, tout ouvert non vide est dense, et en -particulier le seul ouvert fermé non vide est $X$ tout entier.) - -On dit que $X$ est \textbf{quasi-compact} lorsque dès qu'on a une -écriture $X = \bigcup_{i\in \Lambda} U_i$ avec $U_i$ ouverts -(autrement dit, un recouvrement ouvert de $X$), il existe $\Xi -\subseteq \Lambda$ fini tel que $X = \bigcup_{i\in\Xi} U_i$. - -\smallbreak - -Dans le cas de la topologie de Zariski sur une variété algébrique -affine $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ (c'est-à-dire, -sur $X(k)$) : -\begin{itemize} -\item $X$ est irréductible ssi $\mathcal{O}(X)$ est intègre - (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}), -\item $X$ est toujours quasi-compact (découle - de \ref{covering-by-principal-open-sets} : si $f_i$ engendrent - l'idéal unité, un sous-ensemble fini d'entre eux l'engendrent --- - même sans utiliser le caractère noethérien de l'anneau), -\item l'adhérence de Zariski d'une partie $E \subseteq X(k)$ est - $Z(\mathfrak{I}(E))$ (en effet, ceci est un fermé de Zariski - contenant $E$, et si $Z(J) \supseteq E$ est un autre fermé de - Zariski contenant $E$ alors on a vu $J \subseteq \mathfrak{I}(E)$ - donc $Z(J) \supseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ --- ceci montre que - $Z(\mathfrak{I}(E))$ est bien le plus petit pour l'inclusion fermé - de Zariski contenant $E$). -\end{itemize} - -Exemple (idiot) : On suppose $k$ de caractéristique zéro, disons $k = -\mathbb{C}$ ; quelle est l'adhérence de Zariski de $\mathbb{Z}$ dans -$\mathbb{A}^1(k)$ ? Réponse : L'ensemble $\mathfrak{I}(\mathbb{Z})$ -des polynômes s'annulant en chaque point de $\mathbb{Z}$ est réduit -à $(0)$ puisqu'un polynôme en une variable ne peut avoir qu'un nombre -fini de racines ; donc l'adhérence de Zariski de $\mathbb{Z}$ est -$Z(\mathfrak{I}(\mathbb{Z})) = \mathbb{A}^1(k)$ tout entier, -c'est-à-dire que $\mathbb{Z}$ est dense dans la droite affine pour la -topologie de Zariski. Plus généralement, on peut facilement montrer -que les seuls fermés de Zariski de $\mathbb{A}^1(k)$ sont la droite -$\mathbb{A}^1(k)$ tout entière et les parties \emph{finies}. - -\medbreak - -\textbf{Composantes connexes.} - -\begin{prop} -Si $X$ est une variété algébrique affine, alors $X$ est connexe si et -seulement si les seuls éléments $e \in \mathcal{O}(X)$ vérifiant $e^2 -= e$ (appelés \textbf{idempotents}) sont $0$ et $1$. -\end{prop} -\begin{proof} -Si $e^2=e$ avec $e \neq 0,1$, alors $e(1-e) = 0$. On a donc $X = Z(e) -\cup Z(1-e)$ ; et $Z(e) \cap Z(1-e) = \varnothing$ (car $e,1-e$ -engendrent l'idéal unité, si on veut). Donc $Z(e)$ et $Z(1-e)$ sont -deux fermés complémentaires l'un de l'autre, donc ils sont aussi -ouverts. Comme $e$ n'est pas nul, $Z(e)$ n'est pas $X$ tout entier, -et de même pour $Z(1-e)$ car $e \neq 1$ ; donc $Z(e)$ est un ouvert -fermé autre que $\varnothing$ et $X$, et $X$ n'est pas connexe. - -Réciproquement, supposons que $X'$ soit un ouvert fermé dans $X$ autre -que $\varnothing$ et $X$, et soit $X''$ son complémentaire, qui -vérifie les mêmes conditions. On peut écrire $X' = Z(I')$ et $X'' = -Z(I'')$ avec $I',I''$ deux idéaux radicaux stricts -de $\mathcal{O}(X)$. Puisque $X' \cap X'' = \varnothing$, on a $I' + -I'' = (1)$ (où $(1)$ désigne l'idéal unité, -c'est-à-dire $\mathcal{O}(X)$ tout entier) ; il existe donc $e \in I'$ -tel que $1-e \in I''$. Mais alors $e(1-e) \in I' \cap I''$, or $I' -\cap I'' = (0)$ car $X' \cup X'' = X$. On a donc $e^2 = e$, et $e -\neq 1$ car $e$ appartient à un idéal strict, et $e \neq 0$ car $1-e -\neq 1$. -\end{proof} - -On pourrait montrer : -\begin{prop} -Toute variété algébrique affine $X$ est réunion d'un nombre fini de -fermés connexes. De plus, il existe une écriture $X = \bigcup_{i=1}^n -X_i$ vérifiant $X_i \cap X_j = \varnothing$ pour $i \neq j$, et une -telle écriture est unique (à l'ordre des facteurs près) : les $X_i$ -s'appellent les \textbf{composantes connexes} de $X$. -\end{prop} - -\medbreak - -\textbf{Composantes irréductibles.} - -\begin{prop} -Toute variété algébrique affine $X$ est réunion d'un nombre fini de -fermés irréductibles. De plus, il existe une écriture $X = -\bigcup_{i=1}^n X_i$ vérifie $X_i \not\subseteq X_j$ pour $i \neq j$, -et une telle écriture est unique (à l'ordre des facteurs près) : les -$X_i$ s'appellent les \textbf{composantes irréductibles} de $X$. -\end{prop} -\begin{proof} -Montrons par l'absurde que $X$ est réunion d'un nombre fini de fermés -irréductibles : comme $X$ n'est pas lui-même irréductible, on peut -écrire $X = X_1 \cup X'_1$ avec $X_1$, $X'_1$ fermés stricts dans $X$, -et l'un d'entre eux ne doit pas être irréductible, disons $X_1$, donc -on peut écrire $X_1 = X_2 \cup X'_2$, et ainsi de suite. On obtient -ainsi une suite de fermés strictement décroissante pour l'inclusion $X -\supsetneq X_1 \supsetneq X_2 \supsetneq\cdots$, qui correspond à une -suite strictement croissante d'idéaux (radicaux) dans -$\mathcal{O}(X)$, ce qui est impossible car $\mathcal{O}(X)$ est -noethérien (cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}). - -On peut donc écrire $X = \bigcup_{i=1}^n X_i$, et quitte à jeter les -$X_i$ déjà inclus dans un autre $X_j$ (et à répéter le processus si -nécessaire), on peut supposer $X_i \not\subseteq X_j$ pour $i \neq j$. - -Montrons enfin l'unicité. Si $X = \bigcup_{i=1}^n X_i = -\bigcup_{j=1}^p Y_j$ sont deux telles écritures, on a $X_i = -\bigcup_{j=1}^p (X_i \cap Y_j)$. Comme $X_i$ est irréductible, l'un -des $X_i\cap Y_j$ doit être égal à $X_i$, c'est-à-dire $X_i \subseteq -Y_j$ ; par symétrie de l'argument, ce $Y_j$ est lui-même inclus dans -un $X_{i'}$, et comme $X_i \subseteq X_{i'}$, la condition sur la -décomposition donne $i'=i$, donc $Y_j = X_i$ et on a bien montré que -chaque $X_i$ est un des $Y_j$ et vice versa. -\end{proof} - -\textbf{Exemple :} $Z(xy) \subseteq \mathbb{A}^2$ a pour composantes -irréductibles $Z(x)$ et $Z(y)$. En revanche, il est connexe (=sa -seule composante connexe est lui-même) : en effet, si $U$ est un -ouvert fermé de $Z(xy)$, quitte à remplacer $U$ par son complémentaire -on peut supposer que $U$ contient $(0,0)$, et alors $U$ est un ouvert -fermé rencontrant $Z(x)$ et $Z(y)$ à la fois --- mais comme ceux-ci -sont irréductibles, et en particulier connexes, $U \cap Z(x) = Z(x)$ -et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(xy)$. - -% -\subsection{Structure de variété affine d'un ouvert principal} - -Pour l'instant, on n'a appelé « variété » qu'un fermé de Zariski. On -voudrait étendre le terme de sorte qu'au moins les \emph{ouverts} de -Zariski deviennent des variétés. Pour l'instant, on va regarder le -cas d'un ouvert principal $D(f) = \{x : f(x) \neq 0\}$ : on souhaite -définir, si possible en motivant intuitivement, ce que seront les -fonctions régulières sur $D(f)$ et les morphismes depuis et -vers $D(f)$. - -\smallbreak - -\textbf{Motivation.} Partons de l'exemple le plus simple : $U = D(t) = -\{t : t\neq 0\}$, le complémentaire de l'origine dans $\mathbb{A}^1$. -On sait qu'un morphisme $X \buildrel f\over\to \mathbb{A}^1$ (si $X$ -est une variété algébrique affine) est la même chose qu'une fonction -régulière sur $X$, c'est-à-dire, un élément $f$ de $\mathcal{O}(X)$. -Que doit être un morphisme $X \buildrel f\over\to U$ ? Certainement -on veut pouvoir le voir (en composant par l'inclusion $U \to -\mathbb{A}^1$) comme une sorte particulière de morphismes $X \buildrel -f\over\to \mathbb{A}^1$, donc de fonctions régulières sur $X$ : -essentiellement, celles qui « évitent zéro » (ou « ne prennent pas la - valeur zéro »). Or dire que $f(x) \neq 0$ pour tout $x \in X(k)$ -(pour $k$ algébriquement clos !) signifie $f \not\in \mathfrak{m}_x$ -pour tout idéal maximal $\mathfrak{m}_x$ (on sait d'après les -résultats autour du Nullstellensatz -(cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}) que tout idéal -maximal de $\mathcal{O}(X)$ est de la forme $\mathfrak{m}_x := \{f : -f(x) = 0\}$) ; or dire qu'un élément $f$ d'un anneau n'appartient à -\emph{aucun} idéal maximal signifie qu'il n'appartient à aucun idéal -strict (cf. \ref{existence-maximal-ideals}), donc que l'idéal qu'il -engendre est l'idéal unité, c'est-à-dire que $f$ est -\emph{inversible}. \underline{Moralité :} les morphismes $X \to U$ -devraient être les éléments inversibles de $\mathcal{O}(X)$. - -A contrario, quels devraient être les fonctions régulières sur $U$ ? -On veut au moins avoir l'inclusion $U \to \mathbb{A}^1$, qui -déterminerait une fonction régulière $t$ sur $U$, et plus généralement -tout élément de $k[t]$, comme il détermine un morphisme $\mathbb{A}^1 -\to \mathbb{A}^1$, devrait déterminer une fonction régulière sur $U$. -Mais il y a plus : d'après ce qu'on a dit ci-dessus, si on souhaite -que $U$ se comporte comme une variété algébrique affine, l'identité $U -\to U$, c'est-à-dire l'élément $t$, devrait être un élément -\emph{inversible} de $\mathcal{O}(U)$. Il faut donc trouver une façon -de rendre $t$ inversible : or on en a trouvé une, c'est la -localisation. On va donc poser $\mathcal{O}(U) = k[t][\frac{1}{t}] =: -k[t,t^{-1}]$, l'anneau des fractions rationnelles de la forme -$\frac{f}{t^s}$ avec $f \in k[t]$ et $s\in \mathbb{N}$. Cet anneau -est d'ailleurs isomorphe (via $t \mapsto x$ et $t^{-1} \mapsto y$) à -$k[x,y]/(xy-1)$, l'anneau de l'hyperbole d'équation $xy=1$ : or il -semble naturel de considérer $U$ (la droite privée d'un point) comme -la projection $(x,y) \mapsto x$ de cette hyperbole $Z(xy-1)$. Ceci -est cohérent avec ce qu'on a décidé ci-dessus : les morphismes -$k[t,t^{-1}] \to A$, pour toute $k$-algèbre $A$, s'identifient aux -éléments inversibles de $A$. - -Toute cette motivation semble justifier d'identifier l'ouvert $U = -D(t) = \{t : t\neq 0\}$ de $\mathbb{A}^1$ avec la variété algébrique -affine $\Spec k[t,t^{-1}]$ associée à l'anneau $k[t,t{^-1}]$. - -Plus généralement, on voudrait adopter le : -\begin{princ} -Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, on -considérera $D(f)$ lui-même comme la variété algébrique affine $\Spec -\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$, associé à l'anneau -$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ localisé de $\mathcal{O}(X)$ -inversant $f$. -\end{princ} - -(Noter que $R[\frac{1}{f}] = R[z]/(zf-1)$ de façon générale.) - -Pour justifier que le principe ci-dessus est sensé, on a besoin d'un -certains nombre de vérifications de routine, notamment : -\begin{prop} -Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine sur -un corps algébriquement clos $k$, et si $\iota\colon \mathcal{O}(X) -\to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}],\penalty-100\; h \mapsto \frac{h}{1}$ -désigne le morphisme naturel vers le localisé : -\begin{itemize} -\item les idéaux maximaux (resp. premiers) - de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ sont en bijection avec les idéaux - maximaux de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$ - (cf. \ref{properties-localization}) ; et si $\psi \colon D(f) \to \Spec - \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ désigne cette bijection, envoyant un - point $x$ de $D(f) \subseteq X$, vu comme idéal maximal - $\mathfrak{m}_x$ de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$, sur le - point $\psi(x)$ défini par l'idéal maximal - $\iota^{-1}(\mathfrak{m}_x)$, alors : -\item $\psi$ met en bijection les ouverts de Zariski de $X$ contenus - dans $D(f)$ avec les ouverts de Zariski de $X' := \Spec - \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$, et les ouverts principaux contenus - dans $D(f)$ (c'est-à-dire les $D(gf) = D(g)\cap D(f)$) avec les - ouverts principaux de $X'$ (et précisément $D(gf)$ avec - $D(\iota(g))$), et -\item si $h \in \mathcal{O}(X)$ et $x \in D(f)$, alors $h(x)$ coïncide - avec $\iota(h)(\psi(x))$ (vus comme éléments de $k$). -\end{itemize} -\end{prop} - -De ce principe découlent : -\begin{defn} -Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, -l'anneau $\mathcal{O}(D(f))$ des fonctions régulières sur $D(f)$ sera -par définition $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. La \textbf{restriction} -$h|_{D(f)}$ d'une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ à $D(f)$ -sera par définition $\iota(h) := \frac{h}{1} \in -\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. - -Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et -$Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera -identifié à la donnée d'un élément de $Y(\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}])$ -ou d'un morphisme de $k$-algèbres $\mathcal{O}(Y) \to -\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ (c'est-à-dire, concrètement, si $Y$ est -vu plongé comme un fermé de Zariski de $\mathbb{A}^e$, comme $e$ -éléments de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ vérifiant les équations -de $Y$). - -Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $D(f)(A)$ des $A$-points de -$D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que -$f(x) \in A$ soit inversible. (Et si $A \buildrel\varphi\over\to A'$ -est un morphisme d'anneaux, $U(I)(\varphi)\colon U(I)(A) \to U(I)(A')$ -est la restriction de $X(\varphi)\colon X(A) \to X(A')$ à $U(I)(A)$.) - -Si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, et -$X$ est une variété algébrique affine, un morphisme $X \to D(g)$ sera -identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que -l'élément $h^*(g) \in \mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire la composée de -$h\colon X\to Y$ avec $g \in \mathcal{O}(Y)$ vu comme un morphisme $Y -\to \mathbb{A}^1$) soit inversible. - -Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et -si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, un -morphisme $D(f) \to D(g)$ sera identifié à la donnée d'un élément $h$ -de $Y(\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}])$ (ou d'un morphisme $h^* \colon -\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ de $k$-algèbres) tel -que $h^*(g)$ soit inversible, ou, ce qui revient encore au même, un -morphisme $\mathcal{O}(Y)[\frac{1}{g}] \to -\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ de $k$-algèbres. -\end{defn} - -De nouveau, il existe beaucoup de façons de voir la même donnée ! - -Lorsque $\mathcal{O}(X)$ est intègre (c'est-à-dire que la variété $X$ -est irréductible), on peut voir $\mathcal{O}(D(f))$ de façon simple à -l'intérieur du corps des fractions de $\mathcal{O}(X)$ : ce sont les -éléments de $\Frac(\mathcal{O}(X))$ qui peuvent s'écrire comme -une fraction dont le dénominateur est une puissance de $f$. - - -% -\subsection{Introduction au recollement} - -La proposition suivante peut paraître innocente, mais elle est -fondamentale : - -\begin{prop} -Si $X$ est une variété algébrique affine recouverte par des $D(f_i)$ -(c'est-à-dire, cf. \ref{covering-by-principal-open-sets}, que les -$f_i \in \mathcal{O}(X)$, qu'on pourra toujours supposer en nombre -fini, engendrent l'idéal unité), alors : -\begin{enumerate} -\item si une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ a une - restriction $h|_{D(f_i)}$ nulle sur chacun des $D(f_i)$ alors $h$ - est nulle, -\item donnée une fonction régulière $h_i \in \mathcal{O}(D(f_i)) = - \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f_i}]$ pour chaque $i$, telles que - $h_i|_{D(f_i)\cap D(f_j)} = h_j|_{D(f_i)\cap D(f_j)}$ pour - chaque $i,j$ (autrement dit, les $h_i$ coïncident sur leurs - intersections ; on rappelle que $D(f_i) \cap D(f_j) = D(f_i f_j)$), - il existe une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$, - nécessairement unique d'après le point précédent, telle que - $h|_{D(f_i)} = h_i$ pour tout $i$. -\end{enumerate} -\end{prop} - -En clair : pour se donner une fonction régulière sur $X$, il suffit de -se donner sa restriction à des ouverts principaux $D(f_i)$ -recouvrant $X$, et pour que de telles restrictions définissent bien -une fonction régulière sur tout $X$, c'est-à-dire « se recollent », il -suffit (comme il faut !) qu'elles soient cohérentes sur les -intersections de deux d'entre eux. On traduit ce fait en disant que -la donnée des $\mathcal{O}(D(f))$ (y compris $\mathcal{O}(X)$ -lui-même) et des morphismes de restrictions entre eux forme un -\textbf{faisceau} (sur la base d'ouverts formée des ouverts -principaux). - -Ceci est la conséquence (reformulation) du résultat purement -algébrique suivant : -\begin{prop} -Soit $R$ un anneau et $f_i \in R$ des éléments engendrant l'idéal -unité. Alors : -\begin{enumerate} -\item si $h \in R$ a une image $\iota_i(h)$ nulle dans chaque - $R[\frac{1}{f_i}]$ alors $h$ est nul, -\item donnée un élément $h_i \in R[\frac{1}{f_i}]$ pour chaque $i$, - tels que $\iota_{i,j}(h_i) = \iota_{j,i}(h_j) \in R[\frac{1}{f_i - f_j}]$ pour chaque $i,j$ (où on identifie tacitement - $R[\frac{1}{f_i f_j}]$ à $R[\frac{1}{f_i}][\frac{1}{f_j}]$ et - $R[\frac{1}{f_j}][\frac{1}{f_i}]$), il existe un unique $h \in R$, - nécessairement unique d'après le point précédent, tel que - $\iota_i(h) = h_i \in R[\frac{1}{f_i}]$ pour tout $i$. -\end{enumerate} -\end{prop} -\begin{proof}[Démonstration du premier point] -Mettons $\sum g_i f_i = 1$ : on oublie tous les $f_i$ sauf le nombre -fini d'entre eux qui intervient vraiment dans cette somme. Dire que -$h$ a une image nulle dans $R[\frac{1}{f_i}]$ signifie qu'il existe -$N_i$ entier assez grand tel que $f_i^{N_i} h = 0$ ; en élevant -l'équation $\sum g_i f_i$ à une puissance $N$ assez grande (par -exemple $\sum N_i$), on peut s'arranger pour que chaque terme du -développement fasse intervenir un certain $f_i$ à la puissance $N_i$ -au moins. Ceci montre $(\sum g_i f_i)^N\, h = 0$. Or $(\sum g_i -f_i)^N = 1$, donc $h = 0$. -\end{proof} -\begin{proof}[Esquisse de démonstration du second point] -On écrit $h_i = \frac{p_i}{f_i^{N_i}}$, et de nouveau, en élevant -$\sum g_i f_i = 1$ à une puissance $N$ assez grande on peut s'arranger -pour que chaque terme $t_{\cdots} = c_{\cdots} \prod_i f_i^{n_i}$ -fasse intervenir un des $f_i$ à une puissance $n_i$ au moins égale -à $N_i$ ; on appelle $h$ la somme des $c_{\cdots} p_i f_i^{n_i-N_i} -\prod_{j\neq i} f_j^{n_j}$ où le facteur $f_i^{N_i}$ correspondant a -été remplacé par $p_i$ (ce qui vaut donc $t_{\cdots} h_i$ dans -$R[\frac{1}{f_i}]$ --- on peut donc vérifier que $\iota_i(h) = h_i$). -\end{proof} - -On peut de même fabriquer des morphismes par recollement : -\begin{cor} -Si $X$ est une variété algébrique affine recouverte par des $D(f_i)$, -alors se donner un morphisme $X \to Y$, pour $Y$ une variété -algébrique affine quelconque, équivaut à se donner des morphismes -$D(f_i) \to Y$ pour chaque $f_i$, qui coïncident sur les intersections -$D(f_i) \cap D(f_j)$ (pour chaque $i,j$). -\end{cor} - -Ceci est la clé pour définir les variétés algébriques non -nécessairement affines, selon le principe général vague suivant : -\begin{princ} -Une variété algébrique non nécessairement affine $X$ est obtenue en -« recollant » des variétés algébriques affines $X_i$ ; une fonction -régulière sur $X$ est la donnée d'une fonction régulière sur chaque -$X_i$ qui coïncident aux intersections ; un morphisme de $X$ vers une -variété algébrique affine $Y$ est, de même, la donnée de morphismes -$X_i \to Y$ qui se recollent. - -On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque $X$ est isomorphe à une -variété algébrique $\Spec R$ avec $R$ algèbre de type finie réduite, -ou, de façon équivalente, lorsque le morphisme $X \to \Spec -\mathcal{O}(X)$, où $\mathcal{O}(X)$ est l'anneau des fonctions -régulières sur $X$, défini naturellement, est, en fait, un -isomorphisme. -\end{princ} - - -% -\subsection{Variétés algébriques quasi-affines} - -Une variété algébrique quasi-affine est un ouvert \emph{non - nécessairement principal} d'une variété algébrique affine $X$, -c'est-à-dire, d'un fermé de Zariski dans l'espace affine. Un tel -ouvert peut s'écrire $U(I) := X \setminus Z(I)$ avec $I$ idéal -de $\mathcal{O}(X)$, et il est recouvert par des $D(f_i)$ lorsque les -$f_i$ engendrent l'idéal $\surd I$. - -\begin{defn} -Si $I$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété -algébrique affine, une fonction régulière sur $U(I) := X \setminus -Z(I)$ sera par définition la donnée d'une fonction régulière $h_i$ sur -chaque $D(f_i)$ où les $f_i \in \mathcal{O}(X)$ engendrent $I$, telles -que $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on identifie -deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les -intersections possibles. - -Si $I$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété -algébrique affine, et $Y$ est une variété algébrique affine, un -morphisme $U(I) \to Y$ sera identifié à la donnée d'un morphisme -$D(f_i) \to Y$ pour chaque $f_i$ où les $f_i \in \mathcal{O}(X)$ -engendrent $I$, qui coïncident sur les $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on -identifie deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les -intersections possibles. - -Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $U(I)(A)$ des $A$-points de -$U(I)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que -les $f(x) \in A$ pour $f \in I$ engendrent l'idéal unité de $A$. (Et -si $A \buildrel\varphi\over\to A'$ est un morphisme d'anneaux, -$U(I)(\varphi)\colon U(I)(A) \to U(I)(A')$ est la restriction de -$X(\varphi)\colon X(A) \to X(A')$ à $U(I)(A)$.) - -Si $J$ est un idéal de $\mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété -algébrique affine (et toujours $I$ un idéal de $\mathcal{O}(X)$ comme -ci-dessus), un morphisme $U(I) \to U(J)$ sera identifié à la donnée -d'éléments $f_i$ engrendant $I$ et $g_i$ appartenant à $J$, indicés -par le même ensemble, et de morphismes $h_i \colon D(f_i) \to D(g_i)$, -tels que $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on -identifie deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les -intersections possibles. -\end{defn} - -Entre autres vérifications de cohérence de ces définitions : -\begin{prop} -Avec les notations ci-dessus, la donnée d'un morphisme $U(I) \buildrel -h\over\to U(J)$ équivaut à celle d'une application $U(I)(A) \buildrel -h(A)\over\to U(J)(A)$ pour chaque $k$-algèbre $A$ telles que : si $A -\buildrel\psi\over\to A'$ est un morphisme de $k$-algèbres, alors les -deux composées $U(I)(A) \buildrel U(I)(\psi)\over\to U(I)(A') -\buildrel h(A')\over\to U(J)(A')$ et $U(I)(A) \buildrel h(A)\over\to -U(J)(A) \buildrel U(J)(\psi)\over\to U(J)(A')$ coïncident (cf. lemme -de Yoneda). -\end{prop} - -Lorsque $\mathcal{O}(X)$ est intègre (c'est-à-dire que la variété $X$ -est irréductible), on peut voir $\mathcal{O}(U(I))$ de façon simple à -l'intérieur du corps des fractions de $\mathcal{O}(X)$ : ce sont les -éléments de $\Frac(\mathcal{O}(X))$ qui peuvent s'écrire comme une -fraction dont le dénominateur est une puissance de $f_i$ pour -n'importe quel $f_i$ d'une famille engendrant $I$. - -\smallbreak - -Pour tout ouvert $U$, on a un morphisme de variétés algébriques $U \to -X$ appelé \textbf{immersion ouverte} de $U$ dans $X$. - -\medbreak - -Pour tout ouvert $U$ d'une $k$-variété algébrique affine $X$, l'anneau -$\mathcal{O}(U)$ est une $k$-algèbre de type fini, et on a un -morphisme de variétés algébriques $U \to \Spec \mathcal{O}(U)$ (défini -en considérant un recouvrement quelconque de $U$ par des $D(f_i)$ et -en recollant les morphismes $D(f_i) \to \Spec \mathcal{O}(U)$ donnés -par les $\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f_i}]$) : lorsque -ce morphisme est un isomorphisme, l'ouvert $U$ est dit \emph{affine}. -Un ouvert principal est toujours affine. Un ouvert peut être affine -sans être principal, mais c'est généralement assez difficile à -détecter. Remarquons cependant si $U = U(\{x,y\}) = D(x) \cup D(y)$ -est le complémentaire de l'origine dans $\mathbb{A}^2$, alors $U$ -n'est pas affine, car $\mathcal{O}(U) = k[x,y]$ (en effet, $k[x,y]$ -est un anneau factoriel, donc une fraction rationnelle en deux -variables $x,y$ admet une forme simplifiée unique à scalaire près, et -si elle peut s'écrire avec une puissance de $x$ ou une puissance de -$y$ comme dénominateurs, il s'agit simplement d'un polynôme), et le -morphisme $U \to \Spec\mathcal{O}(U)$ est l'immersion ouverte de $U$ -dans $\mathbb{A}^2$, qui n'est pas un isomorphisme. - - -% -\subsection{Récapitulation : que doit-on savoir sur une variété algébrique ?} - -On ne proposera pas de définition générale de ce qu'est une variété -algébrique. Cependant, il faut au moins savoir les choses suivantes : -\begin{itemize} -\item une variété algébrique affine ou quasi-affine sur $k$ est une - variété algébrique sur $k$ ; en particulier, pour toute $k$-algèbre - $R$ de type fini réduite sur $k$, on a une variété algébrique - (affine) $\Spec R$ ; -\item une variété algébrique a une notion d'\emph{ouverts} (de - Zariski) : ces ouverts sont eux-mêmes des variétés algébriques ; ces - ouverts vérifient les axiomes d'une topologie, i.e., le vide et le - plein sont des ouverts, une réunion quelconque ou une intersection - finie d'ouverts sont des ouverts ; de plus, une variété algébrique - est quasi-compacte (de tout recouvrement par des ouverts on peut - extraire un sous-recouvrement finie) ; -\item une variété algébrique peut être recouverte par des ouverts - \emph{affines} ; -\item si la variété $X$ est recouverte par des ouverts $U_i$, se - donner une fonction régulière sur $X$ (resp. un morphisme de $X$ - vers une variété $Y$ quelconque) équivaut à se donner une fonction - régulière sur chaque $U_i$ (resp. un morphisme de chaque $U_i$ - vers $Y$) telles que les données coïncident aux intersections $U_i - \cap U_j$ ; en particulier, appliquer ce principe à un recouvrement - par des ouverts affines permet de ramener l'étude d'une variété - quelconque à des variétés affines et à leurs intersections ; -\item pour chaque $k$-algèbre $A$, on a un ensemble $X(A)$ appelé - ensemble des $A$-points de la variété $X$, et pour chaque morphisme - $\varphi\colon A\to A'$ de $k$-algèbres une application $X(A) \to - X(A')$ telle que $X(\psi\circ\varphi) = X(\psi)\circ X(\varphi)$ si - $\varphi\colon A\to A'$ et $\psi\colon A'\to A''$, -\item les morphismes $X \to Y$ sont exactement les données pour chaque - $k$-algèbre d'une application $X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A)$ - telle que : si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est un morphisme de - $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) \buildrel - X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et $X(A) - \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$ - coïncident ; -\item si $X$ est affine, les morphismes $X \to Y$ s'identifient avec - les éléments de $Y(\mathscr{O}(X))$ (on ne suppose pas ici que $Y$ - soit affine) ; -\item si $Y$ est affine, les morphismes $X \to Y$ s'identifient avec - les morphismes d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ (on ne - suppose pas que $X$ soit affine), et en particulier les fonctions - régulières sur $X$ s'identifient avec les morphismes $X \to - \mathbb{A}^1$ ; -\item sur un corps $k$ algébriquement clos, le Nullstellensatz assure - que beaucoup de données se « lisent » sur les $k$-points : - notamment, une fonction régulière sur $X$ est déterminée par ses - valeurs sur $X(k)$, un morphisme $X \to Y$ est déterminée par la - fonction $X(k) \to Y(k)$, un ouvert de $X$ est déterminé par le - sous-ensemble $U(k)$ de $X(k)$... -\end{itemize} - - -% -% -% - -\section{L'espace projectif et les variétés quasiprojectives} - -\subsection{L'espace projectif sur un corps et sur un anneau} - -Si $k$ est un corps, on note $\mathbb{P}^d(k)$ l'ensemble des -$(d+1)$-uplets d'éléments \emph{non tous nuls} de $k$ modulo la -relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_d) \sim (x'_0,\cdots,x'_d)$ ssi -les vecteurs $(x_0,\cdots,x_d)$ et $(x'_0,\cdots,x'_d)$ sont -colinéaires. On note $(x_0:\cdots:x_d)$ (certains auteurs préfèrent -$[x_0,\ldots,x_d]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_d)$ pour cette -relation d'équivalence. On peut voir $\mathbb{P}^d(k)$ comme -l'ensemble des droites vectorielles (=passant par l'origine) -de $k^{d+1}$. - -Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^d$ (sur un corps), selon -que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme -$(1:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ quelconques) ou bien -$(0:x_1:\cdots:x_d)$ (avec $x_1,\ldots,x_d$ non tous nuls). Le point -$(x_1,\ldots,x_d)$ de $\mathbb{A}^d$ sera identifié au point -$(1:x_1:\cdots:x_d)$ de $\mathbb{P}^d$, tandis que les points de la -forme $(0:x_1:\ldots:x_d)$ sont appelés « points à l'infini » (et -collectivement, « hyperplan à l'infini »). On peut donc écrire -$\mathbb{P}^d(k) = \mathbb{A}^d(k) \cup \mathbb{P}^{d-1}(k)$ (réunion -disjointe de l'ensemble $Z(x_0)(k)$ des points où $x_0 \neq 0$ et de -celui $D(x_0)(k)$ des points où $x_0 = 0$) ; moralement, on aura envie -que $\mathbb{A}^d$ soit un ouvert dans $\mathbb{P}^d$ et -$\mathbb{P}^{d-1}$ son fermé complémentaire. Noter que le choix de -$x_0$ est arbitraire : on peut voir $\mathbb{P}^d$ comme réunion de -$d+1$ espaces affines $\mathbb{A}^d$ (à savoir -$D(x_0),\ldots,D(x_d)$). - -\smallbreak - -Si $A$ est un anneau, on définit $\mathbb{P}^d(A)$ comme l'ensemble -des classses d'équivalence de matrices $(d+1)\times (d+1)$ à -coefficients dans $A$, disons $(x_{ij})$ telles que -\[ -\begin{array}{c} -\sum_{i=0}^d x_{ii} = 1\\ -(\forall i,i',j,j')\, x_{ij} x_{i'j'} = x_{ij'} x_{i'j}\\ -\end{array} -\] -(autrement dit, la matrice a trace $1$ et deux lignes quelconques sont -« colinéaires » au sens où tout déterminant $2\times 2$ extrait est -nul), la relation d'équivalence identifiant une matrice $(x_{ij})$ -avec une autre $(x'_{ij})$ lorsque pour tous $i,i',j,j'$ on a $x_{ij} -x'_{i'j'} = x_{ij'} x'_{i'j}$ (toute ligne de $x$ est colinéaire à -toute ligne de $x'$ avec la même définition). - -Ceci généralise bien la définition sur un corps : si $k$ est un corps, -pour un élément $(x_0:\cdots:x_d)$ du $\mathbb{P}^d(k)$ précédemment -défini, il existe $i_0$ tel que $x_{i_0} \neq 0$, et on peut supposer -$x_{i_0} = 1$, auquel cas on identifie le point avec la matrice -$x_{ij}$ définie par $x_{ij} = 0$ sauf si $i=0$ auquel cas $x_{i_0,j} -= x_j$. Inversement, si $(x_{ij})$ est une matrice représentant un -élément du $\mathbb{P}^d(k)$ défini en deuxième, avec $k$ un corps, on -peut prendre une ligne quelconque de la matrice dont tous les -coefficients ne sont pas nuls (il en existe nécessairement une puisque -la somme des coefficients diagonaux vaut $1$ !) et elle représente un -point de $\mathbb{P}^d(k)$ défini en premier. Il est facile de -vérifier que ces deux fonctions sont réciproques. - -\emph{Remarque :} Plus généralement, si $x_0,\ldots,x_d \in A$ -engendrent l'idéal unité de $A$ (ceci généralise $d$ éléments non tous -nuls d'un corps !), disons $\sum_{i=0}^d y_i x_i = 1$, on peut définir -un élément de $\mathbb{P}^d(A)$ qu'il est naturel de noter -$(x_0:\cdots:x_d)$, à savoir, en utilisant la définition précédente -$x_{ij} = y_i x_j$. Sur certains anneaux particuliers (par exemple, -tout anneau intègre factoriel, par exemple $k[t_1,\ldots,t_s]$, ou -encore $\mathbb{Z}$), tout élément de $\mathbb{P}^d(A)$ peut, en fait, -s'écrire sous cette forme, mais ce n'est pas vrai en général -(quoiqu'il soit un peu difficile de donner un -contre-exemple\footnote{En voici un : si $A = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ - est l'anneau des complexes de la forme $a+b\sqrt{-5}$ (ce sont des - entiers algébriques), la matrice $2\times 2$ dont la première ligne - est $(3,\;1+\sqrt{-5})$ et la seconde $(-1+\sqrt{-5},\;-2)$ est de - trace $1$ et déterminant nul, elle définit donc un point - de $\mathbb{P}^1(A)$ qu'il n'est pas possible d'exprimer sous la - forme $(x_0:\cdots:x_d)$ pour $x_0,\ldots,x_d \in A$ engendrant - l'idéal unité.}). - - -% -\subsection{Polynômes homogènes, fermés et ouverts de Zariski de $\mathbb{P}^d$, - Nullstellensatz projectif} - -On veut voir $\mathbb{P}^d$ comme une variété algébrique (au moins -pour $k$ algébriquement clos pour le moment). Il faudra une notion -d'ouverts et une notion de fonctions régulières. - -On dit qu'un $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène de - degré $\ell$} lorsque tous les monômes qui le constituent ont le -même degré total $\ell$. L'intérêt de cette remarque est que si -$(x_0:\cdots:x_d) \in \mathbb{P}^d(k)$ avec $k$ un corps, et $f \in -k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène, le fait que $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$ -ou $\neq 0$ ne dépend pas du choix du représentant choisi de -$(x_0:\cdots:x_d)$. On peut donc définir $Z(f) = \{(x_0:\cdots:x_d) -\in \mathbb{P}^d(k) : f(x_0,\ldots,x_d) = 0\}$ (il faudrait noter -$Z_{\mathbb{P}^d}(f)$, mais bon...) et $D(f)$ son complémentaire. -Ceci signifie en fait $Z(f)(k)$ : pour $Z(f)(A)$, il faut le définir -comme l'ensemble des matrices $(x_{ij})$ de $\mathbb{P}^d(A)$ comme -précédemment telles que $f(x_{i0},\ldots,x_{id})=0$ pour tout $i$, et -pour $D(f)(A)$ ce sera l'ensemble des matrices $(x_{ij})$ -de $\mathbb{P}^d(A)$ comme précédemment telles que les -$f(x_{i0},\ldots,x_{id})$ engendrent l'idéal unité. - -On apppelle \textbf{partie homogène de degré $\ell$} d'un polynôme $f -\in k[t_0,\ldots,t_d]$ la somme de tous ses monômes de degré -total $\ell$. Évidemment, tout polynôme est la somme de ses parties -homogènes. Le produit de deux polynômes homogènes de degrés -respectifs $\ell$ et $\ell'$ est homogène de degré $\ell+\ell'$. - -On dit qu'un idéal $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ est \textbf{homogène} -lorsqu'il peut être engendré par des polynômes homogènes (cela ne -signifie pas, évidemment, qu'il ne contient que des polynômes -homogènes, ni même que \emph{tout} ensemble de générateurs de $I$ soit -constitué de polynômes homogènes). De façon équivalente, il s'agit -d'un idéal tel que pour tout $f\in I$, toute partie homogène de $f$ -est encore dans $I$. (Démonstration de l'équivalence : si toute -partie homogène d'un élément de $I$ appartient encore à $I$, en -prenant un ensemble quelconque de générateurs de $I$, les parties -homogènes de ceux-ci appartiennent encore à $I$ et sont encore -génératrices puisqu'elles engendrent les générateurs choisis, donc $I$ -admet bien un ensemble de générateurs homogènes ; réciproquement, si -$I$ est engendré par $f_1,\ldots,f_r$ homogènes de degrés -$\ell_1,\ldots,\ell_r$ et si $h$ appartient à $I$, disons $h = \sum_i -g_i f_i$, alors pour tout $\ell$, la partie homogène de degré $\ell$ -de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où -$g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré -$\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.) - -(Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque -$I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé -\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{d+1}$ est un -\emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties. L'ensemble $Z(I)$ -défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites -vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^d$.) - -Pour $I$ idéal homogène de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on définit $Z(I)$ -comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement, -d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant -un ensemble de générateurs homogènes de $I$. Les $Z(I)$ s'appellent -les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^d$. Inversement, si $E$ est -une partie de $\mathbb{P}^d$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal -(par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$ -s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq -E$). - -\begin{thm} -Si $k$ est un corps algébriquement clos : -\begin{itemize} -\item (Nullstellensatz faible projectif.) Pour $I$ un idéal homogène - de $k[t_0,\ldots,t_d]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans - $\mathbb{P}^d$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$ - contienne tous les monômes en $t_0,\ldots,t_d$ de degré total $\ell$ - (et, par conséquent, de tout degré plus grand). Un tel idéal - s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme]. -\item (Nullstellensatz projectif.) Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et - $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques, - décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux - de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ d'une part, et - les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k)$ d'autre part. -\item Ces bijections mettent en corrrespondance les idéaux homogènes - premiers de $k[t_0,\ldots,t_d]$ avec les fermés irréductibles - de $\mathbb{P}^d$. -\end{itemize} -\end{thm} - -\begin{rmk} -Pour qu'un idéal homogène $I$ de $k[t_0,\ldots,t_d]$ contienne tous -les monômes à partir d'un certain degré total $\ell$ (c'est-à-dire, -qu'il soit irrelevant), il faut et il suffit qu'il contienne tous les -$t_i^n$ à partir d'un certain $n$. (En effet, un sens est trivial, et -pour l'autre sens, si $I$ contient tous les $t_i^n$, alors il contient -tout monôme de degré $(d+1)n$, puisqu'un tel monôme contient au moins -un $t_i$ à la puissance $n$.) Comme il n'y a qu'un nombre fini des -$t_i$, on peut aussi intervertir les quantificateurs : c'est encore la -même chose que de dire que pour chaque $i$, l'idéal $I$ contient une -certaine puissance $t_i^{n_i}$ de $t_i$. -\end{rmk} - - -% -\subsection{Fonctions régulières sur l'espace projectif} - -On veut voir $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$ comme un espace -affine $\mathbb{A}^d$ dans $\mathbb{P}^d$ (ici sur $k$). On sait -quelles sont les fonctions régulières dessus : ce sont les polynômes -sur $k$ en $d$ variables, qu'on doit ici considérer comme -$\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}$. De façon équivalente, il -s'agit de fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{t_0^\ell}$ avec -$h \in k[t_0,\ldots,t_d]$ homogène de degré $\ell$. Plus -généralement, on veut définir les fonctions régulières sur $D(f)$ -dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est homogène de degré $D$, disons) comme -les fractions rationnelles de la forme $\frac{h}{f^r}$ avec $h$ -homogène de degré $rD$ (ce qui assure que (1) l'évaluation d'une telle -fonction sur un élément de $\mathbb{P}^d(k)$ a un sens lorsque cet -élément appartient à $D(f)$, et (2) elle ne dépend pas du représentant -choisi). - -De façon peut-être surprenante, on en arrive donc à ce que les -fonctions régulières sur $\mathbb{P}^d$ \emph{tout entier} sont -uniquement les constantes. De fait, on pourrait montrer que c'est -inévitable avec les exigences qu'on a sur les variétés -algébriques\footnote{Ou encore : puisqu'une fonction régulière sur - $\mathbb{P}^d$ est censée être la même chose qu'un morphisme - $\mathbb{P}^d \to \mathbb{A}^1$, la seule façon de définir une - application $\mathbb{P}^d(A) \to \mathbb{A}^1(A)$ pour toute - $k$-algèbre $A$, de façon compatible aux changements d'anneaux $A - \to A'$, consiste à prendre la fonction constante valant un élément - de $k$, toujours le même.} : notamment, si on recouvre -$\mathbb{P}^d$ par les $d+1$ ouverts affines $D(t_i)$ (pour -$i=0,\ldots,d$), la seule façon de se donner une fonction régulière -sur chacune qui coïncident aux intersections est d'avoir une constante -(toujours la même) sur chaque ouvert. - -Ceci ne constitue pas une contradiction (mais prouve que -$\mathbb{P}^d$ ne saurait être affine). Cependant, pour garder -l'information des polynômes homogènes non constants, il est utile de -définir aussi : -\begin{defn} -Si $\ell \in \mathbb{Z}$, une \textbf{section de $\mathcal{O}(\ell)$} -sur $D(f)$ dans $\mathbb{P}^d$ (où $f$ est un polynôme homogène de -degré $D$) est, par définition, une fraction rationnelle de la forme -$\frac{h}{f^r}$ avec $h$ homogène de degré $rD+\ell$. (Quand $\ell = -0$, il s'agit donc simplement d'une fonction régulière.) -\end{defn} -En particulier, les sections globales de $\mathcal{O}(\ell)$, -c'est-à-dire, sur $\mathbb{P}^d$ tout entier, n'existent pas si -$\ell<0$, et sont les polynômes homogènes de degré $\ell$ en -$t_0,\ldots,t_d$ si $\ell \geq 0$ (pour $\ell=0$, il n'y a que les -constantes). - -\medbreak - -Un morphisme $\mathbb{P}^d \buildrel f\over\to \mathbb{P}^e$ est la -donnée de $e+1$ polynômes $(f_0,\ldots,f_e) \in k[t_0,\ldots,t_d]$ en -$d+1$ variables, homogènes de même degré $\ell$, qui ne s'annulent -jamais simultanément sur un corps $k$ algébriquement clos, -c'est-à-dire, pour éviter de dépendre de cette hypothèse, que -$f_0,\ldots,f_e$ engendrent un idéal irrelevant dans -$k[t_0,\ldots,t_d]$. Évidemment, si $f_0,\ldots,f_e$ vérifient -certaines équations homogènes $g_j(f_0,\ldots,f_e) = 0$ (avec $g_j \in -k[u_0,\ldots,u_e]$ homogène), on pourra considérer le morphisme $f$ -comme allant de $\mathbb{P}^d$ vers la variété projective -(cf. ci-dessous pour ce terme) $Y = Z(J)$ où $J$ est l'idéal homogène -engendré par les $g_j$. - - -% -\subsection{Variétés projectives} - -On appelle \textbf{variété projective} un fermé de Zariski $X$ de -$\mathbb{P}^d$, c'est-à-dire un $Z(I)$ pour $I = \mathfrak{I}(X)$ un -certain idéal homogène radical de $k[t_0,\ldots,t_d]$ différent de -$(t_0,\ldots,t_d)$. Pour définir la structure de variété, on remarque -d'abord que comme $I$ est homogène, on peut définir la notion de -« partie de degré $\ell$ » d'un élément de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ comme -la classe modulo $I$ de la partie de degré $\ell$ de n'importe lequel -de ses représentants ; et d'élément homogène de degré $\ell$ dans -$k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (un élément représenté par un polynôme homogène -de degré $\ell$, ou égal à sa partie homogène de degré $\ell$). - -On appelle \textbf{anneau gradué (naïf) de $X$ dans $\mathbb{P}^d$} -l'anneau $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (« gradué » signifiant qu'on s'est -donné cette notion d'éléments homogènes de degré $\ell$ pour -chaque $\ell$ avec la décomposition en parties correspondantes, et que -le produit d'un élément homogène de degré $\ell$ et d'un élément de -degré $\ell'$ est, comme pour les polynômes, homogène de -degré $\ell+\ell'$). On appelle \emph{irrelevant} un idéal de -$k[t_0,\ldots,t_d]/I$ contenant tous les éléments homogène de degré -suffisamment grand, ou, de façon équivalente, dont l'image réciproque -dans $k[t_0,\ldots,t_d]$ est irrelevante. On peut établir une -correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux homogènes -radicaux non-irrelevants de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ analogue au -Nullstellensatz. Pour $f \in k[t_0,\ldots,t_d]/I$ on peut définir -l'ouvert principal $D(f)$ (intersection de $D(\tilde f)$, pour $\tilde -f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ relevant $f$, avec $X$) ; les $D(f_i)$ -recouvrent $X$ lorsque les $f_i$ engendrent un idéal irrelevant -de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (résultat analogue -à \ref{covering-by-principal-open-sets} et qui découle de façon -analogue du Nullstellensatz projectif). - -\underline{Mais, une déception :} comme le mot « naïf » utilisé -ci-dessus, le laisse penser, l'anneau $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ souffre de -plusieurs problèmes : -\begin{itemize} -\item Il ne dépend pas que de $X$ mais aussi de son plongement - dans $\mathbb{P}^d$ (même si c'est un peu difficile à illustrer à ce - stade, faute de savoir quels sont les morphismes entre variétés - projectives abstraites ; mais si on admet que $\mathbb{P}^1$ est - isomorphe à une conique plane telle que celle d'équation homogène - $x^2 + y^2 - z^2 = 0$ dans $\mathbb{P}^2$ sur un corps de - caractéristique $\neq 2$, on se rend compte que dans le premier cas - $k[t_0,t_1]$ n'a que deux éléments homogènes de degré $1$ - linéairement indépendants à savoir $t_0$ et $t_1$, alors que dans le - second $k[x,y]/(x^2+y^2-z^2)$ en a trois, à savoir $x,y,z$, puisque - leur relation n'apparaît qu'en degré $2$). -\item Les éléments homogènes de degré zéro de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$, - c'est-à-dire, les constantes, ne sont pas, en général, les seules - fonctions régulières sur $X$ (car si $X$ n'est pas connexe, penser - par exemple à $Z(t_0 t_1)$, qui définit la réunion des deux points - ``$0$'' ($t_1=0$) et ``$\infty$'' ($t_0=0$) dans $\mathbb{P}^1$, - alors manifestement les fonctions valant une valeur sur un point et - une autre sur l'autre doivent être régulières). Plus généralement, - le problème est que les éléments de degré donné de - $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ ne vérifient pas la propriété de recollement - (=ne forment pas un « faisceau »). On pourrait corriger ce problème - pour construire l'anneau gradué qu'on notera $\bigoplus_{\ell} - \mathcal{O}(\ell)(X)$, mais il faut travailler un peu. (On peut - cependant montrer que, pour $\ell$ suffisamment grand, les éléments - de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ sont « les bons », et notamment, se - recollent.) -\item Même une fois ces problèmes pris en compte ou corrigés, les - morphismes $X \to \mathbb{P}^e$ ne seront toujours pas définis - simplement par la donnée de $e+1$ éléments de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$, - homogènes de même degré $\ell$, engendrant l'idéal irrelevant. -\end{itemize} - -\underline{Conclusion :} pour définir proprement les constructions sur -une variété projectives, on ne peut généralement pas se contenter de -reprendre le travail du cadre affine en remplaçant « affine » par -« projectif » et les anneaux par des anneaux gradués : il faut -généralement travailler \emph{localement}, c'est-à-dire, à partir des -variétés affines dont la variété projective est la réunion. - - -% -\subsection{Le lien affine-projectif}\label{subsection-affine-vs-projective} - -On a déjà signalé que $\mathbb{P}^d$ est la réunion des $d+1$ ouverts -$D(t_0),\ldots,D(t_d)$, qu'on veut considérer comme $d+1$ espaces -affines, ou $d+1$ copies de l'espace affine $\mathbb{A}^d$. Il faut -considérer que les coordonnées affines sur $D(t_i)$ sont les -$\frac{t_j}{t_i}$ avec $j\neq i$ (ce qui fait $d$ coordonnées). -Notamment : -\begin{itemize} -\item Si $f \in k[t_0,\ldots,t_d]$ est homogène de degré $\ell$, - l'intersection de $Z(f) \subseteq \mathbb{P}^d$ avec $D(t_i)$ est - donnée par $Z(\frac{f}{t_i^\ell}) \subseteq \mathbb{A}^d$ en voyant - $\frac{f}{t_i^\ell}$ comme un polynôme en les $\frac{t_j}{t_i}$. -\item Plus généralement, si $X = Z(I) \subseteq \mathbb{P}^d$ est la - variété projective définie par un idéal homogène $I$ de - $k[t_0,\ldots,t_d]$, l'intersection de $X$ avec $D(t_i)$ est la - variété affine $Z(I_{t_i}) \subseteq \mathbb{A}^d$ où $I_{t_i}$ est - l'idéal engendré par les $\frac{f_j}{t_i^{\ell_j}}$ pour $f_j$ - parcourant des générateurs homogènes de $I$ et $\ell_j = \deg f_j$ - (l'idéai $I_{t_i}$ ne dépend pas du choix des $f_j$). -\item Bon à savoir : si $I$ est un idéal homogène de - $k[t_0,\ldots,t_d]$, alors - $k[\frac{t_0}{t_i},\ldots,\frac{t_d}{t_i}]/I_{t_i}$, où $I_{t_i}$ - est défini ci-dessus, est l'ensemble des éléments homogènes de degré - zéro de $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$. L'un ou - l'autre, donc, est vu comme l'ensemble des fonctions régulières sur - $Z(I) \cap D(t_i)$. -\item Une fonction régulière sur $X = Z(I)$ est la donnée d'une - fonction régulière sur chaque $X \cap D(t_i)$ qui coïncident sur les - intersections. C'est-à-dire : pour chaque $i$ on se donne un - élément $h_i$ de $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$ - homogène de degré zéro, tel que pour tous $i$ et $j$ les éléments - $h_i$ et $h_j$ correspondants coïcident dans - $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i \bar t_j}]$. On note - $\mathcal{O}(X)$ l'ensemble des fonctions régulières sur $X$. - Concrètement, si $k$ est algébriquement clos, on peut donc voir une - fonction régulière sur $X$ comme une fonction sur $X(k)$ (à valeurs - dans $k$) qui sur chaque ouvert affine $X \cap D(t_i)$ est une - fonction régulière sur cette variété, c'est-à-dire la restriction - d'une fonction polynomiale en les variables $\frac{t_j}{t_i}$ - (pour $j\neq i$). En fait, les seules fonctions régulières sur une - variété projective sont les fonctions constantes sur chaque - composante connexe (mais ce n'est pas évident). -\item Une « section globale de $\mathcal{O}(\ell)$ sur $X$ » est la - donnée pour chaque $i$ d'un élément $h_i$ de - $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i}]$ homogène de - degré $\ell$, tels que pour tous $i$ et $j$ les éléments $h_i$ et - $h_j$ correspondants coïcident dans - $(k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar t_i \bar t_j}]$. On note - $\mathcal{O}(\ell)(X)$ l'ensemble de ces sections : tout élément - homogène de degré $\ell$ de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ définit un élément - de $\mathcal{O}(\ell)(X)$ (mais il peut y en avoir d'autres, comme - on l'a signalé déjà pour $\ell=0$). -\item On pourrait également définir les morphismes $X \to - \mathbb{P}^e$ (donc resp. aussi $X \to Y$ avec $Y$ variété - projective vue comme $Z(J)$ dans $\mathbb{P}^e$) selon ce procédé : - avec les notations précédentes, ce serait la donnée de $d+1$ - morphismes $X \cap D(t_i) \to \mathbb{P}^e$ (resp. $X \cap D(t_i) - \to Y$) qui se recollent, or $X \cap D(t_i)$ est affine donc un - morphisme $X \cap D(t_i) \to \mathbb{P}^e$ est la même chose qu'un - élément de $\mathbb{P}^e(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$ où - $\mathcal{O}(X\cap D(t_i)) = (k[t_0,\ldots,t_d]/I)[\frac{1}{\bar - t_i}]$ comme on vient de l'expliquer (resp. un élément de - $Y(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$, c'est-à-dire un élément de - $\mathbb{P}^e(\mathcal{O}(X\cap D(t_i)))$ qui vérifie les équations - de $Y$). Ce n'est probablement pas la façon la plus simple de - procéder ! -\end{itemize} - -\medbreak - -Inversement, donnée une variété affine $X = Z(I)$ où $I$ est un idéal -(radical...) de $k[\tau_1,\ldots,\tau_d]$, on peut définir une variété -projective $X^+ = Z(I^+)$ dont l'idéal $I^+$ est engendré par les $f^+ -:= t_0^{\deg f} f(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0}) \in -k[t_0,\ldots,t_d]$ pour tous les $f\in I$ (c'est-à-dire les polynômes -homogénéisés) : il s'agit précisément de l'adhérence de $X$ -dans $\mathbb{P}^d$. Malheureusement, il ne suffit pas en général de -prendre un ensemble de générateurs de $I$ pour que leurs homogénéisés -engendrent $I^+$ (penser à $I = (\tau_2-\tau_1^2,\; \tau_3-\tau_1^3)$ -qui contient $\tau_3-\tau_1\tau_2$ alors que $(t_0 t_2 - t_1^2,\; t_0 -t_3 - t_1^3)$ ne contient pas $t_0 t_3-t_1 t_2$, il faut le mettre -explicitement dans $I^+$). Il y a cependant un cas favorable : -lorsque $X = Z(f)$ est une hypersurface, alors $X^+ = Z(f^+)$. - - -% -\subsection{Variétés quasiprojectives, morphismes}\label{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms} - -Variété quasiprojective = ouvert d'une variété projective = -intersection d'un ouvert et d'un fermé de $\mathbb{P}^d$. - -Si $X$ et $Y$ sont des variétés quasiprojectives, un morphisme $X -\buildrel h\over\to Y$ est la donnée d'un recouvrement de $X$ par des -ouverts affines $X\cap U_i$, d'ouverts affines $Y\cap V_i$ de $Y$ -indicés par le même ensemble d'indice, et d'un morphisme de variétés -algébriques affines $X \cap U_i \buildrel h_i\over\to Y\cap V_i$ pour -chaque $i$, tels que les morphismes $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $X -\cap U_i \cap U_j$ (ce qui sous-entend, pour commencer, qu'ils -arrivent tous deux dans $Y \cap V_i \cap V_j$). Remarquons qu'on peut -supposer que les $U_i$ et $V_i$ sont des ouverts principaux, -c'est-à-dire qu'ils sont de la forme $D(f_i)$ et $D(g_i)$ avec -$f_i,g_i$ dans les anneaux gradués naïfs de $X$ et $Y$ (ou, pour -simplifier, de variétés projectives dont $X$ et $Y$ sont des ouverts). - -De façon plus concrète, sur un corps algébriquement clos, un morphisme -$X \buildrel h\over\to Y$ se voit comme une fonction $X(k) \to Y(k)$ -qui est « localement un morphisme », c'est-à-dire que pour tout point -$x$ de $X(k)$ il y a un voisinage (au sens de Zariski) de $x$ dans $X$ -et de $h(x)$ dans $Y$ tel que la restriction de $h$ à ces voisinages -soit un morphisme de variétés algébriques affines (donc, concrètement, -soit définie par des fonctions polynomiales à ceci près qu'on autorise -les dénomiateurs). - -\medbreak - -On peut également donner une description « globale » des morphismes, -mais elle est peu maniable : -\begin{itemize} -\item Si $X$ est $Z(I)$ (où $I$ est un idéal - homogène\footnote{Attention, ce genre d'écriture, ici comme - ailleurs, sous-entend toujours que l'idéal $I$ est radical, sauf - si on est prêt à considérer $X$ comme un schéma et pas juste comme - une variété, ce qui dépasse le cadre de ce cours.} de - $k[t_0,\ldots,t_d]$), un morphisme $X \to \mathbb{P}^e$ peut se - décrire comme une matrice rectangulaire avec $e+1$ colonnes (le - nombre de lignes n'étant pas spécifié) dont les entrées sont dans - $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ et (a) engendrent un idéal irrelevant dans cet - anneau, (b) sont toutes de même degré (ou si on préfère : toutes de - même degré sur chaque ligne), et (c) dont tous les mineurs $2\times - 2$ s'annulent (cf. la définition de $\mathbb{P}^e(A)$ pour $A$ un - anneau). -\item Si $X$ est un ouvert \emph{dense} de $Z(I)$ comme ci-dessus - (rappel : ceci est automatiquement le cas pour un ouvert non vide si - $I$ est premier donc $Z(I)$ irréductible), ce qu'on peut toujours - supposer, même description en remplaçant la condition (a) que les - entrées de la matrice engendrent un idéal irrelevant par celle que - les $D(f)$ correspondant recouvrent l'ouvert $X$ (pour un ouvert - strict, cela peut se traduire en disant que l'idéal engendré par les - éléments de la matrice engendrent un idéal dont le radical contient - l'idéal $I$). -\item Un morphisme vers une variété projective $Y$ de $\mathbb{P}^e$ - est un morphisme vers $\mathbb{P}^e$ comme ci-dessus avec la - condition supplémentaire que chaque ligne vérifie les équations - de $Y$. -\item Enfin, pour un morphisme vers un ouvert d'une variété - projective, on demande en plus que tous les éléments obtenus en - appliquant une des équations de l'ouvert (i.e., un des générateurs - de $J'$ si l'ouvert est le complémentaire de $Z(J')$) à une des - lignes de la matrice engendre un idéal vérifiant la même condition - qu'en. -\end{itemize} - -\medbreak - -\textbf{Exemples :} - -¶ On reprend l'exemple donné dans l'introduction, mais rendu -projectif. Soit $C^+$ le cercle, cette fois projectif, d'équation -$x^2 + y^2 = z^2$ (équation homogénéisée de $x^2 + y^2 = 1$) dans -$\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(z:x:y)$ (sur un corps $k$ de -caractéristique $\neq 2$), et soit le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées -$(t_0:t_1)$. On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ par -$(t_0:t_1) \mapsto (t_0^2+t_1^2 : t_0^2-t_1^2 : 2t_0t_1)$ (c'est bien -l'homogénéisation de $t \mapsto -(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$) : tout d'abord il est clair -que ces équations définissent un morphisme $\mathbb{P}^1 \to -\mathbb{P}^2$ car $t_0^2+t_1^2 , t_0^2-t_1^2 , 2t_0t_1$ engendrent -tous les monômes de degré $2$ donc un idéal irrelevant ; ensuite, -comme $(t_0^2-t_1^2)^2 + (2t_0t_1)^2 = (t_0^2+t_1^2)^2$, ce morphisme -arrive bien dans $C^+$. - -Dans l'autre sens : on définit un morphisme $C^+ \to \mathbb{P}^1$ de -la façon suivante : a priori on veut lui donner l'équation $(z:x:y) -\mapsto (x+z:y)$, mais ceci ne définit un morphisme que sur l'ouvert -complémentaire de $Z(x+z,y)$ (c'est-à-dire du point -$(z:x:y)=(1:-1:0)$). Il faut donc trouver une autre équation, ou -plutôt une autre forme, sur un ouvert qui contienne ce point. Ce -n'est pas difficile : en se disant que de façon assez générale on a -$(x+z:y) = ((x+z)(x-z):y(x-z)) = (x^2-z^2:y(x-z)) = (-y^2:y(x-z)) = -(y:z-x)$, on va considérer $(z:x:y) \mapsto (y:z-x)$, qui est, cette -fois, défini sur le complémentaire de $Z(y,z-x)$, c'est-à-dire de du -point $(z:x:y) = (1:1:0)$. Le calcul qu'on vient de faire montre que -$(x+z:y) = (y:z-x)$ sur l'intersection des deux ouverts, donc ces deux -équations se recollent bien en un unique morphisme. - -La composée des morphismes qu'on vient de définir est l'identité : -dans le sens $\mathbb{P}^1 \to C^+ \to \mathbb{P}^1$, c'est clair car -l'identité s'obtient bien en recollant $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0^2 : -2t_0 t_1)$ et $(t_0:t_1) \mapsto (2t_0 t_1 : 2t_1^2)$. Dans le sens -$C^+ \to \mathbb{P}^1 \to C^+$, on peut faire des calculs dans -$k[x,y,z]/(x^2+y^2-z^2)$, mais le plus simple est sans doute de se -dire que sur une variété irréductible, pour montrer l'égalité de deux -morphismes vers une variété quasiprojective quelconque, il suffit de -la montrer sur un ouvert non vide quelconque (puisque cet ouvert est -dense), et le calcul est alors simplifié. - -\smallbreak - -¶ Appelons maintenant $C^\sharp$ la variété d'équations $x_0 x_2 = -x_1^2, \penalty-100\; x_1 x_3 = x_2^2, \penalty-100\; x_0 x_3 = x_1 -x_2$ dans $\mathbb{P}^3$ de coordonnées homogènes $(x_0:x_1:x_2:x_3)$, -et considérons le $\mathbb{P}^1$ de coordonnées homogènes $(t_0:t_1)$. -On définit un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^\sharp$ par $(t_0:t_1) -\mapsto (t_0^3: t_0^2 t_1: t_0 t_1^2: t_1^3)$ : ceci définit bien un -morphisme vers $\mathbb{P}^3$ car l'idéal engendré par $(t_0^3, t_0^2 -t_1, t_0 t_1^2, t_1^3)$ est irrelevant (ce sont tous les monômes de -degré $3$ !), et il tombe bien dans $C^\sharp$ car $(t_0^3, t_0^2 t_1, -t_0 t_1^2, t_1^3)$ vérifient les équations de $C^\sharp$. - -Réciproquement, définissons un morphisme $C^\sharp \to \mathbb{P}^1$ : -il sera donné par les équations $(x_0:\cdots:x_3) \mapsto (x_0:x_1)$ -et $(x_0:\cdots:x_3) \mapsto (x_2:x_3)$. Le fait que ces équations se -recollent bien est assuré par l'équation $x_0 x_3 = x_1 x_2$ -sur $C^\sharp$ ; le morphisme est alors défini sur tout $C^\sharp$ -puisque $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ engendrent un idéal irrelevant. De -nouveau, on peut vérifier que la composée dans les deux sens est -l'identité. - -\smallbreak - -¶ Un exemple avec des variétés ouvertes : $\mathbb{A}^{d+1} -\setminus\{(0,0)\} \to \mathbb{P}^d$ donné par $(x_0,\ldots,x_d) -\mapsto (x_0:\cdots:x_d)$. - -\medbreak - -\begin{thm}\label{projective-to-affine-morphisms-are-constant} -Tout morphisme d'une variété projective connexe vers une variété -affine est constant. (En particulier, toute fonction régulière sur -une variété projective, c'est-à-dire morphisme vers $\mathbb{A}^1$, -est constant sur chaque composante connexe.) -\end{thm} - - -% -\subsection{Le polynôme de Hilbert-Samuel} - -\begin{thm}\label{hilbert-samuel-polynomial} -Soit $X$ une variété projective dans $\mathbb{P}^d$ (sur un -corps $k$). Alors pour tout $\ell\in\mathbb{Z}$, le $k$-espace -vectoriel $\mathcal{O}(\ell)(X)$, également noté -$H^0(X,\mathcal{O}(\ell))$, des sections globales de -$\mathcal{O}(\ell)$ sur $X$, est de dimension finie. Pour $\ell$ -assez grand, il s'identifie à l'espace des éléments de degré $\ell$ de -$k[t_0,\ldots,t_d]/I$ si $I = \mathfrak{I}(X)$. Pour $\ell$ assez -grand, sa dimension est une fonction \emph{polynomiale} de $\ell$ : on -appelle \textbf{polynôme de Hilbert-Samuel} de $X$ -(dans $\mathbb{P}^d$) le polynôme auquel elle est égale pour $\ell$ -assez grand. -\end{thm} - -Le terme dominant du polynôme de Hilbert-Samuel est très -significatif : son degré $d$ sera la \emph{dimension} de $X$ (ceci -peut servir de définition pour $X$ projectif), et le coefficient -devant $\ell^d$ est de la forme $\frac{n_X}{\ell!}$ où $n_X$ est un -entier, appelé \emph{degré} de $X$. - -\medbreak - -\textbf{Exemple :} Pour $\mathbb{P}^d$, l'espace $H^0(\mathbb{P}^d, -\mathcal{O}(\ell))$ est l'espace vectoriel des polynômes de -degré $\ell$ en $d+1$ indéterminées. Pour $\ell\geq 0$, sa dimension -vaut -\[ -\frac{(\ell+d)!}{\ell!\,d!} -\] -C'est un polynôme de degré $d$ de $\ell$ (donc le polynôme de -Hilbert-Samuel de $\mathbb{P}^d$), dont le terme dominant vaut -$\frac{1}{d!}\ell^d$. - -Pour le cercle $Z(x^2+y^2-z^2)$ dans $\mathbb{P}^2$, les polynômes de -degré $\ell$ en $x,y,z$ modulo $z^2$ peuvent se réduire en un polynôme -de degré $\ell$ en $x,y$, plus $z$ fois un polynôme de degré $\ell-1$ -en $x,y$ : leur dimension est donc $2\ell+1$ (une base est donnée par -$x^\ell,\penalty100 x^{\ell-1}y,\ldots,\penalty200 y^\ell,\penalty-100 -x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$), -donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2\ell+1$. - - -% -\subsection{Produit de variétés} - -Si $X$ et $Y$ sont deux variétés quasiprojectives sur $k$, on veut que -leur produit $X\times Y$ vérifie $(X\times Y)(A) = X(A) \times Y(A)$. - -Dans l'espace affine, c'est facile : si $X$ est défini par les -équations $f_1,\ldots,f_r$ en les variables $x_1,\ldots,x_d$ et $Y$ -par les équations $g_1,\ldots,g_s$ en les variables $y_1,\ldots,y_e$, -alors $X\times Y$ sera défini par les équations $f_1,\ldots,f_r, -\penalty0 g_1,\ldots,g_s$ en les $d+e$ variables $x_1,\ldots,x_d, -\penalty0 y_1,\ldots,y_e$. En particulier, $\mathbb{A}^d \times -\mathbb{A}^e = \mathbb{A}^{d+e}$. - -Pour l'espace projectif, c'est plus compliqué, il faut trouver moyen -de recoller les morceaux : notamment, -\underline{$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ n'est pas $\mathbb{P}^2$} -(tous deux ressemblent à des complétés de $\mathbb{A}^2$, mais, -moralement, $\mathbb{P}^2$ possède un point à l'infini dans chaque -direction de droites parallèles, alors que -$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ possède un point à l'infini -$(x,\infty)$ différent pour chaque droite verticale, un $(\infty,y)$ -pour chaque droite horizontale, et un unique point à l'infini -$(\infty,\infty)$ commun à toutes les autres droites). - -On définit\footnote{Façon de parler, puisque, justement, on ne sait - pas ce qu'est un produit.} un morphisme $\mathbb{P}^d \times -\mathbb{P}^e \to \mathbb{P}^{de+d+e}$, dit \textbf{plongement de - Segre}, de la façon suivante : -\[ -((x_0:\cdots:x_d),(y_0:\cdots:y_e)) \mapsto -(x_0 y_0:x_0 y_1:\cdots:x_0 y_e:x_1 y_0:\cdots:x_d y_e) -\] -(faire tous les $(d+1)(e+1)$ produits possibles). Ce morphisme arrive -dans la variété projective $S$ dont les équations sont tous les -mineurs $2\times 2$ de la matrice $(d+1)\times (e+1)$ des coordonnées -homogènes sur $\mathbb{P}^{de+d+e}$. Réciproquement, on a un -morphisme $S \to \mathbb{P}^d$ donné par $(z_{00}:\cdots:z_{de}) -\mapsto (z_{0j}:\cdots:z_{dj})$ pour n'importe quel $j$ (en les -considérant tous à la fois ceci se recolle et définit bien un -morphisme), et de même $S \to \mathbb{P}^e$ par -$(z_{00}:\cdots:z_{de}) \mapsto (z_{i0}:\cdots:z_{ie})$. Sur un -corps, au moins, ces deux morphismes définissent bien des bijections -réciproques $\mathbb{P}^d(k) \times \mathbb{P}^e(k) \to S(k)$ et $S(k) -\to \mathbb{P}^d(k) \times \mathbb{P}^e(k)$ (car l'annulation des -mineurs $2\times 2$ traduit le fait que la matrice a rang $1$, donc -qu'elle peut s'écrire comme le produit d'un vecteur ligne $(x_i)$ et -d'un vecteur colonne $(y_j)$). On prendra pour définition du produit -$\mathbb{P}^d \times \mathbb{P}^e$ la variété projective $S$. - -(Exemple : le produit $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ se voit comme -la surface d'équation $z_{00} z_{11} = z_{01} z_{10}$ -dans $\mathbb{P}^3$, c'est-à-dire un paraboloïde hyperbolique.) - -Plus généralement, si $X$ et $Y$ sont des variétés projectives dans -$\mathbb{P}^d$ et $\mathbb{P}^e$, on peut définir $X\times Y$ comme un -fermé dans $S$ : pour chaque équation $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$ de $X$, -on met une équation $f(z_{0j},\ldots,z_{dj}) = 0$ pour chaque $j$, et -de même pour chaque équation $g(y_0,\ldots,y_e) = 0$ de $Y$, on met -une équation $g(z_{i0},\cdots,z_{ie}) = 0$ pour chaque $i$. - - -% -\subsection{La dimension} - -\textbf{Rappel :} Si $K$ est un corps contenant un corps $k$, on dit -que des éléments $x_i$ de $K$ sont \textbf{algébriquement - indépendants} (comprendre : « collectivement transcendants ») -sur $k$ lorsque les seuls polynômes $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que -$f(x_{i_1},\ldots,x_{i_d}) = 0$ pour certains $i_1,\ldots,i_d$ deux à -deux distincts sont les polynômes nuls. Ceci est équivalent au fait -que le sous-corps $k(x_i)$ de $K$ engendré par les $x_i$ avec $k$ est -isomorphe au corps des fractions rationnelles sur autant -d'indéterminées que de $x_i$ (il est plus simple de penser au cas où -les $x_i$ sont en nombre fini, qui nous suffira). On appelle -\textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ un ensemble maximal -d'éléments algébriquement indépendants, c'est-à-dire, un ensemble de -$x_i$ algébriquement indépendants sur $k$ et tels que $K$ soit -algébrique sur le sous-corps $k(x_i)$ qu'ils engendrent au-dessus -de $k$. Une base de transcendance de $K$ sur $k$ existe toujours, et -toutes ont le même cardinal : on appelle celui-ci \textbf{degré de - transcendance} de $K$ sur $k$ et on le note $\degtrans_k(K)$. - -Par exemple, $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_d) = d$ (où -$k(t_1,\ldots,t_d)$ désigne le corps des fractions rationnelles en $d$ -indéterminées sur $k$). Lorsque $K$ est algébrique sur $k$, on a -$\degtrans_k K = 0$ et réciproquement. Par ailleurs, lorsque $k -\subseteq K \subseteq L$ sont trois corps, on a toujours $\degtrans_k L -= \degtrans_k K + \degtrans_K L$. - -\begin{defn}\label{definition-rational-function-and-dimension} -Si $X$ est une variété \emph{irréductible} sur $k$, on appelle -\textbf{fonction rationnelle} sur $X$ une fonction régulière sur un -ouvert non-vide=dense quelconque de $X$, en identifiant deux fonctions -si elles coïncident sur l'intersection de leur domaine de définition ; -on note $k(X)$ l'ensemble des fonctions régulières sur $X$. Lorsque -$X$ est une variété affine irréductible, $k(X)$ est le corps des -fractions (noté $k(X)$) de $\mathcal{O}(X)$ (=l'anneau des fonctions -régulières sur $X$, qui est intègre). De façon générale, $k(X)$ -coïncide avec $k(U)$ pour n'importe quel ouvert non-vide=dense $U$ -de $X$ (on peut donc définir $k(X) = \Frac \mathcal{O}(U)$ pour $U$ un -ouvert affine dense de $X$). - -On appelle \textbf{dimension de $X$} le degré de transcendance sur $k$ -de $k(X)$. -\end{defn} - -Pour $\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{P}^d$, le corps des fractions -rationnelles est $k(t_1,\ldots,t_d)$ et -$k(\frac{t_1}{t_0},\ldots,\frac{t_d}{t_0})$. La dimension de -$\mathbb{A}^d$ ou $\mathbb{P}^d$ est donc $d$. De façon générale, -d'après ce qu'on vient de dire, la dimension d'une variété -irréductible est égale à celle de n'importe lequel de ses ouverts -non-vides. - -(Lorsque $X$ n'est pas irréductible, on appelle dimension de $X$ la -plus grande dimension d'une composante irréductible de $X$. Parfois -on convient que la dimension du vide est $-1$.) - -\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]\label{hauptidealsatz} -Soit $X$ une variété irréductible de dimension $d$ et $f \in -\mathcal{O}(X)$ un élément qui n'est pas inversible (c'est-à-dire -$Z(f) \neq\varnothing$) et pas nul. Alors chaque composante -irréductible de $Z(f)$ est de dimension $d-1$. - -Variante projective : si $X$ est une variété irréductible de -dimension $d$ dans $\mathbb{P}^e$ et $f$ homogène non constant (en -$e+1$ variables). Alors chaque composante irréductible de $X \cap -Z(f)$ est de dimension $d-1$, \emph{et de plus $X \cap Z(f)$ n'est pas - vide} lorsque $d\geq 1$. -\end{thm} - -\begin{cor} -Si $f_1,\ldots,f_r$ sont des polynômes homogènes en $e+1$ variables, -avec $r \leq e$, alors $Z(f_1,\ldots,f_r) \neq \varnothing$, -c'est-à-dire que sur $k$ corps algébriquement clos, les $r$ équations -$f_i=0$ ont une solution (non-nulle) commune. -\end{cor} - -De plus, $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est de dimension \emph{au moins} $e-r$. -Il peut évidemment être de dimension plus grande (les $f_i$ pourraient -être tous égaux, par exemple). Lorsqu'il est exactement de dimension -$e-r$, on dit que les $f_i$ sont \emph{en intersection complète} -(projective, globale). Lorsque c'est le cas, on peut être plus -précis : le terme dominant de la fonction de Hilbert-Samuel de -$Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(e-r)!} \ell^{e-r}$. - -\begin{cor} -Si $X$ est une variété algébrique (quasiprojective) irréductible de -dimension $d$, alors le seul fermé $Y$ de $X$ tel que $\dim Y = d$ est -$X$ lui-même. Par ailleurs, il existe toujours des fermés -irréductibles $Y$ de dimension $d-1$ dans $X$. - -(Autrement dit, on peut définir la dimension de $X$ comme $1 + -\max\dim Y$ où le $\max$ est pris sur tous les fermés irréductibles -de $X$.) -\end{cor} - -\begin{thm} -Si $X$ et $Y$ sont des variétés algébriques (quasiprojectives), alors -$\dim (X\times Y) = \dim X + \dim Y$. (Remarque : si $X$ et $Y$ sont -irréductibles alors $X \times Y$ l'est.) - -Plus généralement : soit $f\colon Z\to X$ un morphisme de variétés -algébriques (quasiprojectives) irréductibles, surjectif (au sens où -pour tout $x \in X(k)$, pour $k$ algébriquement clos, il existe $z \in -Z(k)$ tel que $x = f(z)$, cf. la section suivante), et soit $d = \dim -X$ et $e = \dim Z$. Alors $e \geq d$, et de plus : -\begin{itemize} -\item Si $x \in X$, alors toute composante de $f^{-1}(x)$ (cf. section - suivante) est de dimension \emph{au moins} $e-d$. -\item Il existe un ouvert non vide (donc dense) $U \subseteq X$ tel - que $\dim f^{-1}(x) = e - d$ (au sens où toute composante - irréductible de $f^{-1}(x)$ a cette dimension) si $x \in U$. -\end{itemize} -\end{thm} - - -% -\subsection{L'image d'un morphisme}\label{image-of-a-morphism} - -Si $X \buildrel f\over\to Y$ est un morphisme entre variétés -quasiprojectives et $Y' \subseteq Y$ un fermé ou un ouvert (ou -l'intersection d'un fermé et d'un ouvert) dans $Y$, il est facile de -définir l'\emph{image réciproque} de $Y'$ par $f$ : il suffit de -« tirer » les équations de $Y'$ de $Y$ à $X$, c'est-à-dire écrire les -équations $h\circ f = 0$ pour chaque équation $h = 0$ de $Y'$ (et -pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert). - -Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus -délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$, -et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si -$k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels -qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ? - -\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley} -\begin{itemize} -\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété - quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant : - il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé - dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$) - telle que $Y'(k)$ soit l'ensemble des $y \in Y(k)$ pour lesquels il - existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$. -\item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel - f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$. -\item Variante : si $X$ est projective et $Y$ quasiprojective, la - seconde projection $X\times Y \to Y$ est une application fermée au - sens où l'image d'un fermé de $X \times Y$ dans $Y$ est un fermé. -\end{itemize} -\end{thm} - - -% -\subsection{Vecteurs tangents et points lisses} -\label{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} - -Si $X$ est une variété quasiprojective sur un corps (algébriquement -clos) $k$, on appelle \textbf{vecteur tangent} à $X$ un élément de -$X(k[\varepsilon])$ où $k[\varepsilon]$ est la $k$-algèbre -$k[t]/(t^2)$ (on note $\varepsilon$ la classe de $t$ dans cette -algèbre, c'est-à-dire que $\varepsilon^2 = 0$). Le \emph{point-base} -de ce vecteur tangent est l'image de cet élément par l'application -$X(k[\varepsilon]) \to X(k)$ qui résulte du morphisme d'anneaux -$k[\varepsilon] \to k$ envoyant $\varepsilon$ sur $0$ ; si $x$ est ce -point base, on dit aussi qu'on a affaire à un vecteur tangent à $X$ -\emph{en} $x$. L'ensemble des vecteurs tangents à $X$ en $x$ est noté -$T_x X$ et s'appelle \emph{espace tangent} à $X$ en $x$. - -On peut voir les choses plus concrètement en passant en affine : -l'espace tangent à $X$ en $x$ est le même que l'espace tangent en $x$ -à n'importe quel voisinage affine de $x$, donc on peut faire tout -calcul en supposant que $X$ est affine. Si $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ -est défini\footnote{Ce genre d'affirmation, ici et ailleurs, - sous-entend toujours que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est radical, sauf - si on est prêt à considérer $X$ comme un schéma et pas juste comme - une variété, ce qui dépasse le cadre de ce cours.} par les équations -$f_i = 0$ dans $\mathbb{A}^d$ alors un point tangent à $X$ peut -s'écrire $(x_1+v_1 \varepsilon,\ldots, x_d + v_d\varepsilon)$ où -$(x_1,\ldots,x_d) \in X(k)$ (i.e. $f_i(x_1,\ldots,x_d) = 0$ pour -tout $i$) sont les coordonnées du point-base, et où $\sum_{j=1}^d v_j -\frac{\partial f_i}{\partial t_j}(x_1,\ldots,x_d) = 0$ : autrement -dit, les $v_i$ appartiennent au noyau de la matrice des dérivées -partielles des équations de $X$. Ceci permet de dire, en le voyant -comme le noyau en question, que $T_x X$ est un \emph{espace vectoriel} -pour chaque $x$ donné (implicitement dans cette affirmation il y a -celle que la structure d'espace vectoriel ne dépend pas du voisinage -affine dans lequel on a considéré les coordonnées) ; sa dimension est -$d - r$ où $r$ est le rang de la matrice des $\frac{\partial - f_i}{\partial t_j}(x_1,\ldots,x_d)$. - -\medbreak - -\begin{prop} -Si $X$ est une variété irréductible sur un corps $k$ (algébriquement -clos), pour tout $x \in X(k)$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$. -\end{prop} - -Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit -d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$ -(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que -peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou -\textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$. Lorsque tout -point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit -que $X$ lui-même est lisse (ou régulier) (sur son corps de base). - -(Pour une variété réductible, un point situé sur une seule composante -irréductible est dit lisse lorsqu'il est lisse sur la composante en -question ; et un point situé sur plusieurs composantes irréductibles à -la fois n'est jamais lisse --- on peut prendre ça comme définition ou -le montrer en prenant comme définition de la lissité le fait que la -dimension de l'espace tangent au point considéré soit égale à la plus -grande dimension d'une composante irréductible passant par ce point.) - -\begin{prop} -Soit $X$ une variété quasiprojective sur un corps (algébriquement -clos) $k$ : alors les points lisses de $X(k)$ forment un ouvert de -Zariski. -\end{prop} -\begin{proof} -L'affirmation est locale, donc on peut supposer $X$ affine. Si $X$ -est de codimension $r$ (c'est-à-dire de dimension $d-r$ -dans $\mathbb{A}^d$), le fait que $x$ soit lisse se traduit par le -fait que la matrice des dérivées partielles en $x$ des équations -définissant $X$ est de rang \emph{au moins} $r$ (sachant qu'elle ne -peut pas être strictement supérieure). Or ceci se traduit par le fait -qu'il existe un mineur $r\times r$ de cette matrice qui ne s'annule -pas : la réunion des ouverts définis par tous les mineurs $r\times r$ -(qui sont bien polynomiaux dans les variables) donne bien une -condition ouverte de Zariski. -\end{proof} - -\begin{rmk} -\begin{itemize} -\item D'après \ref{hauptidealsatz}, une hypersurface $Z(f)$ - dans $\mathbb{A}^d$, pour $f$ non constant, est de dimension $d-1$, - donc elle est lisse ssi aucun point de $Z(f)$ n'annule simultanément - les $d$ dérivées partielles de $f$. Grâce au Nullstellensatz, ceci - peut encore se reformuler en : $Z(f)$ est lisse ssi les polynômes - $f$ et $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ (soit $d+1$ polynômes au - total) engendrent l'idéal unité de $k[t_1,\ldots,t_d]$. -\item Variante projective : pour $f$ homogène de degré non nul dans - $k[t_0,\ldots,t_d]$, on peut montrer que $Z(f) \subseteq - \mathbb{P}^d$ est lisse ssi les polynômes $\frac{\partial - f}{\partial t_i}$ n'ont aucun zéro commun sur $k$ (algébriquement - clos !), car un zéro commun des $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ - est forcément zéro de $f = \sum_{i=0}^d t_i \frac{\partial - f}{\partial t_i}$. Grâce au Nullstellensatz projectif, on peut - encore reformuler cela en : les $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ - engendrent un idéal irrelevant. -\item Quand $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ (affine, disons - dans $\mathbb{A}^d$) est définie par plusieurs polynômes - $f_1,\ldots,f_r$, \emph{si} la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial - t_j}$ est de rang $r$ en un point de $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$, on - peut conclure que ce point est lisse et que $X$ est de - dimension $d-r$. En revanche, lorsque le rang est plus petit - que $r$, on ne peut pas conclure sauf en connaissant la dimension - de $X$. -\end{itemize} -\end{rmk} - -\begin{prop} -Soit $X$ une variété\footnote{Ici, le mot « variété » est - particulièrement important : beaucoup de définitions ou concepts - introduits ailleurs fonctionneraient aussi pour un schéma, - c'est-à-dire un objet défini par un idéal non radical, mais ici ce - n'est pas le cas.} quasiprojective sur un corps (algébriquement -clos) $k$ : alors il existe un point lisse de $X(k)$ --- par -conséquent, il existe un ouvert dense de points lisses. -\end{prop} - -Ceci permet parfois de calculer la dimension d'une variété, en -reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le -\emph{minimum} des dimensions des espaces vectoriels $T_x X$ (donc, -dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible -que prend la matrice des dérivés partielles). - -\medbreak - -\begin{rmk} -Dans énormément d'énoncés, on a utilisé des expressions comme « soit - $X = Z(I)$ la variété (blabla) », qui sous-entendent que $I$ est un -idéal \emph{radical} (à savoir $I = \mathfrak{I}(X)$) : ceci est -nécessaire pour éviter de parler de schémas (qui seraient des objets -localement comme « $\Spec k[t_1,\ldots,t_d]/I$ » avec $I$ idéal non -nécessairement radical). L'inconvénient de cette approche est qu'à -peu près toute manipulation d'équations est subordonnée à la -vérification du fait que celles-ci engendrent un idéal radical, ce qui -est souvent fastidieux. - -Voici une bonne nouvelle : un « schéma » lisse est nécessairement -réduit (=est une variété) ; c'est-à-dire, dans un langage qu'on -comprend, que si $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$, qui ne sont -pas supposés \textit{a priori} engendrer un idéal radical, vérifient -la condition de lissité (=le rang de la matrice $\frac{\partial - f_i}{\partial t_j}$ vaut partout au moins $d - \dim X$, donc -exactement ce nombre, où $X$ est la variété définie par -$\surd(f_1,\ldots,f_r)$ ; et en particulier s'il vaut partout au moins -$d-r$), alors automatiquement l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est radical. - -(Par contre, dans ce contexte, on ne peut pas utiliser la proposition -précédente.) -\end{rmk} - -\medbreak - -\textbf{Un exemple : la cubique gauche.} On reprend l'exemple étudié -à plusieurs reprises de la cubique gauche, la variété $C$ définie dans -$\mathbb{P}^3$ par $t_0 t_2 = t_1^2$, $t_1 t_3 = t_2^2$ et $t_0 t_3 = -t_1 t_2$. Sur l'ouvert affine $D(t_0) = \{t_0\neq 0\}$, ses équations -deviennent (en posant $\tau_1 = t_1/t_0$, $\tau_2 = t_2/t_0$ et -$\tau_3 = t_3/t_0$) : $\tau_2 = \tau_1^2$ et $\tau_3 = \tau_1^3$ -(l'équation $\tau_1 \tau_3 = \tau_2^2$ est redondante) ; on peut en -conclure que la dimension de cet ouvert affine $C \cap D(t_0)$ est au -moins $3-2 = 1$, en fait il est visiblement isomorphe à $\mathbb{A}^1$ -via le morphisme $\tau \mapsto (\tau,\tau^2,\tau^3)$ considéré dans la -section \ref{subsection-morphisms-of-affine-algebraic-varieties}. (Attention, on -ne peut pas conclure directement que la dimension de $C$ est $3$ à -moins de donner une explication du fait que $C$ est irréductible.) -Par symétrie des variables (remplacer $t_i$ par $t_{3-i}$ partout -conserve les mêmes équations), on peut aussi conclure que $C \cap -D(t_3)$ est de dimension $1$ (et isomorphe à $\mathbb{A}^1$). -Remarquons par ailleurs que « si $t_0=0$ et $t_3=0$ alors $t_1=0$ et - $t_2=0$ aussi d'après les équations de $C$, ce qui n'est pas - possible » (plus précisément, l'idéal engendré par $t_0$ et $t_3$ et -les équations de $C$ contient aussi $t_1^2$ et $t_2^2$, c'est donc un -idéal irrelevant), ce qui permet de dire que les ovuerts $D(t_0)$ et -$D(t_3)$ recouvrent $C$. Donc $C$ est bien de dimension $1$. -S'agissant de la lissité, le fait que $C \cap D(t_0)$ et $C\cap -D(t_3)$ soient isomorphes à $\mathbb{A}^1$ permet de conclure (car -$\mathbb{A}^1$ est lisse), mais on peut vouloir le voir sur les -équations : sur $C \cap D(t_0)$, les dérivées partielles des deux -équations $\tau_2 = \tau_1^2$ et $\tau_3 = \tau_1^3$ sont $(2\tau_1, -1, 0)$ et $(3\tau_1^2, 0, 1)$, donc linéairement indépendantes, ce qui -assure que tout cet ouvert est lisse, et par symétrie des coordonnées, -c'est aussi le cas pour $C \cap D(t_3)$. On a donc bien affaire à une -courbe (=variété (irréductible ?) de dimension $1$) lisse -dans $\mathbb{P}^3$. - -Soit dit en passant, on ne peut pas omettre une des trois équations -utilisées pour définir $C$ : si on omet $t_0 t_2 = t_1^2$, la variété -ainsi obtenue contiendra toute la droite $\{(t_0:t_1:0:0)\}$ -d'équation $t_2=t_3=0$ (par exemple le point $(1:1:0:0)$), qui n'est -pas dans $C$, si on omet $t_1 t_3 = t_2^2$ de même (par symétrie) avec -la droite $\{(0:0:t_2:t_3)\}$ d'équation $t_0=t_1=0$ ; et si on omet -$t_0 t_3 = t_1 t_2$, la variété contient toute la droite -$\{(t_0:0:0:t_3)\}$ d'équation $t_1=t_2=0$ (par exemple le point -$(1:0:0:1)$). Il n'est en fait pas possible de définir $C$ avec -seulement deux équations qui engendrent un idéal radical : en effet, -premièrement, le polynôme de Hilbert-Samuel de $C$ vaut $3\ell+1$ (car -il est facile de voir que les équations de $C$ réduisent deux monômes -$t_0^{d_0} t_1^{d_1} t_2^{d_2} t_3^{d_3}$ exactement lorsqu'ils ont le -même degré total $d_0+d_1+d_2+d_3$ et le même « degré sur $C$ », $d_1 -+ 2d_2 + 3d_3$, donc on est ramené à compter les valeurs possibles de -$d_1 + 2d_2 + 3d_3$ connaissant $d_0+d_1+d_2+d_3 = \ell$, et ce sont -tous les entiers entre $0$ et $3\ell$ inclus) ; ceci confirme que la -dimension de $C$ est $1$ mais aussi que son degré (au sens donné par -le coefficient dominant du polynôme de Hilbert-Samuel) vaut $3$ : si -$C$ était définie par deux équations $\mathfrak{I}(C) = (f_1,f_2)$, -donc en intersection complète, on aurait $\deg f_1 \cdot \deg f_2 = -3$, ce qui impose soit $\deg f_1 = 1$ soit $\deg f_2 = 3$, donc $C$ -serait une courbe plane, ce qui n'est visiblement pas le cas. - -\medbreak - -\textbf{Différentielle d'un morphisme.} Si $h\colon X\to Y$ est un -morphisme entre variétés quasiprojectives sur un corps algébriquement -clos $k$ et $x \in X(k)$, on a une application $dh_x\colon T_x X \to -T_{h(x)} Y$ qui est définie formellement par $h(k[\varepsilon]) \colon -X(k[\varepsilon]) \to Y(k[\varepsilon])$ et plus concrètement, si -localement $X$ est défini par des équations $f_1=\cdots=f_r = 0$ -dans $\mathbb{A}^d$ (de sorte que $T_x X$ se voit comme l'ensemble des -$(v_i)$ tels que $\sum_{j=1}^d v_j \frac{\partial f_i}{\partial - t_j}(x_1,\ldots,x_d) = 0$) et $Y$ par $g_1=\cdots=g_s = 0$ -dans $\mathbb{A}^e$ (de sorte que $T_y Y$ se voit comme l'ensemble des -$(w_i)$ tels que $\sum_{j=1}^e w_j \frac{\partial g_i}{\partial - u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$), et le morphisme $h$ par des polynômes -$(h_1,\ldots,h_e)$ (vérifiant $g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$) envoyant -$(x_1,\ldots,x_d)$ sur $(h_1(x_1,\ldots,x_d),\ldots,\penalty-100 -h_e(x_1,\ldots,x_d))$, alors $dh_x$ envoie $(v_1,\ldots,v_d)$ sur -$(w_1,\ldots,w_e)$ où $w_i = \sum_{j=1}^d v_j\frac{\partial - h_i}{\partial t_j}$ (et la condition souhaitée, $\sum_{i=1}^e w_j -\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(y_1,\ldots,y_d) = 0$ est une -conséquence de la formule des dérivées composées appliquée à -$g_i(h_1,\ldots,h_e) = 0$ : on a $\sum_{j=1}^e \frac{\partial - g_i}{\partial u_j} \frac{\partial h_j}{\partial t_l} = 0$). Cette -application $dh_x$ est linéaire (pour chaque $x$ donné) : on l'appelle -différentielle du morphisme $h$ au point $x$. - -\textbf{Lissité des morphismes.} On ne définira le concept de -morphisme lisse entre variétés quasiprojectives $X \to Y$ que lorsque -$Y$ elle-même est lisse. Plus exactement, on dit qu'un morphisme $X -\buildrel h\over\to Y$ est \emph{lisse} en un point $x \in X$ tel que -$Y$ soit lisse en $h(x)$, lorsque $dh_x \colon T_x X \to T_{h(x)} Y$ -est \emph{surjective}. On dit qu'un morphisme $X \to Y$, avec $Y$ -lisse, est lisse (partout) lorsque la différentielle est surjective en -tout point. Une conséquence importante de la lissité de $h$ est que -la fibre $h^{-1}(y)$ est elle-même lisse (en tant que variété, un -fermé à l'intérieur de $X$) pour chaque $y\in Y$. - - - -% -% -% - -\section{Géométrie algébrique sur un corps non algébriquement clos} - -\subsection{Crash-course de théorie de Galois} - -Rappel : corps parfait = corps de caractéristique $0$ \emph{ou} de -caractéristique $p$ tel que tout élément ait une racine $p$-ième = -corps tel que tout polynôme irréductible soit à racines simples sur la -clôture algébrique. Exemples : $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, -$\mathbb{F}_q$ sont parfaits comme l'est tout corps algébriquement -clos. Contre-exemple : $\mathbb{F}_p(t)$ n'est pas parfait ($t$ n'a -pas de racine $p$-ième). - -Si $k$ est un corps parfait (et qu'on en fixe une fois pour toutes une -clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle -\textbf{groupe de Galois absolu} de $k$ le groupe des automorphismes -de corps de sa clôture algébrique qui laissent $k$ fixe -(i.e. $\sigma(x) = x$ pour tout $x\in k$). - -\textbf{Exemples :} Si $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}}, -(z\mapsto\bar z)\}$ est le groupe cyclique d'ordre $2$. Si $k$ est -algébriquement clos, $\Gamma_k$ est trivial. Si $k = \mathbb{F}_q$ -est fini, $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$ contient au moins toutes les -puissances $\Frob_q^i \colon x \mapsto x^{q^i}$ du Frobenius -$\Frob_q\colon x \mapsto x^q$ ; il contient en fait d'autres éléments, -mais « en gros » il n'y a que les puissances du Frobenius (au sens : -la restriction de tout $\sigma \in \Gamma_{\mathbb{F}_q}$ à un -$\mathbb{F}_{q^n}$ est de la forme $\Frob_q^i$ pour un certain $i \in -\mathbb{Z}$ (qu'on peut voir dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si on -préfère) ; en tout cas, pour voir qu'un élément de $k^{\alg}$ (ou de -n'importe quoi qui sera considéré plus bas) est fixé/stable par -$\Gamma_{\mathbb{F}_q}$, il suffit de vérifier qu'il est fixé/stable -par $\Frob_q$. - -\begin{thm}\label{rational-iff-fixed-by-galois} -Si $k$ est un corps parfait de clôture algébrique $k^{\alg}$, un -élément $x$ de $k^{\alg}$ appartient à $k$ si [et seulement si, mais - ça c'est juste la définition de $\Gamma_k$] on a $\sigma(x) = x$ -pour tout $\sigma \in \Gamma_k$. -\end{thm} - -Slogan : « rationnel = fixé par Galois ». - -Si $k \subseteq K$ est une extension algébrique (on note parfois ça -$K/k$, mauvaise notation car elle fait penser à un quotient), si $k$ -est parfait alors $K$ l'est aussi, et $\Gamma_{K}$ est un sous-groupe -de $\Gamma_k$. Ce sous-groupe est \emph{distingué} exactement lorsque -$\sigma(K) = K$ (c'est-à-dire $K$ est \emph{globalement} stable -par $\sigma$, pas nécessairement fixé point à point) pour tout -$\sigma\in\Gamma_k$ : dans ce cas on dit que $K$ est une -\textbf{extension galoisienne} de $k$, et on pose $\Gal(k\subseteq K) -= \Gamma_k/\Gamma_{K}$, qui s'appelle groupe de Galois de l'extension -$k \subseteq K$. Il peut se voir comme l'ensemble des automorphismes -de $K$ laissant $k$ fixe. Remarque : si $\Gamma_k$ est abélien (c'est -le cas de $\mathbb{F}_q$), \emph{toute} extension algébrique de $k$ -est galoisienne. - -\begin{thm} -\begin{itemize} -\item Si $k\subseteq K$ est une extension finie (donc algébrique) - galoisienne, alors un élément $x$ de $K$ appartient à $k$ si [et - seulement si] on a $\sigma(x) = x$ pour tout $\sigma \in - \Gal(k\subseteq K)$. De plus, il y a une bijection entre extensions - intermédiaires $k \subseteq E \subseteq K$ et sous-groupes de - $\Gal(k\subseteq K)$ donnée par $E \mapsto \Gamma_E/\Gamma_K = - \Gal(E\subseteq K)$ et réciproquement $H \mapsto \{x \in K - :\penalty-100 (\forall \sigma \in H)\, \sigma(x)=x\}$. (Note : - l'extension $E \subseteq K$ est toujours galoisienne (on rappelle - que $k \subseteq K$ était supposée l'être !), et $k \subseteq E$ - l'est lorsque $\Gal(E\subseteq K)$ est distingué dans - $\Gal(k\subseteq K)$.) -\item Version absolue : pour $k$ parfait, il y a une bijection entre - les extensions finies (et en particulier, algébriques) $k\subseteq - K$ de $k$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée, et les - sous-groupes de $\Gamma_k$ qui sont « ouverts » au sens où ils - contiennent un $\Gamma_{k'}$ pour $k'$ extension finie de $k$. -\end{itemize} -\end{thm} - -La première partie du résultat suivant est une conséquence triviale -de \ref{rational-iff-fixed-by-galois}, la seconde est beaucoup plus -subtile. -\begin{thm} -Pour $k$ parfait : -\begin{itemize} -\item Si $x \in \mathbb{A}^d(k^{\alg})$ est fixé par $\Gamma_k$, alors - $x \in \mathbb{A}^d(k)$ (au sens où ses coordonnées affines sont - dans $k$). -\item Si $x \in \mathbb{P}^d(k^{\alg})$ est fixé par $\Gamma_k$, alors - $x \in \mathbb{P}^d(k)$ (au sens où \emph{il admet} des coordonnées - homogènes dans $k$). -\end{itemize} -\end{thm} - - - -\subsection{Variétés sur un corps non algébriquement clos} - -Soit $k$ un corps parfait. Si $I$ est un idéal de -$k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit l'idéal $I_{k^{\alg}} := I\cdot -k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$ engendré par $I$ dans -$k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$. - -\begin{prop} -\begin{itemize} -\item L'idéal $I_{k^{\alg}}$ est radical si et seulement si $I$ l'est. -\item Un idéal $J$ de $k^{\alg}[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme - $I_{k^{\alg}}$ pour $I$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si et seulement - si $\sigma(J) = J$ pour tout $\sigma \in \Gamma_k$. Lorsque c'est - le cas, $I = J \cap k[t_1,\ldots,t_d]$. -\item Lorsque $J$ est radical, c'est le cas (=$J$ est de la - forme $I_{k^{\alg}}$) si et seulement si $\sigma(Z(J)) = Z(J)$ (où - ici $Z(J)$ désigne $Z(J)(k^{\alg})$, les $k^{\alg}$-points - de $Z(J)$). Remarque : $Z(J)(k^{\alg}) = Z(I)(k^{\alg})$. -\item On a des bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion, - entre idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et fermés de Zariski de - $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$ stables par Galois, donnée par $I \mapsto - Z(I_{k^{\alg}})(k^{\alg})$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E) \cap - k[t_1,\ldots,t_d]$. -\end{itemize} -\end{prop} - -On qualifiera un fermé de Zariski $X$ de $\mathbb{A}^d(k^{\alg})$ -stable par Galois de $k$-variété algébrique affine (moralité : c'est -une variété dont les équations peuvent être définies sur $k$), et on -considère que $Z(I)$ désigne cette variété $X$ (et pas juste -l'ensemble des points sur $k$). On a alors effectivement un ensemble -de $k$-points $X(k) = Z(I)(k)$ : concrètement, ce sont les points dont -les coordonnées affines sont dans $k$, c'est-à-dire, sont fixées par -Galois ; mais \emph{attention}, cet ensemble peut très bien être vide -sans que $X$ le soit (car le Nullstellensatz ne fonctionne que sur un -corps algébriquement clos). Par exemple, $Z(x^2+y^2+1) \subseteq -\mathbb{A}^2$ définit une variété algébrique affine sur $\mathbb{R}$ -qui n'a aucun $\mathbb{R}$-point. - -La même chose fonctionne en projectif : on a des bijections -réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre idéaux homogènes -radicaux de $k[t_0,\ldots,t_d]$ autres que $(t_0,\ldots,t_d)$ et -fermés de Zariski de $\mathbb{P}^d(k^{\alg})$ stables par Galois, -donnée par $I \mapsto Z(I_{k^{\alg}})(k^{\alg})$ et $E \mapsto -\mathfrak{I}(E) \cap k[t_0,\ldots,t_d]$. - -On appelle variété quasiprojective sur $k$ une variété quasiprojective -$X$ (dans $\mathbb{P}^d$) sur $k^{\alg}$ qui soit stable par Galois -(moralité : c'est une variété dont les équations peuvent être définies -sur $k$). On peut donc définir une action de Galois sur -$X(k^{\alg})$, et $X(k)$ est l'ensemble des points fixés par Galois -(et pour toute extension $k'$ de $k$, l'ensemble $X(k')$ est le -sous-ensemble de $X(k^{\alg})$ fixé par $\Gamma_{k'}$). - -Pour éviter les confusions, on note souvent $X_{k^{\alg}}$ la variété -sur $k^{\alg}$ définie par $X$ (c'est-à-dire celle où on oublie la -structure sur $k$ / l'action de Galois). - -\medbreak - -\underline{Attention :} si un idéal $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est premier -(cela signifie qu'il est radical et que la variété $X = Z(I) \subseteq -\mathbb{A}^d$ définie sur $k$ est irréductible au sens où elle n'est -pas réunion de deux fermés plus petits définis sur $k$), cela -n'implique pas que $I_{k^{\alg}}$ soit premier, c'est-à-dire que -$X_{k^{\alg}}$ soit irréductible ; par contre, la réciproque est -vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréducible} ou -\emph{géométriquement irréductible} lorsque $X_{k^{\alg}}$ est -irréductible. Contre-exemple : $Z(x^2+y^2)$ dans $\mathbb{A}^2$ -sur $\mathbb{R}$ n'est pas absolument irréductible puisque sur -$\mathbb{C}$ il est réunion des deux droites $Z(x+iy)$ et $Z(x-iy)$, -mais sur $\mathbb{R}$ il est irréductible car tout fermé défini -sur $\mathbb{R}$ qui contient une de ces droites doit contenir -l'autre. - -\medbreak - -Quant aux idéaux \emph{maximaux} de $k[t_1,\ldots,t_d]$, ils -correspondent aux \emph{orbites} sous $\Gamma_k$, c'est-à-dire aux -ensembles (nécessairement finis) de $k^{\alg}$-points tels que -n'importe lequel puisse être envoyé sur n'importe lequel par un -élément de $\Gamma_k$ (c'est-à-dire, si on préfère, qu'aucun -sous-ensemble non-vide n'est stable par $\Gamma_k$). (On peut, si on -le souhaite, considérer que ce sont là les « points » de l'espace -affine $\mathbb{A}^d$, auquel cas on les appelle « points fermés » -pour bien les distinguer des « $k$-points », c'est-à-dire les éléments -de $k^d$, ou orbites réduites à un seul élément.) Une remarque -analogue vaut pour des variétés algébriques sur $k$ plus générales : -les idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]/I$, pour $I$ idéal radical -de $k[t_1,\ldots,t_d]$, correspondent aux orbites sous $\Gamma_k$ de -$Z(I)(k^{\alg})$. - - - -\subsection{Morphismes entre icelles} - -Si $X$ et $Y$ sont deux variétés quasiprojectives sur un corps -parfait $k$, un morphisme $X_{k^{\alg}} \buildrel f\over\to -Y_{k^{\alg}}$ sera considéré comme un morphisme $X \to Y$ de -$k$-variétés lorsqu'il vérifie les conditions équivalentes suivantes : -\begin{itemize} -\item Il existe des équations à coefficients dans $k$ définissant $f$. -\item Le morphisme $f$ commute à l'action de Galois, au sens où - $\sigma(f(x)) = f(\sigma(x))$ pour tout $x \in X(k^{\alg})$. -\end{itemize} - -(Cas particulier éclairant : si $f \in \mathbb{F}_{q^n}[t]$, alors -$f(t)^q = f(t^q)$ si et seulement si $f \in \mathbb{F}_q[t]$.) - -En particulier, $f$ définit une application $X(k) \to Y(k)$, mais la -donnée de celle-ci \emph{ne suffit pas} à caractériser $f$ (penser au -fait que $X(k)$ peut très bien être vide !). - -On peut aussi caractériser les morphismes $X \to Y$ de $k$-variétés -comme les données pour toute $k$-algèbre $A$ d'un application $X(A) -\buildrel f(A)\over\to Y(A)$ telle que : si $A \buildrel\psi\over\to -A'$ est un morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) -\buildrel X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et -$X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$ -coïncident (cf. lemme de Yoneda). - -\medbreak - -Pour les fonctions régulières, on a ce qu'on imagine : un morphisme $X -\to \mathbb{A}^1$ est la même chose qu'une fonction régulière sur -$X_{k^{\alg}}$ stable par Galois, et c'est ce qu'on appelle une -fonction régulière sur $X$. Lorsque $X = Z(I) \subseteq \mathbb{A}^d$ -est affine (avec $I = \mathfrak{I}(X)$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$), -les fonctions régulières sur $X$ sont les éléments de -$k[t_1,\ldots,t_d]/I$. En général, on peut toujours définir une -fonction régulière sur $X$ par recollement de fonctions régulières sur -des ouverts affines (c'est-à-dire : on peut le faire \emph{sur $k$}, -il n'y a pas besoin de passer à la clôture algébrique). - - - -% -% -% - -\section{Introduction aux bases de Gröbner} - -\subsection{Monômes et idéaux monomiaux} - -On appelle \textbf{monôme} de $k[t_1,\ldots,t_d]$ un -$t_1^{\ell_1}\cdots t_d^{\ell_d}$. On dit qu'un monôme -$t_1^{\ell_1}\cdots t_d^{\ell_d}$ \textbf{divise} un monôme -$t_1^{\ell'_1}\cdots t_d^{\ell'_d}$ lorsque $\ell_i \leq \ell'_i$ pour -tout $i$ (c'est bien la relation de divisibilité dans l'anneau -factoriel $k[t_1,\ldots,t_d]$, restreinte aux monômes, et le rapport -est alors lui-même un monôme). Un \textbf{terme} est un monôme -multiplié par une constante (=élément de $k$) non nulle : on parle -alors du monôme \emph{de} ce terme. Tout polynôme s'écrit de façon -unique comme somme de termes dont les monômes sont distincts : ce sont -les termes de (=intervenant dans) ce polynôme. - -Commençons par la remarque suivante, qui est évidente, mais -essentielle : -\begin{prop}\label{divisibility-of-monomials} -Si $s_1,\ldots,s_r$ sont des monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors -pour chaque terme $c s$ de $g_1 s_1 + \cdots + g_r s_r$ (où -$g_1,\ldots,g_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$) le monôme $s$ de ce terme est -divisible par l'un des $s_i$. -\end{prop} -\begin{proof} -En développant l'écriture $g_1 s_1 + \cdots + g_r s_r$, puisque la -somme comporte le terme $c s$, au moins un des facteurs comporte un -terme dont le monôme est $s$, ce qui montre bien que $s$ est divisible -par un des $s_i$. -\end{proof} - -\begin{cor} -Si $s_1,\ldots,s_r$ sont des monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$, l'idéal -qu'ils engendrent est exactement l'idéal des polynômes dont le monôme -de chaque terme est divisible par un des $s_i$. -\end{cor} -\begin{proof} -On vient de montrer que si $f$ est dans $(s_1,\ldots,s_r)$ alors le -monôme de chaque terme de $f$ est divisible par un des $s_i$. -Réciproquement, si c'est le cas, $f$ est somme de termes multiples -des $s_i$, qui appartiennent donc à l'idéal engendré par les $s_i$. -\end{proof} - -On appelle \textbf{idéal monomial} un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ qui -peut être engendré par des monômes : le corollaire ci-dessus montre -que si $I$ est un idéal monomial, alors tout terme d'un élément de $I$ -est encore un élément de $I$. Réciproquement, si $I$ est un idéal tel -que tout terme d'un élément de $I$ soit un élément de $I$, alors $I$ -est monomial (en effet, on peut choisir un ensemble de générateurs -de $I$, et les monômes des termes de ces générateurs donnent des -éléments de $I$ qui engendrent les générateurs choisis, donc -engendrent $I$). - - - -% -\subsection{Ordres admissibles sur les monômes} - -On appelle \textbf{ordre admissible} (ou \textbf{ordre monomial}) sur -les monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]$ une relation d'ordre total -$\preceq$ sur les monômes de ce dernier telle que : -\begin{itemize} -\item $1 \preceq s$ pour tout monôme $s$, et -\item si $s_1 \preceq s_2$ et $s$ est un monôme quelconque, alors $s - s_1 \preceq s s_2$. -\end{itemize} -(On notera souvent abusivement $c s \preceq c' s'$, lorsque $cs, c's'$ -sont deux termes, pour signifier que leurs monômes vérifient $s -\preceq s'$.) - -\begin{prop}\label{properties-of-admissible-orders} -Si $\preceq$ est un ordre admissible sur les monômes de -$k[t_1,\ldots,t_d]$, alors -\begin{itemize} -\item si $s_1 | s_2$ alors $s_1 \preceq s_2$, -\item $\preceq$ est un bon ordre (c'est-à-dire : tout ensemble non - vide de monômes a un plus petit élément pour $\preceq$, ou de façon - équivalente, il n'y a pas de suite infinie strictement décroissante - de monômes pour $\preceq$). -\end{itemize} -\end{prop} -\begin{proof} -Le premier point est évident : si $s_2 = s s_1$ alors $1 \preceq s$ -entraîne $s_1 \preceq s s_1 = s_2$. Montrons le second : si $S$ est -un ensemble de monômes, soit $I$ l'idéal qu'ils engendrent ; comme -$k[t_1,\ldots,t_d]$ est noethérien, il existe un sous-ensemble fini -$S_0 \subseteq S$ qui engendre le même idéal $I$. Soit $s$ le plus -petit élément de $S_0$ : on prétend que $s$ est aussi le plus petit -élément de $S$. En effet, si $s' \in S$ alors $s' \in I$ donc $s'$ -s'écrit comme combinaison d'éléments de $S_0$, mais alors -d'après \ref{divisibility-of-monomials}, $s'$ est simplement multiple d'un -élément de $S_0$, et d'après le premier point, $s\preceq s'$, ce qui -conclut. -\end{proof} - -Lorsque $d=1$, le seul ordre admissible sur les monômes est évidemment -celui donné par $t^\ell \preceq t^{\ell'}$ ssi $\ell \leq \ell'$. - -Une fois fixé un ordre admissible $\preceq$ sur les monômes, si $f \in -k[t_1,\ldots,t_d]$ est non nul, on note $\init_{\preceq}(f)$ (ou -simplement $\init(f)$ si l'ordre est sous-entendu) et on appelle -\textbf{terme initial} (ou \textbf{terme de tête}) de $f$ le terme au -\emph{plus grand} monôme pour l'ordre en question. (Lorsque $d=1$, -pour le seul ordre admissible sur les monômes, ceci est simplement le -terme dominant de $f$.) Si $f=0$ on pose (un peu abusivement) -$\init(f) = 0$. - -\medbreak - -Exemples importants d'ordres admissibles sur les monômes : (on -supposera toujours, quitte à renuméroter les variables, que $t_1 -\preceq t_2 \preceq \cdots \preceq t_d$) : - -* L'\textbf{ordre lexicographique (pur)} est défini par $t_1^{\ell_1} -\cdots t_d^{\ell_d} \mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}} t_1^{\ell'_1} -\cdots t_d^{\ell'_d}$ ssi $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus - grand} $i$ tel que $\ell_i \neq \ell'_i$. Pour cet ordre on a donc -$1 \preceq t_1 \preceq t_1^2 \preceq t_1^3 \preceq \cdots \preceq t_2 -\preceq t_1 t_2 \preceq t_1^2 t_2 \preceq \cdots \preceq t_2^2 \preceq -t_1 t_2^2 \preceq \cdots \preceq t_2^3 \preceq \cdots \preceq t_3 -\preceq t_1 t_3 \preceq t_1^2 t_3 \preceq \cdots \preceq t_2 t_3 -\preceq t_1 t_2 t_3 \preceq \cdots \preceq t_3^2 \preceq \cdots -\preceq t_4 \preceq \cdots$. (Attention, l'ordre donne le poids fort -à l'exposant de la dernière variable, ce qui correspond à la -convention faite $t_1 \preceq t_2 \preceq \cdots \preceq t_d$ ; plus -généralement, tout ordre total sur l'ensemble des variables définit un -unique ordre lexicographique pur associé.) - -\emph{Caractérisation :} Si $\init_{\mathtt{lex}}(f) \in -k[t_1,\ldots,t_s]$ (pour un $s\leq d$) alors $f \in -k[t_1,\ldots,t_s]$. - -* L'\textbf{ordre lexicographique par degré} ou \textbf{ordre - lexicographique gradué} est défini par $t_1^{\ell_1} \cdots -t_d^{\ell_d} \mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}} t_1^{\ell'_1} \cdots -t_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum -\ell'_i$ et $\ell_i < \ell'_i$ pour le \emph{plus grand} $i$ tel que -$\ell_i \neq \ell'_i$. Autrement dit, les monômes sont classés par -degré total en priorité puis, faute de cela, par l'ordre -lexicographique pur défini ci-dessus. Pour cet ordre, on a donc $1 -\preceq t_1 \preceq t_2 \preceq t_3 \preceq t_4 \preceq \cdots \preceq -t_1^2 \preceq t_1 t_2 \preceq t_2^2 \preceq t_1 t_3 \preceq t_2 t_3 -\preceq t_3^2 \preceq \cdots \preceq t_1^3 \preceq t_1^2 t_2 \preceq -t_1 t_2^2 \preceq t_2^3 \preceq t_1^2 t_3 \preceq t_1 t_2 t_3 \preceq -\cdots$. (Même remarque que ci-dessus : il y a un tel ordre pour -chaque ordre total sur les variables.) - -\emph{Caractérisation :} L'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ -raffine l'ordre partiel donné par le degré total ; et si $f$ homogène -vérifie $\init_{\mathtt{glex}}(f) \in k[t_1,\ldots,t_s]$ (pour -un $s\leq d$) alors $f \in k[t_1,\ldots,t_s]$. - -* L'\textbf{ordre lexicographique inversé par degré} (ou -\textbf{...gradué}) est défini par $t_1^{\ell_1} \cdots t_d^{\ell_d} -\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}} t_1^{\ell'_1} \cdots -t_d^{\ell'_d}$ ssi $\sum \ell_i < \sum \ell'_i$ ou $\sum \ell_i = \sum -\ell'_i$ et $\ell_i > \ell'_i$ (attention au sens !) pour le -\emph{plus petit} $i$ tel que $\ell_i \neq \ell'_i$. Pour cet ordre, -on a donc $1 \preceq t_1 \preceq t_2 \preceq t_3 \preceq t_4 \preceq -\cdots \preceq t_1^2 \preceq t_1 t_2 \preceq t_1 t_3 \preceq t_1 t_4 -\preceq \cdots \preceq t_2^2 \preceq t_2 t_3 \preceq \cdots \preceq -t_3^2 \preceq \cdots \preceq t_1^3 \preceq t_1^2 t_2 \preceq t_1^2 t_3 -\preceq \cdots \preceq t_1 t_2^2 \preceq t_1 t_2 t_3 \preceq \cdots -\preceq t_2^3 \preceq \cdots$. (Même remarque que ci-dessus : il y a -un tel ordre pour chaque ordre total sur les variables. De plus, -$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ et -$\mathrel{\preceq_{\mathtt{glex}}}$ coïncident lorsqu'il n'y a que -deux variables, une fois fixé l'ordre entre celles-ci.) - -\emph{Caractérisation :} L'ordre -$\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$ raffine l'ordre partiel donné -par le degré total ; et si $f$ homogène vérifie -$\init_{\mathtt{grevlex}}(f) \in (t_1,\ldots,t_s)$ (pour un $s\leq d$) -alors $f \in (t_1,\ldots,t_s)$. - - -% -\subsection{Bases de Gröbner} - -Si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ (et $\preceq$ un ordre -admissible), on appelle $\init_{\preceq}(I)$ l'idéal engendré par les -$\init_{\preceq}(f)$ pour tous les $f\in I$ (c'est donc un idéal -monomial). Attention ! il n'y a aucune raison que prendre les -$\init_{\preceq}(f)$ pour $f$ parcourant des générateur de $I$ suffise -à engendrer $\init_{\preceq}(I)$. - -\begin{defn} -Si $I$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et $\preceq$ un ordre -admissible sur les monômes de ce dernier, on appelle \textbf{base de - Gröbner} de $I$ un ensemble $f_1,\ldots,f_r$ d'éléments de $I$ tels -que $\init_{\preceq}(f_1),\ldots,\init_{\preceq}(f_r)$ -engendrent $\init_{\preceq}(I)$. -\end{defn} - -A priori, rien ne dit que $f_1,\ldots,f_r$ engendrent $I$. C'est -pourtant le cas : -\begin{prop} -Dans les conditions ci-dessus, on a $I = (f_1,\ldots,f_r)$. -\end{prop} -\begin{proof} -On a $I \supseteq (f_1,\ldots,f_r)$ puisque les $f_i$ sont supposés -dans $I$. Supposons maintenant qu'il n'y ait pas égalité. Soit $h -\in I$ un polynôme avec le monôme dans $\init(h)$ le plus petit -possible (pour $\preceq$) tel que $h \not\in (f_1,\ldots,f_r)$. -Puisque $\init(h) \in \init(I)$, on peut écrire $\init(h) = g_1 -\init(f_1) + \cdots + g_r \init(f_r)$ par l'hypothèse faite sur -les $f_i$ (pour certains $g_1,\ldots,g_r$). -D'après \ref{divisibility-of-monomials}, ceci montre que $\init(h) = c s -\init(f_i)$ pour un certain monôme $s$ et $c$ une constante. On a -alors $s f_i \in I$, et $\init(c s f_i) = c s \init(f_i) = \init(h)$, -donc $h - c s f_i$, qui appartient à $I$, a un terme initial de monôme -strictement plus petit que $h$, donc par minimalité de ce dernier, $h -- c s f_i \in (f_1,\ldots,f_r)$. Mais alors $h \in (f_1,\ldots,f_r)$, -une contradiction. -\end{proof} - -Une évidence : tout idéal admet une base de Gröbner. En effet, parmi -les $\init(f)$ pour $f\in I$ qui engendrent $\init(I)$ on peut -extraire un ensemble fini engendrant $\init(I)$ --- il s'agit d'une -base de Gröbner de $I$. - -\begin{algo}[algorithme de division]\label{division-algorithm} -Soient $f,f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$ et $\preceq$ un ordre -admissible sur les monômes. Alors il existe une écriture -\[ -f = g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r + \rho -\tag{$*$} -\] -où $g_1,\ldots,g_r,\rho \in k[t_1,\ldots,t_d]$, où aucun des monômes -de $\rho$ n'est divisible par un des $\init(f_i)$, et où $\init(g_i -f_i) \preceq \init(f)$ pour chaque $i$ ; et on va donner un algorithme -pour calculer cette écriture ; un tel $\rho$ s'appelle un -\textbf{reste} de $f$ par rapport au $f_1,\ldots,f_r$ et pour l'ordre -monomial $\preceq$ (on dit aussi que l'écriture ($*$) s'appelle une -\textbf{écriture standard} de $f$ par rapport aux $f_1,\ldots,f_r$ et -pour cet ordre monomial). - -Lorsque les $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner (d'un -idéal $I = (f_1,\ldots,f_r)$), on a $f \in (f_1,\ldots,f_r)$ si et -seulement si $\rho = 0$, et $\rho$ est défini de façon unique par $f$. -\end{algo} - -\begin{proof}[Description de l'algorithme] -Si aucun terme de $f$ n'est divisible par aucun des $\init(f_i)$, -retourner $\rho = f$ (et tous les $g_i = 0$). Sinon, soit $c s -\init(f_i)$ (où $c\neq 0$ est une constante et $s$ un monôme) le -$\preceq$-plus grand terme de $f$ qui soit divisible par un -des $\init(f_i)$ : on applique récursivement l'algorithme à $f' = f - -c s f_i$ (qui vérifie $\init(f') \preceq \init(f)$), si $f' = g'_1 f_1 -+ \cdots + g'_r f_r + \rho'$ est le résultat, renvoyer $g_j = g'_j$ -sauf $g_i = g'_i + c s$, et $\rho = \rho'$. -\end{proof} - -\begin{proof} -L'algorithme termine car le $\preceq$-plus grand monôme de $f$ -divisible par un des $\init(f_i)$ décroît strictement à chaque -itération, or $\preceq$ est un bon ordre -(cf. \ref{properties-of-admissible-orders}). La propriété sur $\rho$ -est évidente. La propriété $\init(g_j f_j) \preceq \init(f)$ découle -par induction de $\init(g'_j f_j) \preceq \init(f') \preceq \init(f)$ -et $\init(c s f_i) = c s \init(f_i) = c\init(f)$. - -Si $\rho = 0$, le fait que $f \in (f_1,\ldots,f_r)$ est trivial. Si -$f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner et $f \in -(f_1,\ldots,f_r)$, comme on a aussi $\rho \in (f_1,\ldots,f_r)$, alors -$\init(\rho) \in (\init(f_1),\ldots,\init(f_r))$, ce qui vu le fait -qu'aucun monôme de $\rho$ n'est divisible par un des $\init(f_i)$, -n'est possible que si $\rho = 0$ (cf. \ref{divisibility-of-monomials}) ; de -même, si $\rho$ et $\rho'$ sont deux restes différents du même $f$, -disons $f = g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r + \rho$ et $f = g'_1 f_1 + -\cdots + g'_r f_r + \rho'$, alors $(g'_1-g_1) f_1 + \cdots + -(g'_r-g_r) f_r + (\rho'-\rho)$ est une écriture standard de $0$, donc -$\rho'=\rho$. -\end{proof} - -\textbf{Moralité :} Connaître une base de Gröbner d'un idéal $I$ -permet de répondre à la question de savoir si $f\in I$ pour un idéal -donné. Mieux, si $(f_1,\ldots,f_r)$ est cette base de Gröbner, -l'ensemble des classes des monômes qui ne sont divisibles par aucun -des $\init(f_i)$ constitue une base de $k[t_1,\ldots,t_d]/I$, ce qui, -avec l'algorithme de division, permet de calculer dans l'anneau en -question. - -Lorsque $f_1,\ldots,f_r$ ne forment pas une base de Gröbner, on peut -très bien avoir $\rho \neq 0$ et pourtant que $\rho$ -(c'est-à-dire, $f$) appartienne à l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$. Par -exemple, pour deux polynômes, $g_1 f_1 + g_2 f_2$ pourrait avoir un -coefficient initial beaucoup plus petit que ceux de $f_1,f_2$ à cause -d'une annulation entre ceux-ci (dans ce cas, l'algorithme de division -appliqué à $g_1 f_1 + g_2 f_2$ par rapport à $f_1,f_2$ donnerait $g_1 -f_1 + g_2 f_2$ lui-même comme reste, bien que ce polynôme appartienne -à $(f_1,f_2)$). L'algorithme de Buchberger pour calculer les bases de -Gröbner se fonde sur l'idée qu'il suffit d'éviter ce phénomène. - - -% -\subsection{L'algorithme de Buchberger} - -Soient $f_1,\ldots,f_r\in k[t_1,\ldots,t_d]$ : pour chaque -couple $(i,j)$ (où $i \neq j$), on définit le \textbf{polynôme de - syzygie} entre $f_i$ et $f_j$ : -\[ -\begin{array}{c} -f_{i,j} = c_{j,i} s_{j,i} f_i - c_{i,j} s_{i,j} f_j\\ -\hbox{où~} -c_{i,j} s_{i,j} = \init(f_i)/\pgcd(\init(f_i),\init(f_j)) -\end{array} -\] -Le pgcd (unitaire) de deux termes $c s$ et $c' s'$ étant défini comme -le plus grand monôme (pour n'importe quel ordre admissible, ou pour -l'ordre partiel de divisibilité) parmi les monômes qui divisent à la -fois $s$ et $s'$ (c'est-à-dire $t_1^{\min(\ell_1,\ell'_1)} \cdots -t_d^{\min(\ell_d,\ell'_d)}$ si $s = t_1^{\ell_1} \cdots t_d^{\ell_d}$ -et $s' = t_1^{\ell'_1} \cdots t_d^{\ell'_d}$). Remarquons que -$c_{i,j} s_{i,j} f_i$ et $c_{j,i} s_{j,i} f_j$ ont le même terme -initial, de sorte que celui de $f_{i,j}$ a un monôme strictement plus -petit. (Bien sûr, $f_{i,i} = 0$ pour tout $i$, donc on ne s'intéresse -qu'aux $f_{i,j}$ pour $i\neq j$.) - -On appelle \textbf{module des relations} entre $f_1,\ldots,f_r$ -l'ensemble (qui est un sous-module de $(k[t_1,\ldots,t_d])^r$, d'où le -terme) des $(g_1,\ldots,g_r)$ tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r = -0$, ces $(g_1,\ldots,g_r)$ étant appelés des \textbf{relations} entre -les $f_i$ (relation non-triviale si les $g_i$ ne sont pas tous nuls). - -Soit $\rho_{i,j}$ le reste (au sens de \ref{division-algorithm}) -de $f_{i,j}$ par rapport aux $f_1,\ldots,f_r$ (pour un ordre -monomial $\preceq$) : si les $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de -Gröbner alors $\rho_{i,j} = 0$ puisque $f_{i,j} \in (f_1,\ldots,f_r)$. -Ce qui est plus surprenant est que la réciproque est également vraie : - -\begin{thm}[critère de Buchberger] -Avec les notations ci-dessus, on a $\rho_{i,j} = 0$ pour tous $i,j$ si -et seulement $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de Gröbner (de l'idéal -qu'ils engendrent). - -(Spears-Schreyer) De plus, lorsque c'est le cas, les relations -$c_{j,i} s_{j,i} f_i - c_{i,j} s_{i,j} f_j - \sum_u g^{(i,j)}_u f_u$, -où $f_{i,j} = g^{(i,j)}_1 f_1 + \cdots + g^{(i,j)}_r f_r$ est une -écriture standard de $f_{i,j}$, engendrent\footnote{En fait, les - relations en question forment elles-même une base de Gröbner du - module des relations, si on prend la peine de définir la notion de - « base de Gröbner » d'un module et non seulement d'un idéal, pour un - ordre admissible sur les monômes de $k[t_1,\ldots,t_d]^r$ qui se - déduit facilement de $\preceq$.} le module des relations -entre $f_1,\ldots,f_r$. -\end{thm} - -\begin{algo}[algorithme de Buchberger] -Donné $f_1,\ldots,f_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$, on peut calculer -effectivement une base de Gröbner de l'idéal qu'ils engendrent. -\end{algo} -\begin{proof}[Description de l'algorithme] -Calculer les $\rho_{i,j}$ définis plus hauts : si les $\rho_{i,j}$ -sont tous nuls, terminer (les $f_1,\ldots,f_r$ forment une base de -Gröbner). Si un des $\rho_{i,j}$ est non nul, dès qu'on le trouve, -ajouter ce $\rho_{i,j}$ parmi les $f_1,\ldots,f_r$ (c'est-à-dire, -recommencer l'algorithme avec $f_1,\ldots,f_r,\rho_{i,j}$). -\end{proof} -\begin{proof} -L'algorithme termine car l'idéal engendré par -$\init(f_1),\ldots,\init(f_r)$ ne cesse de croître strictement : le -processus doit donc terminer, ce qui ne peut se produire que parce que -tous les $\rho_{i,j}$ sont tous nuls, et le critère précédent permet -de dire qu'on a bien une base de Gröbner. -\end{proof} - -\medbreak - -\textbf{Bases de Gröbner réduites.} - -\begin{defn} -Une base de Gröbner $f_1,\ldots,f_r$ est dite \textbf{réduite} -lorsque, pour $i\neq j$, le monôme du terme $\init(f_i)$ ne divise -aucun des monômes apparaissant dans $f_j$, et si, de plus, chacun des -termes $\init(f_i)$ est unitaire (=la constante devant le monôme -est $1$). -\end{defn} - -On peut facilement calculer une base de Gröbner réduite à partir d'une -base de Gröbner, en soustrayant, pour chaque $f_j$, chaque terme -divisible par un des $\init(f_i)$ (et en commençant par le plus grand -pour l'ordre monomial), le multiple de $f_i$ qui permet de l'annuler, -et en répétant cette opération aussi souvent que nécessaire (il est -clair que cela termine). Il faut, bien sûr, retirer tous les éléments -nuls, puis normaliser à $1$ la constante devant le monôme initial de -chaque $f_i$. - -\begin{prop} -Pour un idéal $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et un ordre -admissible $\preceq$, il existe une unique base de Gröbner réduite (on -l'appelle donc \emph{la} base de Gröbner réduite de $I$ pour cet -ordre). -\end{prop} - - -% -\subsection{Bases de Gröbner et élimination} - -\begin{prop} -Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et $s\leq d$ : si -$f_1,\ldots,f_r$ est une base de Gröbner de $I$ pour -l'ordre $\mathrel{\preceq_{\mathtt{lex}}}$ (où on est convenu que $t_1 -\preceq t_2 \preceq \cdots \preceq t_d$), alors ceux des $f_i$ qui -appartiennent à $k[t_1,\ldots,t_s]$ forment une base de Gröbner de $I -\cap k[t_1,\ldots,t_s]$. -\end{prop} - -(En fait, il suffit que l'ordre $\preceq$ utilisé vérifie la -propriété : si $\init_{\preceq}(f) \in k[t_1,\ldots,t_s]$ alors $f \in -k[t_1,\ldots,t_s]$. Une façon parfois plus efficace que l'ordre -lexicographique pur, \emph{si on connaît $s$ à l'avance}, consiste à -prendre l'ordre sur le degré total en les seules variables -$t_1,\ldots,t_s$ comme premier critère de comparaison, et en cas -d'égalité comparer avec $\mathrel{\preceq_{\mathtt{grevlex}}}$.) - -\begin{prop} -Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et $s \leq d$. Alors $Z(I -\cap k[t_1,\ldots,t_s])$ est l'adhérence de Zariski dans -$\mathbb{A}^s$ de la projection (c'est-à-dire l'image au sens -de \ref{image-of-a-morphism} par le morphisme $\mathbb{A}^d \to -\mathbb{A}^s$ qui projette sur les $s$ premières coordonnées -c'est-à-dire $(x_1,\ldots,x_d) \mapsto (x_1,\ldots,x_d)$) de $Z(I)$. -\end{prop} - - - -% -% -% - -\section{Les courbes} - -\subsection{Corps des fonctions et morphismes vers $\mathbb{P}^1$} - -\begin{defn} -On appelle \textbf{courbe (projective lisse)} sur un corps $k$ une -variété algébrique projective lisse géométriquement -irréductible\footnote{C'est-à-dire qu'elle est irréductible quand on - la voit sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$.} de -dimension $1$ sur $k$. Lorsque la variété n'est pas supposée lisse, -on parle de courbe « non nécessairement lisse ». -\end{defn} - -Les fermés de Zariski d'une courbe qui ne sont pas la courbe tout -entière sont de dimension zéro (cf. \ref{hauptidealsatz}) donc sont -(sur $k^{\alg}$) des réunions finies de points. - -Si $C$ est une courbe non nécessairement lisse, on note $k(C)$ le -corps des fonctions rationnelles sur $C$ -(cf. \ref{definition-rational-function-and-dimension}). Rappelons -qu'il s'agit des fonctions régulières sur un ouvert non-vide (=dense) -de $C$, définies sur $k$ (où on identifie deux fonctions quand elles -coïncident sur l'intersection des ouverts sur lesquels elles sont -données) ; on l'appelle simplement \textbf{corps des fonctions} -de $C$. On a $k(C) = \Frac(\mathcal{O}(U))$ pour n'importe quel -ouvert affine\footnote{\label{footnote-affine}En fait, on verra que - tout ouvert de $C$ différent de $C$ est automatiquement affine.} -non-vide (=dense) de $C$. On appelle évidemment \textbf{constantes} -les éléments de $k$ vus dans $k(C)$. - -On note aussi $k^{\alg}(C)$ le corps des fonctions rationnelles -sur $C_{k^{\alg}}$, c'est-à-dire après passage à la clôture algébrique -$k^{\alg}$ de $k$. On voit $k(C)$ à l'intérieur de $k^{\alg}(C)$ ; -pour $k$ parfait, le corps $k(C)$ est simplement le corps des éléments -de $k^{\alg}(C)$ fixés par le groupe de Galois absolu de $k$. - -Le degré de transcendance de $k(C)$ (ou $k^{\alg}(C)$) sur $k$ -(ou $k^{\alg}$, s'agissant de $k^{\alg}(C)$) est $1$ : c'est-à-dire -qu'il existe des éléments de $k(C)$ n'appartenant pas à $k^{\alg}$, et -que deux tels éléments sont toujours algébriques l'un par rapport à -l'autre. - -\textbf{Exemple :} $\mathbb{P}^1$ sur $k$ est une courbe sur $k$, son -corps des fonctions est $k(\mathbb{P}^1) = k(t)$ où $t$ est un -paramètre affine quelconque sur $\mathbb{P}^1$ ; et on a bien sûr -$k^{\alg}(\mathbb{P}^1) = k^{\alg}(t)$. - -\medbreak - -\begin{defn} -Soit $X$ une variété quasiprojective irréductible (non nécessairement -lisse), et $P$ un $k^{\alg}$-point de $X$, on note $\mathcal{O}_{X,P}$ -et on appelle \textbf{anneau local de $X$ en $P$} le sous-anneau de -$k(X)$ formé des fonctions rationnelles qui sont données sur un ouvert -contenant $P$. Ces fonctions sont dites \textbf{régulières en $P$}. -\end{defn} - -Grâce au recollement on peut affirmer que, si $U$ est la réunion de -tous les ouverts sur lesquels $f$ peut être donnée comme une fonction -régulière, on peut effectivement représenter $f$ comme une fonction -régulière sur tout $U$ : on appelle $U$ \textbf{l'ouvert de - régularité} de $f$ (ou parfois l'ouvert de définition). - -On peut décrire $\mathcal{O}_{X,P}$ autrement : si $U$ est un ouvert -affine contenant $P$, et $\mathfrak{m}_P$ l'idéal maximal de -$\mathcal{O}(U)$ des fonctions s'annulant en $P$, alors -$\mathcal{O}_{X,P}$ est le \emph{localisé} de $\mathcal{O}(U)$ en -l'idéal $\mathfrak{m}_P$ (c'est-à-dire inversant toutes les fonctions -qui ne sont pas dans $\mathfrak{m}_P$, cf. les remarques suivant -\ref{properties-localization}). Il s'agit bien d'un anneau local au sens -définit en \ref{subsection-reduced-and-integral-rings}. - -\medbreak - -Le fait suivant peut sembler clair, mais il joue un rôle -crucial\footnote{Pour voir qu'il n'est pas vrai de façon plus - générale, penser à la fonction rationnelle $x/y$ sur $\mathbb{P}^2$, - où $x,y$ sont deux des trois coordonnées homogènes : ni elle ni son - inverse ne sont régulières au point $x=y=0$.} pour expliquer -pourquoi la dimension $1$ est particulièrement simple : -\begin{prop} -Si $C$ est une courbe non nécessairement lisse, et $P$ un -$k^{\alg}$-point \emph{lisse} de $C$, alors pour tout $f \in k(C)$ non -nul on a $f \in \mathcal{O}_{C,P}$ ou bien $f^{-1} \in -\mathcal{O}_{C,P}$. - -Autrement dit : pour $f$ une fonction rationnelle sur une courbe $C$ -et $P$ un point lisse sur $C$, si $f$ n'est pas régulière en $P$ alors -$f^{-1}$ l'est. -\end{prop} - -Pour $C$ une courbe (lisse), on peut considérer une fonction -rationnelle $f \in k(C)$ comme une fonction régulière $U \to -\mathbb{A}^1$ sur son ouvert $U$ de régularité (l'ensemble des points -où $f$ est régulière). La proposition affirme donc que les ouverts de -régularité $U$ de $f$ et $U'$ de $f^{-1}$ recouvrent $C$. Les -morphismes $U \to \mathbb{P}^1$ et $U' \to \mathbb{P}^1$ définis par -$P \mapsto (1:f(P))$ et $P \mapsto (f^{-1}(P):1)$ se recollent et -définissent donc un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ qu'on veut -identifier à $f$. Réciproquement, tout morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ -qui n'est pas constamment égal à $\infty$ (=le point complémentaire -de $\mathbb{A}^1$) définit une fonction régulière sur l'ouvert $U = -f^{-1}(\mathbb{A}^1)$ de $C$. On a donc expliqué pourquoi : -\begin{prop}\label{rational-function-on-a-curve-is-regular} -Si $C$ est une courbe (lisse), les fonctions rationnelles sur $C$ -s'identifient (comme expliqué ci-dessus) aux morphismes $C \to -\mathbb{P}^1$ non constamment égaux à $\infty$. - -Plus généralement, tout morphisme d'un ouvert non-vide de $C$ vers une -variété \emph{projective} $Y$ s'étend à $C$ tout entier. -\end{prop} - -\bigbreak - -\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.}\label{remark-on-galois} Quand on considère les points -d'une variété sur un corps $k$ parfait non algébriquement clos, il est -parfois préférable de considérer les $k^{\alg}$-points séparément -(qu'on peut appeler \emph{points géométriques} pour insister), parfois -il est préférable de considérer ensemble tous les $k^{\alg}$-points -qui s'envoie les uns sur les autres par l'action du groupe de Galois -absolu $\Gal(k)$ de $k$, c'est-à-dire les « orbites galoisiennes » de -points géométriques, qu'on appelle aussi \emph{points fermés}. Par -exemple, pour droite affine $\mathbb{A}^1$ réelle, les -$\mathbb{C}$-points $i$ et $-i$ constituent collectivement un point -fermé, défini par l'équation $t^2+1$. L'intérêt des points fermés est -qu'ils correspondent aux idéaux maximaux (sur $k$) pour une variété -affine sur $k$ (exemple : l'idéal des polynômes réels s'annulant en -$i$ est le même que celui des polynômes réels s'annulant en $-i$, -c'est l'idéal engendré par $t^2+1$). On appelle \emph{degré} d'un -point fermé le nombre de points géométriques qui le constitue : c'est -aussi le degré (=la dimension comme $k$-espace vectoriel) du corps -résiduel $\kappa(P) = \mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine -et $\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$. -Certains résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de -degré $n$, d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant -une orbite galoisienne). - - - -% -\subsection{Valuation d'une fonction en un point} - -Soit $C$ une courbe (non nécessairement lisse) et $P$ un -$k^{\alg}$-point lisse sur $C$. On appelle $\mathfrak{m}_P$ l'idéal -dans $\mathcal{O}_{C,P}$ formé des fonctions s'annulant en $P$. - -\begin{prop}\label{properties-valuation} -Avec les notations ci-dessus, il existe une unique fonction $\ord_P -\colon k(C) \to \mathbb{Z} \cup \{+\infty\}$ vérifiant : -\begin{itemize} -\item si $\ord_P(f) = +\infty$ ssi $f=0$, et $\ord_P(c) = 0$ pour tout - $c \in k^\times$, -\item si $f,g \in k(C)$, on a $\ord_P(f+g) \geq - \min(\ord_P(f),\ord_P(g))$ (note : ceci implique qu'il y a égalité - si $\ord_P(f) \neq \ord_P(g)$), -\item si $f,g \in k(C)$, on a $\ord_P(fg) = \ord_P(f) + \ord_P(g)$, -\item on a $\ord_P(f) \geq 0$ ssi $f \in \mathcal{O}_{C,P}$ (i.e., - $f$ est régulière en $P$), et $\ord_P(f) > 0$ ssi $f \in - \mathfrak{m}_P$ (i.e., $f$ s'annule en $P$), -\item il existe des $f$ tels que $\ord_P(f) = 1$. -\end{itemize} -\end{prop} - -Cette fonction s'appelle la \textbf{valuation en $P$} ou -l'\textbf{ordre (du zéro) en $P$}. Lorsque $\ord_P(f) = v > 0$, on -dit que $f$ a un zéro d'ordre $v$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(f) = (-v) < -0$, on dit que $f$ a un pôle d'ordre $v$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(f) = -0$, on dit que $f$ est inversible en $P$ (cela signifie bien que $f$ -est inversible dans $\mathcal{O}_{C,P}$) ; lorsque $\ord_P(f) = 1$, on -dit que $f$ est une \textbf{uniformisante} en $P$ (il n'est pas -difficile de voir que cela signifie que $f$ engendre -l'idéal $\mathfrak{m}_P$). - -\textbf{Exemple :} Si on voit $k(t)$ comme $k(\mathbb{P}^1)$, alors -\begin{itemize} -\item pour $P \in \mathbb{A}^1(k) = k$, la valuation en $P$ est bien - l'ordre d'annulation en $P$ de la fraction rationnelle $f$ (en - particulier, si $f$ est un polynôme, $\ord_P(f)$ est la multiplicité - de $(t-P)$ dans la décomposition en facteurs irréductibles de $f$ ; - et si $P = 0$, c'est ce qu'on appelle souvent, sans autre précision, - la valuation d'un polynôme) ; -\item pour $P = \infty$, la valuation en $\infty$ d'un polynôme est - l'opposé de son degré, et la valuatin en $\infty$ d'une fraction - rationnelle $f$ est le degré de son dénominateur moins le degré de - son numérateur ; -\item pour $P \in \mathbb{A}^1(k^{alg}) = k^{\alg}$, la valuation en - $P$ d'un polynôme $f$ est la multiplicité de $\mu_P$ dans la - décomposition en facteurs irréductibles de celui-ci, où $\mu_P$ est - le polynôme minimal de $P$ (par exemple, sur les réels, - $\ord_i(t^2+1) = 1$), et pour une fraction rationnelle on peut bien - sûr le calculer comme l'ordre du numérateur moins celui du - dénominateur. -\end{itemize} - -Remarquons que $\ord_P(f)$ est le même que $f$ soit considéré comme -vivant dans $k(C)$ ou dans $k^{\alg}(C)$ (à cause de l'unicité -affirmée pour la fonction $\ord_P$). Par ailleurs, pour $f \in k(C)$, -on a $\ord_P(f) = \ord_{\sigma(P)}(f)$ pour tout $\sigma \in \Gal(k)$ -(le groupe de Galois absolu de $k$), autrement dit, $\ord_P(f)$ ne -dépend que de l'orbite de $P$ par $\Gal(k)$ (c'est-à-dire, du point -fermé défini par $P$). - -\begin{prop} -Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$. Alors toute fonction -$k(C) \to \mathbb{Z} \cup \{+\infty\}$ vérifiant les trois premières -et la dernière des propriétés énumérées pour $\ord_P$ -en \ref{properties-valuation} est de la forme $\ord_P$ pour un certain -$P \in C(k^{\alg})$. -\end{prop} - -Les $\ord_P$ sont distinctes lorsque les points $P$ ne sont pas -conjugués par Galois (cf. ci-dessus) : on va voir un résultat plus -précis affirmant qu'elles sont, en fait, aussi indépendantes que -possible (\ref{approximation-lemma} ci-dessous). - -\begin{prop}\label{basic-ord-facts} -Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ : -\begin{itemize} -\item Pour tout $f \in k(C)$, il n'y a qu'un nombre fini de $P \in - C(k^{\alg})$ tels que $\ord_P(f) \neq 0$. -\item Si $\ord_P(f) \geq 0$ pour tout $f$, alors $f \in k$ (la - fonction est constante). -\end{itemize} -\end{prop} -\begin{proof} -La première affirmation vient de ce que tout fermé de Zariski d'une -courbe est fini. La seconde découle de ce que toute fonction -régulière (ce qu'est un $f$ comme annoncé) sur une variété projective -connexe est constante -(cf. \ref{projective-to-affine-morphisms-are-constant}). -\end{proof} - -\begin{prop}[lemme d'approximation]\label{approximation-lemma} -Soit $C$ une courbe sur un corps $k$ et $U$ un ouvert -affine\footnote{Cf. note \ref{footnote-affine}.} de $C$. Soient -$Q_1,\ldots,Q_s$ des points dans $U$ dont aucun n'est image d'un autre -sous l'action de Galois (=dont les orbites sous $\Gal(k)$ sont deux à -deux disjointes, =dont les idéaux maximaux $\mathfrak{m}_{Q_i}$ sont -deux à deux distincts, =définissant des points fermés deux à deux -distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et $v_1,\ldots,v_s \in -\mathbb{Z}$. Alors il existe $f \in k(C)$ telle que -\[ -\begin{array}{cl} -\ord_{Q_i}(f-f_i) \geq v_i&\hbox{~pour tout $i$}\\ -\ord_{P}(f) \geq 0&\hbox{~pour tout $P \in U \setminus \{\sigma(Q_i)\}$}\\ -\end{array} -\] -\end{prop} - -\emph{Moralité :} On peut toujours trouver une fonction $f$ qui -approche les fonctions $f_i$ spécifiées à l'ordre $v_i$ spécifié aux -points $Q_i$ spécifiés, et qui soit régulière à tout point de $U$ sauf -évidemment ceux pour lesquels la condition imposée demande qu'ils ne -le soient pas. - -\emph{Remarque :} Ce résultat recouvre l'existence des polynômes -interpolateurs de Lagrange (pour $C = \mathbb{P}^1$ et $U = -\mathbb{A}^1$, les $f_i$ des polynômes ayant les développements de -Taylor souhaités aux ordres $v_i$, le résultat montre qu'il existe un -polynôme $f$ ayant les développements spécifiés aux ordres spécifiés). - -\begin{proof}[Idée de démonstration] -Pour $Q \in U$, si $\mathfrak{m}_{Q}$ désigne l'idéal des fonctions de -$\mathcal{O}(U)$ s'annulant en $Q$, i.e., telles que $\ord_Q(h) \geq -1$, le point clé est que $\mathfrak{m}_Q \neq \mathfrak{m}_{Q'}$ si -$Q$ et $Q'$ ne sont pas conjugués par Galois, donc il existe une -fonction $h \in \mathcal{O}(U)$ telle que $\ord_Q(h) \geq 1$ et -$\ord_{Q'}(h) = 0$, et, quitte à diviser par une constante, autant -supposer $h(Q') = 1$, et une autre $h'$ telle que $h'(Q) = 1$ et -$\ord_{Q'}(h') \geq 1$. Quitte à multiplier de telles fonctions entre -elles et à les elever à des puissances assez grandes, on peut obtenir -des $h_i$ telles que $h_i(Q_i) = 1$ et $\ord_{Q_j}(h_i) \geq -\min(1,v_i)$ si $j\neq i$. Lorsque les $f_i$ sont dans -$\mathcal{O}(U)$, poser $f = \sum_i f_i h_i$ convient. Sinon, on met -les $f_i$ sur un même dénominateur et en cherchant $h$ comme une -fraction sur le dénominateur en question on se ramène à un problème -d'approximation sur le numérateur. -\end{proof} - -\begin{prop}\label{dimension-of-space-of-jets} -Soit $P$ un $k^{\alg}$-point lisse d'une courbe $C$ non nécessairement -lisse sur un corps $k$, et pour $v\geq 0$ soit $\mathfrak{m}^v_P = \{f -\in k(C) : \ord_P(f) \geq v\}$ (idéal de $\mathcal{O}_{C,P}$). Alors -$\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ est un espace vectoriel de -dimension $v$ sur le corps $\kappa(P) := \mathcal{O}_{C,P} / -\mathfrak{m}_P$, donc $dv$ sur $k$, où $d$ est le degré de $P$, -c'est-à-dire (pour $k$ parfait) le nombre de conjugués de $P$ sous -l'action de Galois. -\end{prop} -\begin{proof} -Il existe une uniformisante $t$ de $C$ en $P$ : il n'est pas difficile -de voir que $1,t,t^2,\ldots,t^{v-1}$ forment une base de -$\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ sur $\kappa(P)$ -(cf. \ref{remark-on-galois} pour la dimension de $\kappa(P)$ sur $k$). -\end{proof} - - - -% -\subsection{Morphismes entre courbes} - -\begin{prop}\label{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective} -Tout morphisme entre courbes non nécessairement lisses est soit -constant ou surjectif. -\end{prop} -\begin{proof} -Soit $h \colon C' \to C$ un tel morphisme. Puisque $C'$ est -projective, l'image de $h$ est un fermé dans $C$ -(cf. \ref{image-of-a-morphism-chevalley}). Si c'est $C$, le morphisme -est surjectif. Sinon, c'est un ensemble fini, et comme $C'$ est -connexe, il est réduit à un point, donc $h$ est constant. -\end{proof} - -Si $h\colon C' \to C$ est un morphisme non constant de courbes -sur $k$, à tout $f \in k(C)$, vu comme un morphisme $C \to -\mathbb{P}^1$ (non constamment égal à $\infty$), on peut associer -$h^*(f) := h\circ f \colon C' \to \mathbb{P}^1$ vu comme un élément de -$k(C')$ (car il est n'est pas constant égal à $\infty$). (Si on -préfère, pour $U$ ouvert affine de $C$, le morphisme d'algèbres $h^* -\colon \mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(h^{-1}(U))$ donne un $h^* \colon -k(C) \to k(C')$ entre les corps des fractions ; ceci fonctionne même -si $C,C'$ ne sont pas supposées lisses.) Il s'agit d'un morphisme de -$k$-algèbres qui sont des corps, donc automatiquement injectif : -c'est-à-dire que $h^*$ plonge $k(C)$ comme un sous-corps de $k(C')$ -(en commutant à l'action du groupe de Galois, et en particulier en -préservant $k$). Avec ce plongement, $k(C')$ est une extension -\emph{algébrique} de $k(C)$ (car tous deux ont le même degré de -transcendance, $1$, sur $k$), et $k(C')$ est engendré en tant que -corps, sur $k$ donc sur $k(C)$, par un nombre fini d'éléments : ceci -montre que $k(C')$ est une \emph{extension finie} de $k(C)$ -(c'est-à-dire, de dimension finie comme $k(C)$-espace vectoriel), et -son degré (=sa dimension comme $k(C)$-espace vectoriel) s'appelle le -\textbf{degré} de $h$, noté $\deg h$. Lorsque $h$ est un morphisme -constant, on pose $\deg h = 0$. - -\textbf{Exemple :} Si $h \in k[t]$, on peut voir $h$ comme un -morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ (par $(t_0:t_1) \mapsto -(t_0^{\deg h} : t_0^{\deg h}\,h(t_1/t_0))$, -cf. \ref{subsection-affine-vs-projective} ; ou, de façon équivalente, -en considérant $h$ comme un élément de $k(t) = k(\mathbb{P}^1)$ qui -définit donc un morphisme $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$). -L'inclusion $h^*$ est celle qui considère $k(u)$ pour $u = h(t)$ comme -un sous-corps de $k(t)$. Manifestement, le polynôme minimal de $t$ -sur $k(u)$ est justement $h(x)-u$ (écrit en l'indéterminée $x$), qui -est de degré $\deg h$, donc le degré de $h$ en tant que polynôme ou en -tant que morphisme est le même ! - -\textbf{Fonctorialité :} Si $C'' \buildrel h'\over\to C' \buildrel -h\over\to C$ sont deux morphismes entre courbes, on a $(h'\circ h)^* = -h^* \circ h^{\prime*}$, c'est-à-dire que $k(C)$ se voit à l'intérieur -de $k(C')$ quand celui-ci se voit à l'intérieur de $k(C'')$. Grâce à -la composition des degrés dans les extensions de corps, on a $\deg -(h'\circ h) = \deg(h') \cdot \deg(h)$. - -\begin{prop}\label{function-map-on-curves-is-fully-faithful} -Si $C, C'$ sont deux courbes sur $k$, où $C$ peut ne pas être lisse -(mais $C'$ est tenue de l'être), et si $\iota\colon k(C) \to k(C')$ -est une inclusion fixant $k$ du corps $k(C)$ dans $k(C')$, alors il -existe un unique morphisme $h\colon C' \to C$ de courbes sur $k$ tel -que $\iota = h^*$. -\end{prop} -\begin{proof}[Esquisse de démonstration] -Si $C \subseteq \mathbb{P}^d$, on peut considérer les rapports -$t_1/t_0, \ldots, t_d/t_0$ de coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^d$ -comme des éléments de $k(C)$. Leurs images par $\iota$ dans $k(C')$ -définissent un morphisme d'un ouvert non vide de $C'$ -vers $\mathbb{P}^d$, donc de tout $C'$ vers $\mathbb{P}^d$ -(cf. \ref{rational-function-on-a-curve-is-regular}), et comme ces -fonctions vérifient les équations de $C$ dans $\mathbb{P}^d$, on a un -morphisme $C' \buildrel h\over\to C$, qui vérifie $h^* = \iota$. De -plus, une fois $C$ plongé dans $\mathbb{P}^d$ comme on l'a fait, -c'était le seul morphisme possible, donc on a bien l'unicité. -\end{proof} - -\begin{cor}\label{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism} -Si $C, C'$ sont deux courbes (lisses) sur $k$ et $h\colon C'\to C$ un -morphisme de degré $1$, alors $h$ est un isomorphisme. -\end{cor} -\begin{proof} -Dire que $h$ est un morphisme de degré $1$ signifie que $h^*$ est un -isomorphisme de $k(C)$ avec $k(C')$. Son isomorphisme réciproque peut -lui-même s'écrire sous la forme $g^*$ d'après la proposition qui -précède, et les relations de fonctorialité $(h\circ g)^* = g^* \circ -h^*$ et $(g \circ h)^* = h^* \circ g^*$ ainsi que l'unicité du -morphisme dans la proposition montrent que $h \circ g = \id_{C'}$ et -$g \circ h = \id_C$. -\end{proof} - -\medbreak - -Revenons brièvement sur le corps des fonctions d'une courbe. - -On sait que $k(C)$ est engendré (en tant que corps)\footnote{Ceci - signifie qu'il existe $x_1,\ldots,x_r \in k(C)$ tels que tout - sous-corps de $k(C)$ contenant $k$ et $x_1,\ldots,x_r$ soit $k(C)$ - tout entier.} par un nombre fini d'éléments au-dessus de $k$ (en -effet, si $U$ est un ouvert affine non-vide de $C$, alors -$\mathcal{O}(U)$ est une $k$-algèbre de type fini, et si -$x_1,\ldots,x_r$ en sont des générateurs, ils engendrent aussi $k(C) = -\Frac(\mathcal{O}(U))$ en tant que corps sur $k$). D'autre part, -remarquons que $k^{\alg} \cap k(C) = k$ (ce qui est clair si on a -décrit $k(C)$ comme les éléments de $k^{\alg}(C)$ fixes par Galois), -c'est-à-dire que tout élément de $k(C)$ algébrique sur $k$ est en fait -dans $k(C)$. Ces remarques sont pertinentes car : -\begin{prop} -Soit $K$ un corps contenant $k$, de degré de transcendance $1$ dessus, -engendré en tant que corps par un nombre fini d'éléments au-dessus -de $k$ (ou, de façon équivalente, $K$ est de degré \emph{fini} -sur $k(t)$ où $t \in K$ est transcendant sur $k$), et tel que $k$ soit -algébriquement fermé dans $K$. Alors $K$ est le corps des fonctions -$k(C)$ d'une certaine courbe (lisse) $C$ sur $k$. -\end{prop} - -Le corollaire suivant permet d'oublier les courbes non lisses : -\begin{cor} -Soit $C$ une courbe non nécessairement lisse. Alors il existe un -morphisme $\tilde C \to C$ depuis une courbe lisse $\tilde C$ -vers $C$, unique à isomorphisme unique près de $\tilde C$ -au-dessus\footnote{Ceci signifie que si $\tilde C \buildrel\nu\over\to - C$ et $\tilde C' \buildrel\nu'\over\to C$ sont deux morphismes comme - expliqué, alors il existe un unique isomorphisme $\tilde C' - \buildrel h\over\to \tilde C$ tel que $\nu' = h\circ \nu$.} de $C$, -qui soit de degré $1$, c'est-à-dire que $\nu^*$ identifie $k(C)$ -à $k(\tilde C)$. La courbe $\tilde C$ s'appelle la -\textbf{normalisation} de $C$. -\end{cor} -\begin{proof} -La proposition garantit qu'il existe une courbe lisse $\tilde C$ de -corps des fonctions $k(C)$. Le morphisme identité $k(C) \to k(\tilde -C)$ donne alors d'après \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful} -le morphisme $\nu \colon \tilde C \to C$ désiré. L'unicité est -analogue à \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}. -\end{proof} - -\begin{cor} -Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$. Si $K$ est un -sous-corps de $k(C)$ contenant $k$ et tel que $k(C)$ soit fini sur $K$ -(c'est-à-dire, de dimension finie comme $K$-espace vectoriel), alors -il existe une courbe $C_0$ et un morphisme $h\colon C \to C_0$, unique -à isomorphisme près de $C_0$ au-dessous de $C$, tel que $h^*$ plonge -$k(C_0)$ comme le sous-corps $K$ de $k(C)$. -\end{cor} -\begin{proof} -Le corps $K$ est de degré de transcendance $1$ sur $k$ car $k(C)$ est -algébrique sur $K$ ; et $k$ est algébriquement fermé dans $K$. Le -point non-évident est que $K$ est engendré par un nombre fini -d'éléments sur $k$ : mais $K$ contient un élément $t$ transcendant -sur $k$, et $k(C)$, donc $K$, est de degré fini sur $k(t)$. Ainsi $K$ -peut bien s'écrire comme $k(C_0)$ pour une certaine courbe $C_0$, et -l'inclusion $K = k(C_0) \to k(C)$ fournit un morphisme $C \to C_0$ -d'après \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful}. De nouveau, -l'unicité découle aussi -de \ref{function-map-on-curves-is-fully-faithful} de manière analogue -à \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}. -\end{proof} - - - -% -\subsection{Ramification d'un morphisme} - -\begin{prop} -Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes -sur $k$, pour tout point $P$ de $C'$ (sur $k^{\alg}$), il existe un -(unique) entier $e_P \geq 1$ tel que $\ord_P h^*(f) = e_P \ord_{h(P)} -f$ pour tout $f \in k(C)$. On appelle $e_P$ l'\textbf{indice de - ramification} de $h$ en $P$. -\end{prop} - -\begin{rmk}\label{ramification-of-functions-as-morphisms} -Si $h \in k(C)$ n'est pas constant, on peut considérer $h$ comme un -morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ correspondant à l'inclusion $k(t) \cong -k(h) \subseteq k(C)$. En voyant $h$ comme $h^*(t)$, on voit que $e_P -= \ord_P h$ pour tout $P$ tel que $h(P)=0$. Si $P$ est tel que $h(P) -= \infty$ alors $e_P = -\ord_P h$. Enfin, si $h(P)$ n'est ni $0$ ni -$\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. -\end{rmk} - -\begin{prop} -Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes -sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de -ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ -(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un -isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement - que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à - l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de -$k^{\alg}$-espaces vectoriels de dimension $1$, -cf. \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} \textit{in - fine}). -\end{prop} - -\begin{prop}\label{sum-of-ramification-degrees} -Soit $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes -sur $k$. Pour tout point $Q$ de $C$, on a -\[ -\sum_{h(P)=Q} e_P = \deg h -\] -où la somme est prise sur tous les points $P$ de $C'$ (sur $k^{\alg}$) -tels que $h(P) = Q$. -\end{prop} -\begin{proof}[Idée-clé de démonstration] -Soit $U$ un ouvert affine de $C$ contenant $Q$, et $U' = h^{-1}(U)$ -son image réciproque dans $C'$ (qui est également affine) ; on -considère la $k$-algèbre $\mathcal{O}(U')/h^*\mathfrak{m}_Q -\mathcal{O}(U')$ des fonctions sur $U'$ modulo l'idéal -$h^*\mathfrak{m}_Q$ engendré par les $h\circ f$ avec $f \in -\mathcal{O}(U)$ : on peut montrer que cette $k$-algèbre -$\mathcal{O}(U')/h^*\mathfrak{m}_Q \mathcal{O}(U')$ est un $k$-espace -vectoriel de dimension $\deg h$. Mais le lemme -d'approximation \ref{approximation-lemma} permet de montrer que cette -algèbre est le produit d'algèbres $\mathcal{O}(U)/\mathfrak{m}_P -\mathcal{O}(U)$ où $\mathfrak{m}_P$ parcourt les idéaux maximaux tels -que $h(P)=Q$ (un seul par orbite sous Galois), et la dimension de ce -produit est $\sum_{h(P)=Q} e_P$ -d'après \ref{dimension-of-space-of-jets}. -\end{proof} - -\begin{cor}\label{principal-divisors-have-degree-zero} -Soit $C$ une courbe sur un corps $k$, et soit $f \in k(C)$ non -constant. Alors -\[ -\sum_P \ord_P(f) = 0 -\] -où la somme est prise sur tous les points $P$ de $C$. Plus -précisément, -\[ -\begin{array}{c} -\sum_{P\;:\;\ord_P(f)>0} \ord_P(f) = \deg f\\ -\sum_{P\;:\;\ord_P(f)<0} \ord_P(f) = -\deg f\\ -\end{array} -\] -\end{cor} -\begin{proof} -On a vu en \ref{ramification-of-functions-as-morphisms} que si $f$ est -vu comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$, alors son indice de -ramification en un point $P$ de $C$ tel que $f(P) = 0$ est $e_P = -\ord_P(f)$, et en un point $P$ tel que $f(P) = \infty$ est $e_P = --\ord_P(f)$. La proposition précédente permet de conclure. -\end{proof} - - - -% -\subsection{Diviseurs sur une courbe} - -\begin{defn} -Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps parfait $k$. On appelle -\textbf{diviseur} sur $C$ une combinaison linéaire formelle (finie) -$\sum n_P (P)$, à coefficients dans $\mathbb{Z}$, de $k^{\alg}$-points -de $C$, qui soit stable par l'action du groupe de Galois -absolu $\Gal(k)$ (ou, si on préfère, une combinaison linéaire formelle -de « points fermés » de $C$, chacun étant vu comme la somme d'une -orbite galoisienne). - -On appelle \textbf{degré} du diviseur $\sum n_P (P)$ l'entier $\sum -n_P$. -\end{defn} - -Si $f \in k(C)$ n'est pas constant, on peut notamment considérer les diviseurs -\[ -\begin{array}{c} -f^*((0)) := \sum_{P\;:\;\ord_P(f) > 0} \ord_P(f)\, (P)\\ -f^*((\infty)) := \sum_{P\;:\;\ord_P(f) < 0} -\ord_P(f)\, (P)\\ -f^*((0)-(\infty)) = \divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)\\ -\end{array} -\] -appelés respectivement \textbf{diviseur des zéros}, \textbf{diviseur - des pôles} et \textbf{diviseur principal} définis par $f$ -(différence des deux premiers). Le contenu du -corollaire \ref{principal-divisors-have-degree-zero} est que ces -diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. - -Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non -constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, -on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle -\textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ -par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini -ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ -sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. -Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est -encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On -peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en - avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme -$h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa -moins évident, que l'image directe d'un diviseur principal est un -diviseur principal. - -\begin{prop} -Si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, -pour tout diviseur $D$ sur $C$ on a -\[ -\begin{array}{c} -h_* h^* D = (\deg h)\, D\\ -\end{array} -\] -\end{prop} -\begin{proof} -C'est une conséquence immédiate de \ref{sum-of-ramification-degrees} -(et du fait qu'un morphisme non-constants entre courbes est -surjectif !, -cf. \ref{non-constant-morphisms-of-curves-are-surjective}). -\end{proof} - -\begin{defn} -On appelle \textbf{principal} un diviseur (de degré zéro) de la forme -$\divis(f) := \sum_{P\in C} \ord_P(f)\, (P)$ pour une certaine -fonction $f \in k(C)$ non constante. Les diviseurs principaux forment -un sous-groupe du groupe des diviseurs (car $\divis(fg) = -\divis(f)+\divis(g)$, cf. \ref{properties-valuation}) : on dit que -deux divieurs sont \textbf{linéairement équivalents} (notation : $D -\sim D'$) lorsque leur différence est un diviseur principal. Le -groupe des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les -diviseurs principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle -\textbf{groupe de Picard} (resp. groupe de Picard de degré zéro) de la -courbe $C$, noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). -\end{defn} - -\textbf{Exemple :} Sur $\mathbb{P}^1$, pour tout diviseur $\sum n_P -(P)$ de degré zéro, on peut trouver une fraction rationnelle $\prod -(t-P)^{n_P}$ qui a les ordres $n_P$ à ceux des points $P$ qui sont -dans $\mathbb{A}^1$, et le degré à l'infini sera automatiquement le -bon puisque $\sum n_P = 0$. Ceci montre que \emph{tout diviseur de - degré zéro sur $\mathbb{P}^1$ est principal}, donc que -$\Pic^0(\mathbb{P}^1) = 0$, et $\Pic(\mathbb{P}^1) = \mathbb{Z}$. - -On a un morphisme de degré $\deg\colon \Pic(C) \to \mathbb{Z}$, dont -le noyau est $\Pic^0(C)$. Si la courbe $C$ vérifie $C(k) \neq -\varnothing$, c'est-à-dire qu'il existe $P$ un $k$-point sur $C$, -alors tout diviseur peut s'écrire comme somme de $n (P)$ et d'un -diviseur de degré zéro, et il est facile de voir que $\Pic(C) = -\Pic^0(C) \oplus \mathbb{Z}$ (où $\mathbb{Z}$ désigne -$\mathbb{Z}\cdot(P)$, le groupe des diviseurs de la forme $n (P)$). - -\emph{Attention :} Pour une fois, le slogan « rationnel = fixe par - Galois » n'est pas vérifié : quand $C$ est une courbe sur un corps -$k$ parfait non algébriquement clos, il faut bien distinguer le groupe -de Picard rationnel $\Pic C$ de $C$, c'est-à-dire les diviseurs -stables par Galois modulos ceux de la forme $\divis(f)$ avec $f \in -k(C)$, et le groupe de Picard fixé par Galois noté $(\Pic -C_{k^{\alg}})^{\Gal(k)}$, c'est-à-dire les classes des diviseurs $D$ -tels que $\sigma(D)$ soit linéairement équivalent à $D$ -(sur $k^{\alg}$) pour tout $\sigma \in \Gal(k)$. Néanmoins, certains -auteurs appellent (à tort) $\Pic C$ ce deuxième groupe (d'autres -encore appellent $\Pic C$ tout le groupe de Picard géométrique $\Pic -C_{k^{\alg}}$) : il faut donc faire attention à qui utilise quoi. - - - -% -\subsection{Différentielles} - -\begin{prop} -Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$. Il existe un -$k(C)$-espace vectoriel de dimension $1$, noté\footnote{Notation - abusive, en fait. Une bonne notation serait $\Omega^1_{C/k} - \otimes_{\mathcal{O}_C} k(C)$, mais c'est un peu encombrant.} -$\Omega^1_C$ et appelé \textbf{espace des (formes) différentielles - méromorphes} sur $C$, et une application $k$-linéaire $d\colon k(C) -\to \Omega^1_C$, vérifiant les conditions suivantes : -\begin{itemize} -\item on a $dc = 0$ pour $c \in k$, -\item on a $d(fg) = f\,dg + g\,df$ pour $f,g\in k(C)$, -\item si $t \in k(C)$ vérifie $\ord_P(t) = 1$ en au moins un - point alors $dt \neq 0$, -\end{itemize} -et ces conditions caractérisent à isomorphisme près $\Omega^1_C$ muni -de l'application $d\colon k(C) \to \Omega^1_C$. -\end{prop} - -La moralité est que $\frac{df}{dt}$ a un sens, comme élément de -$k(C)$, dès que $f$ et $t$ sont deux éléments de $k(C)$ et que $t$ est -une uniformisante en au moins un point ou simplement\footnote{Si $k$ - est de caractéristique zéro, cette condition est réalisée dès que - $t$ n'est pas constant.} que $dt \neq 0$. - -\textbf{Remarque :} On peut relier $\frac{df}{dt} \in k(C)$ à ce qui a -été fait en \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} de la -façon suivante : si $Q$ est un point de $C$ tel que $t$ et $f$ soient -régulières en $Q$, on peut voir $t$ et $f$ comme deux morphismes $U -\to \mathbb{A}^1$ pour un certain voisinage (affine, disons) $U$ -de $Q$, on a des applications linéaires $dt_Q\colon T_Q C \to -k^{\alg}$ et $df_Q\colon T_Q C \to k^{\alg}$, et la valeur de -$\frac{df}{dt}$ en $Q$ est le rapport entre ces deux applications -linéaires (ceci a bien un sens car ce sont des applications entre -espaces de dimension $1$). - -\begin{prop}\label{order-of-derivative} -Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$, $P$ un point de $C$ et -$t$ une uniformisante en $P$ (i.e., $\ord_P(t) = 1$). Pour $f \in -k(C)$, on a -\begin{itemize} -\item $\ord_P(df/dt) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$, et -\item $\ord_P(df/dt) \geq 0$ si $\ord_P(f) = 0$. -\end{itemize} -\end{prop} - -(Ces propriétés découlent des propriétés correspondantes des -polynômes.) - -\begin{defn} -Si $C$ est une courbe (lisse) sur un corps $k$, $P$ un point de $C$ -(sur $k^{\alg}$) et $\omega \in \Omega^1_C$, on définit -\[ -\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt) -\] -où $t \in k(C)$ est tel que $\ord_P(t) = 1$ (=est une uniformisante -en $P$). Cette définition ne dépend pas du choix de $t$. - -Si $\omega \neq 0$, le diviseur $\divis(\omega) := \sum_P -\ord_P(\omega) (P)$ s'appelle \textbf{diviseur canonique} de la forme -différentielle $\omega$. -\end{defn} - -La définition de $\ord_P(\omega)$ ne dépend pas du choix de $t$, car -si $t' = u t$ où $\ord_P(u) = 0$, alors $dt'/dt = u + t\,(du/dt)$, et -$\ord_P(du/dt) \geq 0$ d'après \ref{order-of-derivative} donc -$\ord_P(t\,(du/dt)) \geq 1$, ce qui assure $\ord_P(dt'/dt) = 0$, et -donc $\ord_P(\omega/dt') = \ord_P(\omega/dt)$. - -La définition qu'on vient de faire permet de reformuler la -proposition \ref{order-of-derivative} en : - -\begin{prop}\label{order-of-differential} -Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$, et $P$ un point de $C$. -Pour $f \in k(C)$, on a -\begin{itemize} -\item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$, et -\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) = 0$. -\end{itemize} -\end{prop} - -\textbf{Exemple :} Soit $t$ la coordonnée affine sur $\mathbb{A}^1$, -vue comme élément de $k(\mathbb{P}^1) = k(t)$. Alors $dt$ a pour -ordre $0$ en tout $P \neq \infty$ (en $P=0$ c'est clair d'après la -proposition qui précède, et en tout autre $P \in \mathbb{A}^1$ on peut -remarquer que $dt = d(t-P)$ d'après les règles de calcul, donc de même -$dt$ est d'ordre $0$) ; en $\infty$, en revanche, son ordre est $-2$ -puisque l'ordre de $t$ est $-1$. On a donc $\divis(dt) = -2(\infty)$. - -\medbreak - -La classe de $\divis(\omega)$ dans $\Pic(C)$ ne dépend pas du choix -de $\omega \neq 0$, puisque visiblement $\divis(f\omega) = \divis(f) + -\divis(\omega)$. Cette classe s'appelle la \textbf{classe canonique} -dans $\Pic(C)$ (très souvent notée $K$). On vient par exemple de voir -que la classe canonique de $\mathbb{P}^1$ est de degré $-2$. - -\textbf{Exemple :} Soit $C$ la courbe d'équation $y^2 = h(x)$ où $h(t) -\in k[t]$ est de degré $3$ (c'est-à-dire, $C$ la complétée projective -de cette courbe affine, complétée d'équation $Z Y^2 = Z^3 h(X/Z)$ si -$X,Y,Z$ sont les coordonnées homogènes avec $y = Y/Z$ et $x = X/Z$). -Soit $h(t) = (t-\lambda_1) (t-\lambda_2) (t-\lambda_3)$ la -factorisation de $h$ sur $k^{\alg}$. Outre les points affines, la -courbe $C$ a un unique point à l'infini noté $O$ (en coordonnées -homogènes, $X=Z=0$). Le diviseur de la fonction $y$ sur $C$ est -$(P_1) + (P_2) + (P_3) - 3(O)$ où $P_i$ est le point de coordonnées -affines $(\lambda_i,0)$ (ce sont les trois points où $y$ s'annule, -alors que $O$ est le point où $y$ a un pôle triple). Le diviseur de -$x-\lambda_i$ est $2(P_i) - 2(O)$, d'où il résulte que $dx$ a un -ordre $1$ en chaque $P_i$ et $-3$ en $O$, et $0$ partout ailleurs. -Autrement dit, le diviseur de $dx$ est le même que celui de $y$, ou, -si on veut, la différentielle $\omega := dx/y$ a un ordre $0$ partout. -Ceci signifie que la classe canonique $K$ sur $C$ est \emph{nulle}. - - - -% -\subsection{Le théorème de Riemann-Roch} - -\begin{defn} -Un diviseur $D$ sur une courbe $C$ est dit \textbf{effectif}, noté $D -\geq 0$, lorsque $D$ est combinaison de points à coefficients -positifs : $D = \sum n_P (P)$ avec $n_P \geq 0$ pour tout $P$. - -Si $D = \sum n_P (P)$ est un diviseur (non nécessairement effectif) -sur une courbe $C$, on note $\mathscr{L}(D)$ ou parfois -$\mathcal{O}(D)$ le $k$-espace vectoriel $\{f \in k(C) : \divis(f)+D -\geq 0\}$ des fonctions rationnelles sur $C$ vérifiant $\ord_P(f) \geq --n_P$ pour tout point $P$ de $C$. (S'il faut lui donner un nom, c'est -« l'(ensemble des sections globales du) faisceau associé à $D$ ».) -\end{defn} - -\begin{rmk} -Si $D$ et $D'$ sont linéairement équivalents, alors $\mathscr{L}(D) -\cong \mathscr{L}(D')$ comme $k$-espaces vectoriels. En effet, si $D -= D' + \divis(g)$ et $f \in \mathscr{L}(D)$ alors $\divis(fg) + D' = -\divis(f) + D \geq 0$ donc $fg \in \mathscr{L}(D')$ et réciproquement. -On peut donc considérer que $\mathscr{L}(D)$ ne dépend que de la -classe de $D$ dans $\Pic(C)$. - -D'autre part, l'ensemble $\{\omega \in \Omega^1_C : \divis(\omega) -\geq 0\}$ (des différentielles « holomorphes ») peut être identifié à -$\mathscr{L}(K)$ pour les mêmes raisons. (Et plus généralement, -$\mathscr{L}(K-D)$ peut être identifié à $\{\omega \in \Omega^1_C : -\divis(\omega)-D \geq 0\}$.) -\end{rmk} - -\begin{prop} -Le $k$-espace vectoriel $\mathscr{L}(D)$ est de dimension finie. -\end{prop} - -On note $l(D)$ cette dimension. Notons par exemple que $l(0) = 1$ (le -diviseur nul, à ne pas confondre avec le diviseur $(0)$ -sur $\mathbb{P}^1$ !), puisque $\mathscr{L}(0) = \mathcal{O}(C) = k$ -(les seules fonctions régulières partout sont les constantes, -d'après \ref{basic-ord-facts}). - -\begin{prop}\label{negative-degree-divisors-have-no-sections} -\begin{itemize} -\item Si $\deg D < 0$ alors $l(D) = 0$. -\item Si $\deg D = 0$ et $l(D) \neq 0$ alors $l(D) = 1$ et $D \sim 0$. -\end{itemize} -\end{prop} -\begin{proof} -Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := -\divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le -degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le -degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) -est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim -0$, qui entraîne $l(D) = 1$. -\end{proof} - -\begin{thm}[Riemann-Roch] -Il existe un entier $g \geq 0$, appelé \textbf{genre} de $C$ tel que -pour tout diviseur $D$ on ait, en notant $K$ un diviseur canonique : -\[ -l(D) - l(K-D) = \deg D + 1 - g -\] -\end{thm} - -\begin{cor}\label{degree-of-canonical-divisor} -\begin{itemize} -\item Pour $K$ un diviseur canonique sur une courbe $C$, on a : -\[ -\begin{array}{c} -l(K) = g\\ -\deg(K) = 2g-2\\ -\end{array} -\] -\item Si $D$ est un diviseur avec $\deg D > 2g-2$, alors $l(D) = \deg - D + 1 - g$. -\end{itemize} -\end{cor} -\begin{proof} -Pour la première affirmation, appliquer Riemann-Roch à $D=0$ donne -$1-l(K) = 0+1-g$, d'où $l(K) = g$ ; puis à $D=K$ donne $g-1 = \deg K + -1 - g$ d'où $\deg K = 2g-2$. Pour la seconde affirmation, on utilise -\ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} pour conclure que -$l(K-D) = 0$. -\end{proof} - -\textbf{Remarque :} Si $C$ est une courbe sur un corps $k$, alors le -genre de $C$ est égal au genre de $C_{k^{\alg}}$. En effet, un -diviseur canonique $K$ sur $C$ est encore un diviseur canonique quand -on le voit sur $C_{k^{\alg}}$, et son degré, censé valoir $2g-2$ est -le même qu'on le voie d'une façon ou d'une autre. On dit que le genre -est un \emph{invariant géométrique}. - -S'agissant de $\mathbb{P}^1$, on a vu que $\deg(K) = -2$ donc $g=0$. -La réciproque est vraie : -\begin{cor} -Soit $C$ une courbe (lisse !) de genre $0$ sur un corps algébriquement -clos : alors $C$ est isomorphe à $\mathbb{P}^1$. -\end{cor} -\begin{proof} -Soient $P,Q$ deux points distincts de $C$ : on applique Riemann-Roch -au diviseur $D := (P)-(Q)$. Comme $\deg D = 0 > -2 = 2g-2$, le -corollaire précédent montre que $l(D) = 1$. -Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D -\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) = -(P) - (Q)$. En considérant $f$ comme un morphisme $C \to -\mathbb{P}^1$, on voit que $\deg f = 1$ -(cf. \ref{principal-divisors-have-degree-zero}), donc $f$ est un -isomorphisme (cf. \ref{degree-one-map-of-curves-is-isomorphism}). -\end{proof} - -\emph{Remarque :} Cette démonstration utilise le fait que $k$ est -algébriquement clos pour pouvoir fabriquer le diviseur $(P)-(Q)$ comme -différence de deux diviseurs de degré $1$. En fait, on peut faire -mieux : il suffit que $C(k)$ soit non-vide (démonstration : si $P \in -C(k)$, Riemann-Roch appliqué au diviseur $(P)$ montre que $l((P)) = -2$, donc il existe une fonction $f$ non-constante, admettant au plus -un pôle simple en $P$, donc admettant effectivement un pôle simple -en $P$ d'après \ref{basic-ord-facts}, et du coup $\divis(f)$, qui doit -être de degré $0$, est de la forme $(P) - (Q)$, et le reste est comme -ci-dessus). On ne peut pas se dispenser de cette hypothèse $C(k) \neq -\varnothing$ : si $C$ est la conique\footnote{En fait, on peut montrer - que toute courbe de genre $0$ peut s'écrire comme une conique - plane.} d'équation projective $t_0^2 + t_1^2 + t_2^2 = 0$ dans -$\mathbb{P}^2$ sur les réels, qui a $C(\mathbb{R}) = \varnothing$, -alors $C$ a pour genre $0$ car le genre est un invariant géométrique -(cf. ci-dessus) et que, sur les complexes, cette conique est isomorphe -au cercle (quitte à changer $t_0$ en $i t_0$) donc à $\mathbb{P}^1$ -(cf. introduction et exemples -de \ref{subsection-quasiprojective-varieties-and-morphisms}). -Pourtant, $C$ \emph{n'est pas} isomorphe à $\mathbb{P}^1$ sur les -réels, précisément parce que $C(\mathbb{R}) = \varnothing$ alors que -$\mathbb{P}^1(\mathbb{R}) \neq \varnothing$ ! - -\begin{cor} -Si $C$ est une courbe, tout ouvert $U$ de $C$ autre que $C$ tout -entier est affine. (Cf. \ref{approximation-lemma} pour un contexte -utile de ce résultat.) -\end{cor} -\begin{proof}[Démonstration (partielle)] -Le cas $U=\varnothing$ est vrai (on a $U = \Spec 0$ où $0$ désigne -l'anneau nul) mais inintéressant : supposons donc $U$ non vide. - -On admet\footnote{Il n'y a pas d'arnaque : c'est là un résultat - beaucoup plus facile et moins profond que Riemann-Roch ; il s'agit - de dire que $f$ est un morphisme « fini », donc en particulier - « affine » c'est-à-dire que l'image réciproque d'un ouvert affine - est affine.} le résultat suivant : si $f \colon C \to C_0$ est un -morphisme non-constant de courbes, alors l'image réciproque par $f$ de -tout ouvert affine de $C_0$ est affine. - -Soit $P$ un point du complémentaire de $U$ : le théorème de -Riemann-Roch, et notamment le corollaire \ref{degree-of-canonical-divisor}, montre que si $n$ -est assez grand, alors $l(n(P)) > 1$, autrement dit, il existe une -fonction $f \in k(C)$ non constante et régulière partout sauf en $P$ -(où elle ne peut pas être régulière). En considérant $f$ comme un -morphisme $C \to \mathbb{P}^1$, on voit alors que $U' := C -\setminus\{P\} = f^{-1}(\mathbb{A}^1)$, et d'après le résultat admis, -$U'$ est affine. Le lemme d'approximation \ref{approximation-lemma} -montre que si $Q_1,\ldots,Q_s$ sont les points de $U'\setminus U$, il -existe une fonction $h$ ayant un pôle d'ordre $1$ en chacun des $Q_i$ -et régulière sur tout $U \setminus \{Q_i\}$ ; si de plus on exige que -$h$ ait un zéro d'ordre très élevé (c'est-à-dire supérieur à $s$) en -un quelconque autre point $R$ (ce que le lemme d'approximation permet -toujours de faire), on assure que $h$ aura aussi un pôle en $P$ -d'après \ref{principal-divisors-have-degree-zero}. Autrement dit, -ceci assure que $U = h^{-1}(\mathbb{A}^1)$ (en voyant de nouveau $h$ -comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$), ce qui conclut. -\end{proof} - - - -% -% -% -\end{document} |