From 06f3a624949c0e0ddec662604b38c0ac4cc942fb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 23 May 2010 20:10:50 +0200 Subject: Quasi-affine varieties (this is becomming a mess...). --- notes-geoalg.tex | 129 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------ 1 file changed, 116 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index c05a9d6..330181a 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1572,7 +1572,7 @@ sont irréductibles, et en particulier connexes, $U \cap Z(x) = Z(x)$ et $U \cap Z(y) = Z(y)$, ce qui montre $U = Z(x,y)$. % -\subsection{Structure de variété d'un ouvert principal} +\subsection{Structure de variété affine d'un ouvert principal} Pour l'instant, on n'a appelé « variété » qu'un fermé de Zariski. On voudrait étendre le terme de sorte qu'au moins les \emph{ouverts} de @@ -1674,14 +1674,11 @@ désigne le morphisme naturel vers le localisé : De ce principe découlent : \begin{defn} Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, -l'anneau des fonctions régulières sur $D(f)$ sera par définition -$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. La \textbf{restriction} $h|_{D(f)}$ -d'une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ à $D(f)$ sera par -définition $\iota(h) := \frac{h}{1} \in \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. - -Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $D(f)(A)$ des $A$-points de -$D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que -$f(x) \in A$ soit inversible. +l'anneau $\mathcal{O}(D(f))$ des fonctions régulières sur $D(f)$ sera +par définition $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. La \textbf{restriction} +$h|_{D(f)}$ d'une fonction régulière $h \in \mathcal{O}(X)$ à $D(f)$ +sera par définition $\iota(h) := \frac{h}{1} \in +\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$. Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et $Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera @@ -1692,6 +1689,12 @@ vu plongé comme un fermé de Zariski de $\mathbb{A}^e$, comme $e$ éléments de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ vérifiant les équations de $Y$). +Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $D(f)(A)$ des $A$-points de +$D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que +$f(x) \in A$ soit inversible. (Et si $A \buildrel\varphi\over\to A'$ +est un morphisme d'anneaux, $U(I)(\varphi)\colon U(I)(A) \to U(I)(A')$ +est la restriction de $X(\varphi)\colon X(A) \to X(A')$ à $U(I)(A)$.) + Si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, et $X$ est une variété algébrique affine, un morphisme $X \to D(g)$ sera identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que @@ -1711,6 +1714,12 @@ morphisme $\mathcal{O}(Y)[\frac{1}{g}] \to De nouveau, il existe beaucoup de façons de voir la même donnée ! +Lorsque $\mathcal{O}(X)$ est intègre (c'est-à-dire que la variété $X$ +est irréductible), on peut voir $\mathcal{O}(D(f))$ de façon simple à +l'intérieur du corps des fractions de $\mathcal{O}(X)$ : ce sont les +éléments de $\Frac(\mathcal{O}(X))$ qui peuvent s'écrire comme +une fraction dont le dénominateur est une puissance de $f$. + % \subsection{Introduction au recollement} @@ -1803,19 +1812,113 @@ nécessairement affines, selon le principe général vague suivant : Une variété algébrique non nécessairement affine $X$ est obtenue en « recollant » des variétés algébriques affines $X_i$ ; une fonction régulière sur $X$ est la donnée d'une fonction régulière sur chaque -$X_i$ qui coïncident aux intersections. +$X_i$ qui coïncident aux intersections ; un morphisme de $X$ vers une +variété algébrique affine $Y$ est, de même, la donnée de morphismes +$X_i \to Y$ qui se recollent. + +On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque le morphisme $X \to \Spec +\mathcal{O}(X)$, où $\mathcal{O}(X)$ est l'anneau des fonctions +régulières sur $X$, défini naturellement, est, en fait, un +isomorphisme. \end{princ} +% +\subsection{Variétés algébriques quasi-affines} + +Une variété algébrique quasi-affine est un ouvert \emph{non + nécessairement principal} d'une variété algébrique affine $X$, +c'est-à-dire, d'un fermé de Zariski dans l'espace affine. Un tel +ouvert peut s'écrire $U(I) := X \setminus Z(I)$ avec $I$ idéal +de $\mathcal{O}(X)$, et il est recouvert par des $D(f_i)$ lorsque les +$f_i$ engendrent l'idéal $I$. + +\begin{defn} +Si $I$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété +algébrique affine, une fonction régulière sur $U(I) := X \setminus +Z(I)$ sera par définition la donnée d'une fonction régulière $h_i$ sur +chaque $D(f_i)$ où les $f_i \in \mathcal{O}(X)$ engendrent $I$, telles +que $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on identifie +deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les +intersections possibles. + +Si $I$ est un idéal de $\mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété +algébrique affine, et $Y$ est une variété algébrique affine, un +morphisme $U(I) \to Y$ sera identifié à la donnée d'un morphisme +$D(f_i) \to Y$ pour chaque $f_i$ où les $f_i \in \mathcal{O}(X)$ +engendrent $I$, qui coïncident sur les $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on +identifie deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les +intersections possibles. + +Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble $U(I)(A)$ des $A$-points de +$U(I)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$ formé des $x \in X(A)$ tels que +les $f(x) \in A$ pour $f \in I$ engendrent l'idéal unité de $A$. (Et +si $A \buildrel\varphi\over\to A'$ est un morphisme d'anneaux, +$U(I)(\varphi)\colon U(I)(A) \to U(I)(A')$ est la restriction de +$X(\varphi)\colon X(A) \to X(A')$ à $U(I)(A)$.) + +Si $J$ est un idéal de $\mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété +algébrique affine (et toujours $I$ un idéal de $\mathcal{O}(X)$ comme +ci-dessus), un morphisme $U(I) \to U(J)$ sera identifié à la donnée +d'éléments $f_i$ engrendant $I$ et $g_i$ appartenant à $J$, indicés +par le même ensemble, et de morphismes $h_i \colon D(f_i) \to D(g_i)$, +tels que $h_i$ et $h_j$ coïncident sur $D(f_i) \cap D(f_j)$ ; on +identifie deux telles données lorsqu'elles coïncident sur toutes les +intersections possibles. +\end{defn} + +Entre autres vérifications de cohérence de ces définitions : +\begin{prop} +Avec les notations ci-dessus, la donnée d'un morphisme $U(I) \buildrel +h\over\to U(J)$ équivaut à celle d'une application $U(I)(A) \buildrel +h(A)\over\to U(J)(A)$ pour chaque $k$-algèbre $A$ telles que : si $A +\buildrel\psi\over\to A'$ est un morphisme de $k$-algèbres, alors les +deux composées $U(I)(A) \buildrel U(I)(\psi)\over\to U(I)(A') +\buildrel h(A')\over\to U(J)(A')$ et $U(I)(A) \buildrel h(A)\over\to +U(J)(A) \buildrel U(J)(\psi)\over\to U(J)(A')$ coïncident (cf. lemme +de Yoneda). +\end{prop} + +Lorsque $\mathcal{O}(X)$ est intègre (c'est-à-dire que la variété $X$ +est irréductible), on peut voir $\mathcal{O}(U(I))$ de façon simple à +l'intérieur du corps des fractions de $\mathcal{O}(X)$ : ce sont les +éléments de $\Frac(\mathcal{O}(X))$ qui peuvent s'écrire comme une +fraction dont le dénominateur est une puissance de $f_i$ pour +n'importe quel $f_i$ d'une famille engendrant $I$. + +\smallbreak + +Pour tout ouvert $U$, on a un morphisme de variétés algébriques $U \to +X$ appelé \textbf{immersion ouverte} de $U$ dans $X$. + +\medbreak + +Pour tout ouvert $U$ d'une $k$-variété algébrique affine $X$, l'anneau +$\mathcal{O}(U)$ est une $k$-algèbre de type fini, et on a un +morphisme de variétés algébriques $U \to \Spec \mathcal{O}(U)$ (défini +en considérant un recouvrement quelconque de $U$ par des $D(f_i)$ et +en recollant les morphismes $D(f_i) \to \Spec \mathcal{O}(U)$ donnés +par les $\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f_i}]$) : lorsque +ce morphisme est un isomorphisme, l'ouvert $U$ est dit \emph{affine}. +Un ouvert principal est toujours affine. Un ouvert peut être affine +sans être principal, mais c'est généralement assez difficile à +détecter. Remarquons cependant si $U = U(\{x,y\}) = D(x) \cup D(y)$ +est le complémentaire de l'origine dans $\mathbb{A}^2$, alors $U$ +n'est pas affine, car $\mathcal{O}(U) = k[x,y]$ (en effet, $k[x,y]$ +est un anneau factoriel, donc une fraction rationnelle en deux +variables $x,y$ admet une forme simplifiée unique à scalaire près, et +si elle peut s'écrire avec une puissance de $x$ ou une puissance de +$y$ comme dénominateurs, il s'agit simplement d'un polynôme), et le +morphisme $U \to \Spec\mathcal{O}(U)$ est l'immersion ouverte de $U$ +dans $\mathbb{A}^2$, qui n'est pas un isomorphisme. + + % % % \section{TODO} -Recollements ! Voir les variétés quasi-affines comme des recollements -d'ouverts principaux. - Produit de variétés (après l'espace projectif, peut-être ?). Introduction à l'espace projectif. Variétés quasiprojectives sur un -- cgit v1.2.3