From 1884dc8c332f69538976b4c3a68ae4170d8448c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Mon, 10 May 2010 18:23:44 +0200 Subject: Some prolegomena in commutative algebra. --- notes-mdi349.tex | 236 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 232 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex index 0a09f2a..b05507e 100644 --- a/notes-mdi349.tex +++ b/notes-mdi349.tex @@ -16,6 +16,7 @@ \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix} % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection] @@ -32,12 +33,21 @@ \newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}} \newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}} \newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} -\newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} -\newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} +\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% % % \begin{document} @@ -186,9 +196,227 @@ $\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !) % % -\section{TODO} +\section{Prolégomènes d'algèbre commutative} + +\subsection{Anneaux réduits, intègres} + +Anneau \textbf{réduit} = anneau dans lequel $x^n = 0$ implique $x = +0$. En général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel que $x^n = 0$ pour un +certain $n \in \mathbb{N}$ s'appelle un élément \textbf{nilpotent}. + +Anneau \textbf{intègre} = anneau non nul dans lequel $xy = 0$ implique +$x=0$ ou $y=0$ (remarque : la réciproque vaut dans tout anneau). En +général, un $x$ (dans un anneau $A$) tel qu'il existe $y \neq 0$ tel +que $xy = 0$ s'appelle un \textbf{diviseur de zéro}. + +Élément \textbf{inversible} (ou \emph{unité}) d'un anneau $A$ = +élément $x$ tel qu'il existe $y$ vérifiant $xy = 1$. L'ensemble +$A^\times$ ou $\mathbb{G}_m(A)$ des tels éléments forme un +\emph{groupe}, appelé groupe multiplicatif des inversibles de $A$. Un +\textbf{corps} est un anneau tel que $A^\times = A\setminus\{0\}$. + +Un corps est un anneau intègre. Un anneau intègre est un anneau +réduit. + +\smallbreak + +Idéal \textbf{maximal} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{m} \neq +A$ tel que si $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}'$ (avec +$\mathfrak{m}'$ un autre idéal) alors soit +$\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ soit $\mathfrak{m}'=A$). Propriété +équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{m}$ tel que $A/\mathfrak{m}$ +soit un corps. + +Idéal \textbf{premier} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{p} \neq +A$ tel que si $x,y\not\in\mathfrak{p}$ alors $xy \not\in +\mathfrak{p}$. Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{p}$ +tel que $A/\mathfrak{p}$ soit intègre. + +Idéal \textbf{radical} d'un anneau $A$ = un idéal $\mathfrak{r}$ tel +que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$. Propriété +équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$ +soit réduit. + +% +\subsection{Modules} + +Un \textbf{module} $M$ sur un anneau $A$ est un groupe abélien muni +d'une multiplication externe $A \times M \to M$ vérifiant : +\begin{itemize} +\item $a(x+y) = ax + ay$ +\item $1x = x$ +\item $(ab)x = a(bx)$ +\item $(a+b)x = ax + bx$ +\end{itemize} +(Exercice : $a0 = 0$, $a(-x) = -(ax)$, $0x = x$, $(-a)x = -(ax)$...) + +Un \textbf{sous-module} $M'$ d'un module $M$ est un sous-groupe $M'$ +de $M$ tel que $ax \in M'$ dès que $x\in M'$ et $a\in A$. + +Tout anneau est un module sur lui-même de façon évidente. Un +sous-$A$-module de $A$ est la même chose qu'un idéal de $A$. Si $B$ +est une $A$-algèbre, c'est-à-dire si on se donne un morphisme +d'anneaux $A \buildrel\varphi\over\to B$, on peut voir $B$ comme un +$A$-module (par $a\cdot b = \varphi(a)\,b$). + +Module de type fini = il existe une famille \emph{finie} $(x_i)$ +d'éléments de $M$ qui engendre $M$ comme $A$-module, c'est-à-dire que +tout $x \in M$ peut s'écrire $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in +A$. + +Module libre = il existe une base $(x_i)$, c'est-à-dire une famille +(non né\-ces\-sairement finie) telle que tout $x \in M$ peut s'écrire +$\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$ tous nuls sauf un nombre +fini et \emph{uniquement définis} (c'est-à-dire que $\sum_i a_i x_i = +0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$). -Prolégomènes d'algèbre commutative (localisation...). +% +\subsection{Anneaux noethériens} + +Anneau \textbf{noethérien} : c'est un anneau $A$ vérifiant les +proprités équivalentes suivantes : +\begin{itemize} +\item toute suite croissante pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1 + \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ d'idéaux de $A$ stationne + (c'est-à-dire est constante à partir d'un certain rang) ; +\item tout idéal $I$ de $A$ est de type fini : il existe une famille + \emph{finie} $(x_i)$ d'éléments de $I$ qui engendre $I$ comme idéal + (= comme $A$-module) (c'est-à-dire que tout $x \in I$ peut s'écrire + $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$) ; +\item plus précisément, si $I$ est l'idéal engendré par une famille + $x_i$ d'éléments, on peut trouver une sous-famille finie des $x_i$ + qui engendre le même idéal $I$ ; +\item un sous-module d'un $A$-module de type fini est de type fini. +\end{itemize} + +L'essentiel des anneaux utilisés en géométrie algébrique (en tout cas, +auxquels on aura affaire) sont noethériens. L'anneau $\mathbb{Z}$ est +noethérien. Tout corps est un anneau noethérien. Tout quotient d'un +anneau noethérien est noethérien (attention : il n'est pas vrai qu'un +sous-anneau d'un anneau noethérien soit toujours noethérien). Et +surtout : +\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert] +Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à +une indéterminée sur $A$ est noethérien. +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal. Supposons par l'abusrde que $I$ +n'est psa de type fini. On construit par récurrence une suite +$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit. Si +$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal +$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut +choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$ +non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$. + +Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$. Comme $A$ est +supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$ +engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$. Montrons qu'en +fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une +contradiction). + +On peut écrire $a_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$. Par +ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun +de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers. On peut donc +construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m - + \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$, +et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$. Alors, $f_m - g$ est de +degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas +à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix +de $f_m$. +\end{proof} + +En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors +$A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$. Comme un +quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien : + +\begin{defn} +Une $A$-algèbre $B$ est dite \emph{de type fini} (comme $A$-algèbre) +lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ tel que tout élément de $B$ +s'écrive $f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in +A[t_1,\ldots,t_d]$. +\end{defn} + +\danger\textbf{Attention :} Cela ne signifie pas que $B$ soit de type +fini comme $A$-module. Lorsque c'est le cas, on dit que $B$ est une +$A$-algèbre \emph{finie}, ce qui est plus fort car cela signifie que +$f$ serait de degré $1$. (Par exemple, $k[t]$ est une $k$-algèbre de +type fini, mais pas finie.) + +\begin{cor} +Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier +sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, est un anneau noethérien. +\end{cor} + +% +\subsection{Notes sur les morphismes} + +Si $A,B$ sont deux $k$-algèbres (où $k$ est un anneau), c'est-à-dire +qu'on se donne deux morphismes $\varphi_A \colon k\to A$ et $\varphi_B +\colon k\to B$, on note $\Hom_k(A,B)$ l'ensemble des morphismes de +$k$-algèbres $A\to B$, c'est-à-dire l'ensemble des morphismes +d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ « au-dessus de $k$ », ou faisant +commuter le diagramme : +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[auto] +\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{ +A&&B\\&k&\\}; +\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\varphi_A$} (diag-1-1); +\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$\varphi_B$} (diag-1-3); +\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\psi$} (diag-1-3); +\end{tikzpicture} +\end{center} + +Remarque : une $\mathbb{Z}$-algèbre est la même chose qu'un anneau, et +un morphisme de $\mathbb{Z}$-algèbres qu'un morphisme d'anneaux. + +\begin{prop} +\begin{itemize} +\item $\Hom_k(k,A)$ est un singleton pour toute $k$-algèbre $A$. +\item $\Hom_k(k[t],A)$ est en bijection avec $A$ en envoyant + $\psi\colon k[t]\to A$ sur $\psi(t)$. +\item De même, $\Hom_k(k[t_1,\ldots,t_d],A)$ est en bijection avec + l'ensemble $A^d$ (en envoyant $\psi$ sur + $(\psi(t_1),\ldots,\psi(t_d))$). +\item Si $I = (f_1,\ldots,f_r)$ est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ et + si $R = k[t_1,\ldots,t_d]/I$, alors $\Hom_k(R, A)$ est en bijection + avec l'ensemble $\{(x_1,\ldots,x_d) \in A^d :\penalty0 (\forall + j)\,f_j(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$ (noté $V(I)(A)$ ou $V_A(I)$). +\end{itemize} +\end{prop} + +\textbf{Exercice :} Si on note $k[x,x^{-1}] = k[x,y]/(xy-1)$, à quoi +peut-on identifier l'ensemble $\Hom_k(k[x,x^{-1}], A)$ ? + +Si $\beta\colon B \to B'$, on définit une application +$\Hom_k(A,\beta)\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A,B')$ par $\psi \mapsto +\beta\circ\psi$ ; si $\alpha \colon A' \to A$ (attention au sens de la +flèche !), on définit de même une application $\Hom_k(\alpha,B) \colon +\Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B)$ par $\psi \mapsto \psi\circ\alpha$. Ces +applications $\Hom_k(A,\beta)$ et $\Hom_k(\alpha,B)$ commutent au sens +où $\Hom_k(\alpha,B') \circ \Hom_k(A,\beta) = \Hom_k(A',\beta) \circ +\Hom_k(\alpha,B) \penalty0\colon \Hom_k(A,B) \to \Hom_k(A',B')$ (c'est +trivial : composer $\psi$ à droite par $\alpha$ puis à gauche +par $\beta$ revient à le composer à gauche par $\beta$ puis à droite +par $\alpha$). De façon à peine moins triviale : + +\begin{prop}[lemme de Yoneda] +Soient $B,B'$ deux $k$-algèbres. On suppose que pour toute +$k$-algèbre $A$ on se donne une application $\beta_A\colon \Hom_k(A,B) +\to \Hom_k(A,B')$ telle que si $\alpha\colon A'\to A$ alors +$\Hom_k(\alpha,B') \circ \beta_A = \beta_{A'} \circ \Hom_k(\alpha,B)$. +Alors il existe un unique morphisme $\beta\colon B \to B'$ de +$k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$. +\end{prop} +\begin{proof} +Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ ! +\end{proof} + + +% +% +% + +\section{TODO} Crash-course de théorie de Galois. -- cgit v1.2.3