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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index ace90e2..b12fcbd 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -527,7 +527,7 @@ un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux. $k[t_1,\ldots,t_d]$ et si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors $\Hom_k(R, A)$ est en bijection avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté - $Z(I)(A)$ ou $Z_A(I)$). + $Z(I)(A)$). \end{itemize} \end{prop} @@ -703,7 +703,7 @@ point $x$. Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit un ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0 (\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (on devrait -plutôt noter $Z(\mathscr{F})(k)$ ou $Z_k(\mathscr{F})$, surtout si $k$ +plutôt noter $Z(\mathscr{F})(k)$, surtout si $k$ n'est pas algébriquement clos, mais il le sera bientôt). Plus généralement, pour toute $k$-algèbre $A$, on définit $Z(\mathscr{F})(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall @@ -949,8 +949,9 @@ d'autre part. Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons) de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de -$k[t_1,\ldots,t_d]$, et les \emph{fermés irréductibles} en -correspondance avec les idéaux premiers. +$k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$), et les +\emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux +premiers. \end{scho} % @@ -970,8 +971,19 @@ $\tilde f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ est un représentant de $f$ (modulo $I$) et si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in X$, la valeur de $\tilde f(x_1,\ldots,x_d)$ ne dépend pas du choix de $\tilde f$ représentant $f$ puisque tout élément de $I$ s'annule en $x$ ; on peut donc appeler -$f(x)$ cette valeur. Dans le cas où $X = k^d$ tout entier (donc $I = -(0)$), évidemment, $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]$. +$f(x)$ cette valeur. Inversement, un $f \in \mathcal{O}(X)$ est +complètement déterminé par sa valeur sur chaque point $x$ de $X$ +(rappel : $k$ est algébriquement clos ici, et c'est important !) ; en +effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X$, tout élément de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x \in X$, +c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui signifie justement +$f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$. Moralité : on peut bien considérer les +éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions. Ces fonctions sont, +tout simplement, les restrictions à $X$ des fonctions polynomiales +sur $k^d$. + +Dans le cas où $X = k^d$ tout entier (donc $I = (0)$), évidemment, +$\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]$. On définit un fermé de Zariski de $X$ comme un fermé de Zariski de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$. La bonne nouvelle est @@ -1003,34 +1015,62 @@ Avec les notations ci-dessus : \end{itemize} \end{prop} +% +\subsection{Points à valeurs dans une $k$-algèbre} + +On reprend la même situation : $I$ est un idéal radical de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ et $X = Z(I)$ est le fermé de Zariski qu'il +définit (et $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d] / I$ l'anneau des +fonctions régulières sur $X$. + +On a pour l'instant considéré $X$ comme un sous-ensemble de $k^d$, +mais on souhaite changer progressivement de point de vue ; notamment, +l'ensemble pré\-cé\-dem\-ment noté $X$ aura de plus en plus tendance à être +noté $X(k)$, en appliquant la définition suivante : + +Pour toute $k$-algèbre $A$, on note $X(A)$ ou $Z(I)(A)$ (et on appelle +ensemble des \textbf{$A$-points} de $X$) l'ensemble +$\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall f \in I)\, +f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ des points de $A^d$ vérifiant les équations +définissant $X$. L'ensemble $X(k)$ est donc celui qu'on a +pré\-cé\-dem\-ment considéré sous le nom de $X$. + +Le cas particulier de l'espace affine tout entier (soit $I = (0)$) +sera noté $\mathbb{A}^d$ (normalement on devrait écrire +$\mathbb{A}^d_k$, mais c'est rarement important) : ainsi, +$\mathbb{A}^d(A) = A^d$ pour toute $k$-algèbre $A$. + +Si $A \buildrel\varphi\over\to A'$ est un morphisme de $k$-algèbres, +on a une application $X(\varphi) \colon X(A) \to X(A')$ qui à +$(x_1,\ldots,x_d) \in X(A)$ associe +$(\varphi(x_1),\ldots,\varphi(x_d)) \in X(A')$. (Par ailleurs, +$X(\psi\circ\varphi) = X(\psi)\circ X(\varphi)$.) On aura de plus en +plus tendance à considérer que $X$ ``est'' la donnée de ces ensembles +$X(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$ et de ces applications $X(\varphi)$ +pour tout morphisme de $k$-algèbres $\varphi$ : la collection de ces +données s'appelle le \textbf{foncteur des points} de $X$. + \begin{rmk} -On a expliqué en \ref{section-note-morphismes} que les pour toute -$k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des -morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ peut être vu -comme l'ensemble $Z(I)(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 -(\forall f \in I)\,f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ des $d$-uplets -$(x_1,\ldots,x_d)$ d'éléments de $A$ sur lesquels tout élément de $I$ -s'annule. On notera aussi simplement $X(A)$ pour cet ensemble. - -En particulier, les points de $X$ peuvent être identifiés avec les -éléments de $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), k)$ (autrement dit, les -morphismes $\mathcal{O}(X) \to k$ de $k$-algèbres), le point $x \in X$ -étant identifié avec le morphisme $f \mapsto f(x)$ d'évaluation -en $x$. On peut donc noter $X(k)$ cet ensemble, et les appeler -« $k$-points », pour insister. La classification des idéaux maximaux -de $\mathcal{O}(X)$ signifie donc que tout idéal maximal -de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des fonctions régulières s'annulant -en un $k$-point de $X$. +D'après ce qu'on a expliqué en \ref{section-note-morphismes}, pour +toute $k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des +morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ est en +bijection avec $X(A)$ (la bijection envoyant un morphisme $\psi\colon +\mathcal{O}(X) \to A$ sur le $d$-uplet $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$ +où $t_1,\ldots,t_d$ sont les classes des indéterminées dans le +quotient $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]/I$). On aura tendance à +utiliser cette bijection tacitement, et à considérer que les éléments +de $X(A)$ ``sont'' des morphismes d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to A$. + +En particulier, les $k$-points de $X$ (c'est-à-dire l'ensemble +précédemment noté $X$ et maintenant de préférence $X(k)$) peuvent être +identifiés avec les éléments de $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), k)$, le +point $x \in X$ étant identifié avec le morphisme $f \mapsto f(x)$ +d'évaluation en $x$. La classification des idéaux maximaux +de $\mathcal{O}(X)$ signifie donc que (pour $k$ algébriquement clos, +insistons !) tout idéal maximal de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des +fonctions régulières s'annulant en un $k$-point de $X$. \end{rmk} -Un $f \in \mathcal{O}(X)$ est complètement déterminé par sa valeur sur -$X(k)$ (rappel : $k$ est algébriquement clos dans tout ça, et c'est -important !) ; en effet, si $f$ s'annule en tout $x \in X(k)$, tout -élément de $k[t_1,\ldots,t_d]$ représentant $f$ s'annule en tout $x -\in X(k)$, c'est-à-dire appartient à $\mathfrak{I}(X)$, ce qui -signifie justement $f = 0$ dans $\mathcal{O}(X)$. (Moralité : on peut -bien considérer les éléments de $\mathcal{O}(X)$ comme des fonctions.) - % \subsection{Morphismes de variétés algébriques} @@ -1038,7 +1078,7 @@ On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine} dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski $X$ de $k^d$. Pourquoi cette terminologie redondante ? Le terme « fermé de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongée dans l'espace -affine $\mathbb{A}^d(k) := k^d$. Le terme de « variété algébrique +affine $\mathbb{A}^d$. Le terme de « variété algébrique affine » insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses propres fermés de Zariski et de ses propres fonctions régulières. On a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau $\mathcal{O}(X)$ des |