From 0cbab985c39cbd4c12b3bebabe87afdcc7d3841c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 15 May 2010 02:30:25 +0200
Subject: Morphisms of affine algebraic varieties.
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index e89a2d4..b9f645c 100644
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@@ -980,6 +980,62 @@ de $\mathcal{O}(X)$ est l'ensemble des fonctions régulières s'annulant
en un $k$-point de $X$.
\end{rmk}
+%
+\subsection{Morphismes de variétés algébriques}
+
+On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine}
+dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski
+$X$ de $k^d$. Pourquoi cette terminologie redondante ? Le terme
+« fermé de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongée dans l'espace
+affine $\mathbb{A}^d(k) := k^d$. Le terme de « variété algébrique
+ affine » insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses
+propres fermés de Zariski et de ses propres fonctions régulières. On
+a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau $\mathcal{O}(X)$ des
+fonctions régulières, et, pour chaque $k$-algèbre, on a identifié
+l'ensemble $X(A)$ des $A$-points de $X$ avec $\Hom_k(\mathcal{O}(X),
+A)$.
+
+On veut maintenant définir des morphismes entre ces variétés
+algébriques. Une fonction régulière doit être la même chose qu'un
+morphisme vers la droite affine. On définit donc :
+\begin{itemize}
+\item un morphisme de $X$ vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de
+ dimension $e$ est la donnée de $e$ fonctions régulières sur $X$,
+ c'est-à-dire d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$,
+\item un morphisme de $X$ vers le fermé de Zariski $Y = V(J)$ défini
+ dans l'espace affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J =
+ (g_1,\ldots,g_r)$ est la donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in
+ \mathcal{O}(X)^e$ comme ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes
+ $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$ (cela revient à demander
+ $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x)) = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ;
+\item on dit qu'un tel morphisme envoie le point $x \in X$ sur le
+ point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point
+ $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in k^e$, qui se trouve appartenir à $Y$) ;
+ en pariculier, il définit une fonction $X(k) \to Y(k)$, et plus
+ généralement $X(A) \to Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$.
+\end{itemize}
+
+À ce moment-là, on doit se rappeler le lemme de Yoneda : se donner
+pour chaque $k$-algèbre $A$ une application $X(A) \to Y(A)$,
+c'est-à-dire $\Hom_k(\mathcal{O}(X),A) \to \Hom_k(\mathcal{O}(Y),A)$,
+quitte à vérifier des commutations aux morphismes $A \to A'$ qu'on
+passera sous silence, c'est la même chose que se donner un morphisme
+$\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$. On peut donc définir tout
+simplement :
+
+\begin{center}
+Un morphisme de $k$-variétés affines $X \to Y$ est la même chose qu'un
+morphisme de $k$-algèbres $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$.
+\end{center}
+
+Concrètement, avec les notations ci-dessus, le morphisme
+$\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ serait celui qui envoie un élément
+$h \in \mathcal{O}(Y)$ sur $h(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$.
+Réci\-pro\-quement, donné un morphisme $\varphi\colon \mathcal{O}(Y) \to
+\mathcal{O}(X)$ d'anneaux, le morphisme $X \to Y$ qui lui correspond
+est celui qui à un point $x \in X$ associe le $y \in Y$ défini par
+$h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h \in \mathcal{O}(Y)$.
+
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