From 17250277bd970a7b95b31c3f4bc37d05045580bb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Thu, 20 May 2010 16:34:03 +0200 Subject: More clarifications on morphisms, closed immersions, restrictions... --- notes-geoalg.tex | 77 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------------ 1 file changed, 61 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 4ad730d..c7ef761 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1017,6 +1017,16 @@ Avec les notations ci-dessus : \end{itemize} \end{prop} +\smallbreak + +Soulignons en particulier que si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$ +(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal +de $\mathcal{O}(X)$), alors la surjection canonique $\mathcal{O}(X) +\to \mathcal{O}(X)/I$ est un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to +\mathcal{O}(X')$ qu'il faut interpréter comme envoyant une fonction +régulière $f$ sur $X$ sur sa \emph{restriction} à $X'$, parfois +notée $f|_{X'}$. + % \subsection{Points à valeurs dans une $k$-algèbre} @@ -1140,12 +1150,13 @@ Un morphisme de $k$-variétés algébriques affines $f\colon X \to Y$ est \end{center} Concrètement, avec les notations ci-dessus, le morphisme -$\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ serait celui qui envoie un élément -$h \in \mathcal{O}(Y)$ sur $h(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$. -Réci\-pro\-quement, donné un morphisme $\varphi\colon \mathcal{O}(Y) \to -\mathcal{O}(X)$ d'anneaux, le morphisme $X \to Y$ qui lui correspond -est celui qui à un point $x \in X$ associe le $y \in Y$ défini par -$h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h \in \mathcal{O}(Y)$. +$\mathcal{O}(Y) \buildrel f^*\over \to \mathcal{O}(X)$ serait celui +qui envoie un élément $h \in \mathcal{O}(Y)$ sur $h(f_1,\ldots,f_e) +\in \mathcal{O}(X)$. Réciproquement, donné un morphisme +$\varphi\colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ d'anneaux, le +morphisme $X \to Y$ qui lui correspond est celui qui à un point $x \in +X$ associe le $y \in Y$ défini par $h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h +\in \mathcal{O}(Y)$. \smallbreak @@ -1172,14 +1183,18 @@ par différentes données plus ou moins équivalentes : \item un élément de $Y(\mathcal{O}(X))$, \item un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$, \item pour chaque $k$-algèbre $A$, une application $X(A) \buildrel - f(A)\over\to Y(A)$ telle que si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est un - morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) \buildrel - X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et $X(A) - \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$ + f(A)\over\to Y(A)$ telle que : si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est + un morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) + \buildrel X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et + $X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$ coïncident (cf. lemme de Yoneda). \end{itemize} On aura tendance à confondre silencieusement tout ou partie de ces -objets. +objets. Par ailleurs, on a tendance à appeler $x \mapsto +(f_1(x),\ldots,f_e(x))$ le morphisme, comme s'il s'agissait simplement +d'une application (il faut considérer ça comme une application de +$X(k)$ vers $Y(k)$ définissant le morphisme ou, mieux, de $X(A)$ vers +$Y(A)$ pour toute $k$-algèbre $A$). Certaines de ces présentations ne se généraliseront pas (si $k$ n'est pas algébriquement clos, si la variété n'est plus affine...) : la @@ -1187,11 +1202,12 @@ dernière est, de ce point de vue, la plus robuste. \smallbreak -\textbf{Un exemple :} Considérons $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in -k[x,y]$ (anneau des polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps -algébriquement clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$. -On a $\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) -= k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$ +\textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$, +c'est-à-dire $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in k[x,y]$ (anneau des +polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps algébriquement +clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$. On a +$\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) = +k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$ par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to \mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto @@ -1199,6 +1215,35 @@ x^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans l'image de $f^*$. Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une bijection au niveau des $k$-points. +Considérons la courbe $C^\sharp$ (la « cubique gauche » affine) +d'équations $y = z^3$ et $x = z^2$, c'est-à-dire $C^\sharp = +Z(x-z^2,\penalty-100 y-z^3)$. On a un morphisme $\mathbb{A}^1 \to +C^\sharp$ envoyant $t$ sur $(t^2, t^3, t)$ : cette fois, ce morphisme +est un isomorphisme, et sa réciproque est donnée par $(x,y,z) \mapsto +z$. L'anneau $\mathcal{O}(C^\sharp) = k[x,y,z]/(x-z^2,\penalty-100 +y-z^3)$ est isomorphe à $k[t]$. Par ailleurs, le morphisme +$\mathbb{A}^1 \to C$ décrit au paragraphe précédent peut être vu comme +la composée de l'isomorphisme $\mathbb{A}^1 \to C^\sharp$ et de la +projection $C^\sharp \to C$ décrite par $(x,y,z) \mapsto (x,y)$. + +\smallbreak + +Si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$, on a expliqué qu'il y avait +naturellement un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to +\mathcal{O}(X')$ (consistant à restreindre à $X'$ une fonction +régulière sur $X$) : le morphisme de variétés algébriques $X' \to X$ +qui lui est associé est tout simplement le morphisme d'inclusion de +$X'$ dans $X$, qu'on appelle \textbf{immersion fermée} ou +\textbf{plongement} de la sous-variété fermée $X'$ dans $X$. + +De façon très liée, si $f \colon X\to Y$ est un morphisme de +$k$-variétés on peut, dans ce contexte, définir la restriction de $f$ +à $X'$ (parfois notée $f|_{X'}$) comme la composée $X' \to X \to Y$ où +$X' \to X$ est l'immersion de $X'$ dans $X$ ; si on voit $f$ comme +défini par $e$ fonctions régulières sur $X$ (c'est-à-dire $Y$ plongé +dans $\mathbb{A}^e$), les fonctions définissant $f|_{X'}$ sont +simplement $f_1|_{X'},\ldots,f_e|_{X'}$. + % \subsection{Ouverts de Zariski et variétés quasi-affines} -- cgit v1.2.3