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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 61b2cb3..29dd0fd 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -607,7 +607,7 @@ anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente (en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme naturel $A \to A[S^{-1}]$). -\begin{prop} +\begin{prop}\label{proprietes-localise} \begin{itemize} \item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro. @@ -1346,9 +1346,12 @@ est \emph{induite} par celle de $X$.) Si $I$ est engendré par les éléments $f_1,\ldots,f_r$, on peut écrire $U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est -l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas (les $D(f)$ s'appellent parfois +l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas. Les $D(f)$ s'appellent parfois \emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de -les distinguer). +les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts} +(un ensemble d'ouverts est dit former une base d'ouverts pour une +topologie lorsque tout ouvert est une réunion d'une sous-famille +d'entre eux). \begin{prop}\label{recouvrement-par-ouverts-principaux} Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$ @@ -1365,6 +1368,9 @@ est l'idéal engendré par les $f_i$, et l'énoncé découle du Nullstellensatz faible. \end{proof} +On aura besoin pour la suite de remarquer que $D(f) \cap D(f') = +D(ff')$. + \smallbreak Un peu de vocabulaire de topologie : dans ce qui suit, on suppose que @@ -1583,7 +1589,7 @@ Toute cette motivation semble justifier d'identifier l'ouvert $U = D(t) = \{t : t\neq 0\}$ de $\mathbb{A}^1$ avec la variété algébrique affine $\Spec k[t,t^{-1}]$ associée à l'anneau $k[t,t{^-1}]$. -Plus généralement, on part du : +Plus généralement, on voudrait adopter le : \begin{princ} Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, on considérera $D(f)$ lui-même comme la variété algébrique affine $\Spec @@ -1592,8 +1598,44 @@ $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ localisé de $\mathcal{O}(X)$ inversant $f$. \end{princ} +(Noter que $R[\frac{1}{f}] = R[z]/(zf-1)$ de façon générale.) + +Pour justifier que le principe ci-dessus est sensé, on a besoin d'un +certains nombre de vérifications de routine, notamment : +\begin{prop} +Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine sur +un corps algébriquement clos $k$, et si $\iota\colon \mathcal{O}(X) +\to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}],\penalty-100\; h \mapsto \frac{h}{1}$ +désigne le morphisme naturel vers le localisé : +\begin{itemize} +\item les idéaux maximaux (resp. premiers) + de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ sont en bijection avec les idéaux + maximaux de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$ + (cf. \ref{proprietes-localise}) ; et si $\psi \colon D(f) \to \Spec + \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ désigne cette bijection, envoyant un + point $x$ de $D(f) \subseteq X$, vu comme idéal maximal + $\mathfrak{m}_x$ de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$, sur le + point $\psi(x)$ défini par l'idéal maximal + $\iota^{-1}(\mathfrak{m}_x)$, alors : +\item $\psi$ met en bijection les ouverts de Zariski de $X$ contenus + dans $D(f)$ avec les ouverts de Zariski de $X' := \Spec + \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$, et les ouverts principaux contenus + dans $D(f)$ (c'est-à-dire les $D(gf) = D(g)\cap D(f)$) avec les + ouverts principaux de $X'$ (et précisément $D(gf)$ avec + $D(\iota(g))$), et +\item si $h \in \mathcal{O}(X)$ et $x \in D(f)$, alors $h(x)$ coïncide + avec $\iota(h)(\psi(x))$ (vus comme éléments de $k$). +\end{itemize} +\end{prop} + De ce principe découlent : \begin{defn} +Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, +l'anneau des fonctions régulières sur $D(f)$ sera par définition +$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble +$D(f)(A)$ des $A$-points de $D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ +formé des $x \in X(A)$ tels que $f(x) \in A$ soit inversible. + Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et $Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera identifié à la donnée d'un élément de $Y(\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}])$ @@ -1605,10 +1647,10 @@ de $Y$). Si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, et $X$ est une variété algébrique affine, un morphisme $X \to D(g)$ sera -identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que $h^*(g) -\in \mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire la composée de $h\colon X\to Y$ avec -$g \in \mathcal{O}(Y)$ vu comme un morphisme $Y \to \mathbb{A}^1$) -soit inversible. +identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que +l'élément $h^*(g) \in \mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire la composée de +$h\colon X\to Y$ avec $g \in \mathcal{O}(Y)$ vu comme un morphisme $Y +\to \mathbb{A}^1$) soit inversible. Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, un |