From 033b2f0c030566671d80999a6d0536bef3303d3e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Mon, 24 May 2010 22:12:01 +0200
Subject: A projective Nullstellensatz.
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notes-geoalg.tex | 35 +++++++++++++++++++++++++++++++++--
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@@ -1985,7 +1985,9 @@ relation d'équivalence $(x_0,\cdots,x_n) \sim (x'_0,\cdots,x'_n)$ ssi
les vecteurs $(x_0,\cdots,x_n)$ et $(x'_0,\cdots,x'_n)$ sont
colinéaires. On note $(x_0:\cdots:x_n)$ (certains auteurs préfèrent
$[x_0,\ldots,x_n]$) la classe de $(x_0,\ldots,x_n)$ pour cette
-relation d'équivalence.
+relation d'équivalence. On peut voir $\mathbb{P}^n(k)$ comme
+l'ensemble des droites vectorielles (=passant par l'origine)
+de $k^{n+1}$.
Idée intuitive : tout point de $\mathbb{P}^n$ (sur un corps), selon
que $x_0 \neq 0$ ou $x_0 = 0$, peut être mis sous la forme
@@ -2077,10 +2079,39 @@ de $h$ est $h^{[\ell]} = \sum_i g_i^{[\ell-\ell_i]} f_i$ où
$g_i^{[\ell-\ell_i]}$ désigne la partie homogène de degré
$\ell-\ell_i$ de $g_i$, donc $h^{[\ell]}$ appartient aussi à $I$.)
+(Concrètement, dire que $I$ est homogène signifie --- au moins lorsque
+$I$ est radical et que $k$ est algébriquement clos --- que le fermé
+\emph{affine} qu'il définit dans $\mathbb{A}^{n+1}$ est un
+\emph{cône}, c'est-à-dire stable par homothéties. L'ensemble $Z(I)$
+défini ci-dessus va être ce cône vu comme un ensemble de droites
+vectorielles donc comme un objet géométrique dans $\mathbb{P}^n$.)
+
Pour $I$ idéal homogène de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on définit $Z(I)$
comme l'intersection des $Z(f)$ pour $f\in I$ homogène, ou simplement,
d'après ce qui précède, l'intersection des $Z(f)$ pour $f$ parcourant
-un ensemble de générateurs homogènes de $I$.
+un ensemble de générateurs homogènes de $I$. Les $Z(I)$ s'appellent
+les fermés [de Zariski] de $\mathbb{P}^n$. Inversement, si $E$ est
+une partie de $\mathbb{P}^n$, on appelle $\mathfrak{I}(E)$ l'idéal
+(par définition homogène) engendré par les polynômes homogènes $f$
+s'annulant en tout point de $E$ (c'est-à-dire tels que $Z(f) \supseteq
+E$).
+
+\begin{thm}
+Si $k$ est un corps algébriquement clos :
+\begin{itemize}
+\item (Nullstellensatz faible projectif.) Pour $I$ un idéal homogène
+ de $k[x_0,\ldots,x_n]$, on a $Z(I) = \varnothing$ dans
+ $\mathbb{P}^n$ ssi il existe un entier naturel $\ell$ tel que $I$
+ contienne tous les monômes en $x_0,\ldots,x_n$ de degré total $\ell$
+ (et, par conséquent, de tout degré plus grand). Un tel idéal
+ s'appelle \textbf{irrelevant} [avec un bel anglicisme].
+\item (Nullstellensatz projectif.) Les fonctions $I \mapsto Z(I)$ et
+ $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections réciproques,
+ décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux homogènes radicaux
+ de $k[x_0,\ldots,x_n]$ autres que $(x_0,\ldots,x_n)$ d'une part, et
+ les fermés de Zariski de $\mathbb{P}^n(k)$ d'autre part.
+\end{itemize}
+\end{thm}
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