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diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex index d745931..a6f81f7 100644 --- a/notes-mdi349.tex +++ b/notes-mdi349.tex @@ -42,6 +42,9 @@ % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% \DeclareFontFamily{U}{manual}{} \DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} \newcommand{\manfntsymbol}[1]{% @@ -485,10 +488,15 @@ sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien. Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B -\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de -$k$-algèbres $A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes -d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant -commuter le diagramme : +\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ (ou bien +$\Hom_{k\traitdunion\mathrm{Alg}}(A,B)$ s'il y a +ambiguïté\footnote{Par exemple pour bien distinguer de l'ensemble + $\Hom_{k\traitdunion\mathrm{Mod}}(A,B)$ des applications + $k$-linéaires, ou morphismes de $k$-modules, entre $A$ et $B$ vus + comme des $k$-modules.}) l'ensemble des morphismes de $k$-algèbres +$A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes d'anneaux +$A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant commuter +le diagramme : \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{ @@ -551,10 +559,19 @@ $k$-algèbre $A$ on se donne une application $\beta_A\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ telle que si $\alpha\colon A'\to A$ alors $\Hom_k(\alpha,B') \circ \beta_A = \beta_{A'} \circ \Hom_k(\alpha,B)$. Alors il existe un unique morphisme $\beta\colon B \to B'$ de -$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$. +$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour toute +$k$-algèbre $A$. + +Dans l'autre sens : si $A,A'$ sont deux $k$-algèbres, et si pour toute +$k$-algèbre $B$ on se donne une application $\alpha_B\colon +\Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ telle que $\alpha_{B'} \circ +\Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ \alpha_B$, alors il existe un +unique morphisme $\alpha\colon A'\to A$ de $k$-algèbres tel que +$\alpha_B = \Hom_k(\alpha,B)$ pour toute $k$-algèbre $B$. \end{prop} \begin{proof} -Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ ! +Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$, ou +pour $\alpha$ l'image de l'identité $\id_A$ par $\alpha_A$. \end{proof} % @@ -568,8 +585,14 @@ des éléments non nuls est une partie multiplicative. Dans ces conditions, on construit un anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou $S^{-1}A$) de la façon suivante : ses éléments sont notés $a/s$ avec -$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie $a/s = a'/s'$ lorsqu'il existe -$t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$. L'addition est définie par +$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie\footnote{Ce racourci de langage + signifie qu'on considère la relation d'équivalence $\sim$ sur + $A\times S$ définie par $(a,s) \sim (a',s')$ lorsqu'il existe $t \in + S$ tel que $t(a's-as') = 0$, on appelle $A[S^{-1}]$ le quotient + $(A\times S)/\sim$, et on note $a/s$ la classe de $(a,s)$ pour cette + relation ; il faudrait encore vérifier que toutes les opérations + proposées ensuite sont bien définies.} $a/s = a'/s'$ lorsqu'il +existe $t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$. L'addition est définie par $(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le zéro par $0/1$, l'opposé par $-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') = (aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$). Cet anneau est muni d'un morphisme @@ -592,21 +615,22 @@ naturel $A \to A[S^{-1}]$). l'idéal $J$ considéré. Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$ définit une injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$. \item Un idéal $I$ de $A$ est de la forme $\iota^{-1}(J)$ pour un - idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (nécessairement $J = I[S^{-1}]$ d'après le + idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (né\-ces\-sai\-rement $J = I[S^{-1}]$ d'après le point précédent) ssi aucun élément de $S$ n'est diviseur de zéro dans $A/I$. \item En particulier, $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$ définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$. \item Si $A$ est une $k$-algèbre, $\Hom_k(A[S^{-1}],B)$ s'identifie, - via $\Hom_k(\iota,B)\colon \Hom_k(A[S^{-1}],B) \to \Hom_k(A,B)$, au - sous-ensemble de $\Hom_k(A,B)$ formé des morphismes $\psi\colon A\to - B$ tels que $\psi(s)$ soit inversible pour tout $s\in S$. + via $\Hom_k(\iota,B)\colon\penalty0 \Hom_k(A[S^{-1}],B) \to + \Hom_k(A,B)$, au sous-ensemble de $\Hom_k(A,B)$ formé des morphismes + $\psi\colon A\to B$ tels que $\psi(s)$ soit inversible pour + tout $s\in S$. \end{itemize} \end{prop} Cas particuliers importants : si $\mathfrak{p}$ est premier et $S = -A\setminus\mathfrak{p}$ est son complémentaire, on note +A\setminus\mathfrak{p}$ est son com\-plé\-men\-taire, on note $A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; c'est un anneau local (dont l'idéal maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s \not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle le localisé de $A$ @@ -678,11 +702,14 @@ Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on définit un ensemble $V(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d :\penalty0 (\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (on devrait plutôt noter $V(\mathscr{F})(k)$ ou $V_k(\mathscr{F})$, surtout si $k$ -n'est pas algébriquement clos, mais il le sera bientôt). +n'est pas algébriquement clos, mais il le sera bientôt). Plus +généralement, pour toute $k$-algèbre $A$, on définit +$V(\mathscr{F})(A) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall +f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$. Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors $V(\mathscr{F}) \supseteq V(\mathscr{F}')$ (la fonction $V$ est -« décroissante pour l'inclusion ») ; on a $V(\mathscr{F}) = \cap_{f\in +« décroissante pour l'inclusion ») ; on a $V(\mathscr{F}) = \bigcap_{f\in \mathscr{F}} V(f)$ (où $V(f)$ est un racourci de notation pour $V(\{f\})$). Plus intéressant : si $I$ est l'idéal engendré par $\mathscr{F}$ alors $V(I) = V(\mathscr{F})$. On peut donc se @@ -737,6 +764,11 @@ qui est en particulier le cas lorsque $k$ est algébriquement clos), on a $\mathfrak{I}(k^d) = (0)$ (démonstration par récurrence sur $d$, laissée en exercice). +\danger Sur un corps fini $\mathbb{F}_q$, on a +$\mathfrak{I}({\mathbb{F}_q}^d) \neq (0)$. Par exemple, si $t$ est +une des in\-dé\-ter\-mi\-nées, le polynôme $t^q-t$ s'annule en tout +point de ${\mathbb{F}_q}^d$. + \medbreak \textbf{Le rapport entre ces deux fonctions} @@ -762,8 +794,9 @@ Avec les notations ci-dessus : \begin{itemize} \item Une partie $E$ de $k^d$ vérifie $E = V(\mathfrak{I}(E))$ si et seulement si elle est de la forme $V(\mathscr{F})$ pour un - certain $\mathscr{F}$, et dans ce cas on peut prendre $\mathscr{F} = - \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal radical. + certain $\mathscr{F}$ (=: c'est un fermé de Zariski), et dans ce cas + on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un idéal + radical. \item Une partie $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifie $I = \mathfrak{I}(V(I))$ si et seulement si elle est de la forme $\mathfrak{I}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut |