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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 62bbbd4..0ec62eb 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2589,6 +2589,68 @@ x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$), donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2(\ell+1)$. +% +\subsection{Produit de variétés} + +Si $X$ et $Y$ sont deux variétés quasiprojectives sur $k$, on veut que +leur produit $X\times Y$ vérifie $(X\times Y)(A) = X(A) \times Y(A)$. + +Dans l'espace affine, c'est facile : si $X$ est défini par les +équations $f_1,\ldots,f_r$ en les variables $x_1,\ldots,x_d$ et $Y$ +par les équations $g_1,\ldots,g_s$ en les variables $y_1,\ldots,y_e$, +alors $X\times Y$ sera défini par les équations $f_1,\ldots,f_r, +\penalty0 g_1,\ldots,g_s$ en les $d+e$ variables $x_1,\ldots,x_d, +\penalty0 y_1,\ldots,y_e$. En particulier, $\mathbb{A}^d \times +\mathbb{A}^e = \mathbb{A}^{d+e}$. + +Pour l'espace projectif, c'est plus compliqué, il faut trouver moyen +de recoller les morceaux : notamment, +\underline{$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ n'est pas $\mathbb{P}^2$} +(tous deux ressemblent à des complétés de $\mathbb{A}^2$, mais, +moralement, $\mathbb{P}^2$ possède un point à l'infini dans chaque +direction de droites parallèles, alors que +$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ possède un point à l'infini +$(x,\infty)$ différent pour chaque droite verticale, un $(\infty,y)$ +pour chaque droite horizontale, et un unique point à l'infini +$(\infty,\infty)$ commun à toutes les autres droites). + +On définit\footnote{Façon de parler, puisque, justement, on ne sait + pas ce qu'est un produit.} un morphisme $\mathbb{P}^d \times +\mathbb{P}^e \to \mathbb{P}^{de+d+e}$, dit \textbf{plongement de + Segre}, de la façon suivante : +\[ +((x_0:\cdots:x_d),(y_0:\cdots:y_e)) \mapsto +(x_0 y_0:x_0 y_1:\cdots:x_0 y_e:x_1 y_0:\cdots:x_d y_e) +\] +(faire tous les $(d+1)(e+1)$ produits possibles). Ce morphisme arrive +dans la variété projective $S$ dont les équations sont tous les +mineurs $2\times 2$ de la matrice $(d+1)\times (e+1)$ des coordonnées +homogènes sur $\mathbb{P}^{de+d+e}$. Réciproquement, on a un +morphisme $S \to \mathbb{P}^d$ donné par $(z_{00}:\cdots:z_{de}) +\mapsto (z_{0j}:\cdots:z_{dj})$ pour n'importe quel $j$ (en les +considérant tous à la fois ceci se recolle et définit bien un +morphisme), et de même $S \to \mathbb{P}^e$ par +$(z_{00}:\cdots:z_{de}) \mapsto (z_{i0}:\cdots:z_{ie})$. Sur un +corps, au moins, ces deux morphismes définissent bien des bijections +réciproques $\mathbb{P}^d(k) \times \mathbb{P}^e(k) \to S(k)$ et $S(k) +\to \mathbb{P}^d(k) \times \mathbb{P}^e(k)$ (car l'annulation des +mineurs $2\times 2$ traduit le fait que la matrice a rang $1$, donc +qu'elle peut s'écrire comme le produit d'un vecteur ligne $(x_i)$ et +d'un vecteur colonne $(y_j)$). On prendra pour définition du produit +$\mathbb{P}^d \times \mathbb{P}^e$ la variété projective $S$. + +(Exemple : le produit $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ se voit comme +la surface d'équation $z_{00} z_{11} = z_{01} z_{10}$ +dans $\mathbb{P}^3$, c'est-à-dire un paraboloïde hyperbolique.) + +Plus généralement, si $X$ et $Y$ sont des variétés projectives dans +$\mathbb{P}^d$ et $\mathbb{P}^e$, on peut définir $X\times Y$ comme un +fermé dans $S$ : pour chaque équation $f(x_0,\ldots,x_d) = 0$ de $X$, +on met une équation $f(z_{0j},\ldots,z_{dj}) = 0$ pour chaque $j$, et +de même pour chaque équation $g(y_0,\ldots,y_e) = 0$ de $Y$, on met +une équation $g(z_{i0},\cdots,z_{ie}) = 0$ pour chaque $i$. + + % % @@ -2596,8 +2658,6 @@ donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2(\ell+1)$. \section{TODO} -Produit de variétés (après l'espace projectif, peut-être ?). - Un peu de théorie de la dimension. Un chouïa de calcul différentiel ? Crash-course de théorie de Galois. Variétés sur un corps pas |