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diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex index 585926e..e89a2d4 100644 --- a/notes-mdi349.tex +++ b/notes-mdi349.tex @@ -481,6 +481,7 @@ sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien. % \subsection{Notes sur les morphismes} +\label{section-note-morphismes} Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B @@ -633,7 +634,7 @@ Lemme de Nakayama ? % % -\section{Variétés algébriques affines sur un corps algébriquement clos} +\section{Variétés algébriques affines sur un corps algé\-bri\-que\-ment clos} Pour le moment, $k$ est un corps, qui sera bientôt algébriquement clos. @@ -769,7 +770,7 @@ Avec les notations ci-dessus : prendre $E = V(I)$, et $I$ est un idéal radical de $k[t_1,\ldots,t_d]$. \item Les fonctions $\mathfrak{Z}$ et $V$ se restreignent en des - bijections décroissantes réciproques entre l'ensemble des parties + bijections décroissantes réci\-proques entre l'ensemble des parties $E$ de $k^d$ vérifiant le premier point ci-dessus et l'ensemble des idéaux radicaux $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifiant le second. \end{itemize} @@ -874,6 +875,10 @@ V(\mathfrak{m})$, ce qui donne $\mathfrak{m} \subseteq $\mathfrak{m}$ ceci est en fait une égalité. \end{proof} +En particulier, le corps quotient $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$ est +isomorphe à $k$, l'isomorphisme étant donnée par l'évaluation au point +$(x_1,\ldots,x_d)$ tel que ci-dessus. + \begin{thm}[Nullstellensatz = théorème des zéros de Hilbert] Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ (toujours avec $k$ un corps algébriquement clos) : alors $\mathfrak{Z}(V(I)) = \surd I$ (le @@ -895,15 +900,86 @@ k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$. \begin{scho} Si $k$ est un corps algébriquement clos, les fonctions $I \mapsto V(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{Z}(E)$ définissent des bijections -réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux +réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$ d'une part, et les fermés de Zariski de $k^d$ d'autre part. Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons) de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de -$k[t_1,\ldots,t_d]$. +$k[t_1,\ldots,t_d]$, et les \emph{fermés irréductibles} en +correspondance avec les idéaux premiers. \end{scho} +% +\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski} + +Si $X$ est un fermé de Zariski dans $k^d$ avec $k$ algébriquement +clos, on a vu qu'il existe un unique idéal radical $I$ +de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{Z}(X)$ des +polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = V(I)$. Le quotient +$k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi +$X$ est irréductible) s'appelle l'\emph{anneau des fonctions + régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$. + +Pourquoi fonctions régulières ? On peut considérer un élément $f \in +\mathcal{O}(X)$ comme une fonction $X \to k$ de la façon suivante : si +$\tilde f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ est un représentant de $f$ +(modulo $I$) et si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in X$, la valeur de $\tilde +f(x_1,\ldots,x_d)$ ne dépend pas du choix de $\tilde f$ représentant +$f$ puisque tout élément de $I$ s'annule en $x$ ; on peut donc appeler +$f(x)$ cette valeur. Dans le cas où $X = k^d$ tout entier (donc $I = +(0)$), évidemment, $\mathcal{O}(X) = k[t_1,\ldots,t_d]$. + +On définit un fermé de Zariski de $X$ comme un fermé de Zariski +de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$. La bonne nouvelle est +que la correspondance entre fermés de Zariski de $k^d$ et idéaux de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ se généralise presque mot pour mot à une +correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux +de $\mathcal{O}(X)$ : + +\begin{prop} +Avec les notations ci-dessus : +\begin{itemize} +\item Tout fermé de Zariski de $X$ est de la forme $V(\mathscr{F}) := + \{x\in X :\penalty0 {(\forall f\in \mathscr{F})}\penalty100\, f(x) = + 0\}$ pour un certain ensemble $\mathscr{F}$ d'éléments + de $\mathcal{O}(X)$. +\item En posant $\mathfrak{Z}(E) := \{f\in \mathcal{O}(X) :\penalty0 + {(\forall x\in E)}\penalty100\, f(x)=0\}$, les fonctions $I \mapsto + V(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{Z}(E)$ définissent des bijections + réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux + radicaux de $\mathcal{O}(X)$ d'une part, et les fermés de Zariski de + $X$ d'autre part : on a $\mathfrak{Z}(V(I)) = \surd I$ pour tout + idéal $I$ de $\mathcal{O}(X)$. +\item Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les + singletons) de $X$ en correspondance avec les idéaux maximaux de + $\mathcal{O}(X)$ (qui sont donc tous de la forme $\mathfrak{m}_x := + \{f \in \mathcal{O}(X) : f(x)=0\}$ pour un $x\in X$) ; et les + \emph{fermés irréductibles} en correspondance avec les idéaux + premiers. +\end{itemize} +\end{prop} + +\begin{rmk} +On a expliqué en \ref{section-note-morphismes} que les pour toute +$k$-algèbre $A$, l'ensemble $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), A)$ des +morphismes de $k$-algèbres de $\mathcal{O}(X)$ vers $A$ peut être vu +comme l'ensemble $V(I)(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 +(\forall f \in I)\,f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ des $d$-uplets +$(x_1,\ldots,x_d)$ d'éléments de $A$ sur lesquels tout élément de $I$ +s'annule. On notera aussi simplement $X(A)$ pour cet ensemble. + +En particulier, les points de $X$ peuvent être identifiés avec les +éléments de $\Hom_{k}(\mathcal{O}(X), k)$ (autrement dit, les +morphismes $\mathcal{O}(X) \to k$ de $k$-algèbres), le point $x \in X$ +étant identifié avec le morphisme $f \mapsto f(x)$ d'évaluation +en $x$. On peut donc noter $X(k)$ cet ensemble, et les appeler +« $k$-points », pour insister. La classification des idéaux maximaux +de $\mathcal{O}(X)$ signifie donc que tout idéal maximal +de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des fonctions régulières s'annulant +en un $k$-point de $X$. +\end{rmk} + % % |