From 2e0ace9dbbcf900b20cb81bbf52ff068abf42a37 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Mon, 9 May 2011 14:49:07 +0200 Subject: More about morphisms. --- notes-geoalg-2011.tex | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---- 1 file changed, 96 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index 1e46b5c..cac3dcf 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -629,7 +629,7 @@ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, à savoir l'idéal $I = \mathfrak{I}(X)$ des polynômes s'annulant sur $X$, tel que $X = Z(I)$. Le quotient $k[t_1,\ldots,t_d] / I$ (qui est donc un anneau réduit, et intègre ssi $X$ est irréductible) s'appelle l'\emph{anneau des fonctions - régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$. + régulières} sur $X$ et se note $\mathcal{O}(X)$ (ou parfois $k[X]$). Pourquoi fonctions régulières ? On peut considérer un élément $f \in \mathcal{O}(X)$ comme une fonction $X \to k$ de la façon suivante : si @@ -651,6 +651,8 @@ tout simplement, \emph{les restrictions à $X$ des fonctions Dans le cas où $X = \mathbb{A}^d = k^d$ tout entier (donc $I = (0)$), évidemment, $\mathcal{O}(\mathbb{A}^d) = k[t_1,\ldots,t_d]$. +\smallbreak + On définit un \textbf{fermé de Zariski de $X$} comme un fermé de Zariski de $k^d$ qui se trouve être inclus dans $X$. La bonne nouvelle est que la correspondance entre fermés de Zariski de $k^d$ et @@ -706,13 +708,13 @@ $\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières, qui coïncide avec l'ensemble des fonctions $X \to k$ qui sont restrictions de fonctions polynomiales sur $k^d$. -On appelle \textbf{morphisme de variétés algébriques affines} entre un -fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ et un fermé de Zariski $Y \subseteq -k^e$ une application $X \to Y$ telle que chacune des $e$ coordonnées à -l'arrivée soit une fonction régulière sur $X$. Autrement dit, il -s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$ de -$\mathcal{O}(X)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout $x -\in X$. +On appelle \textbf{morphisme de variétés algébriques affines} sur $k$ +entre un fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ et un fermé de Zariski $Y +\subseteq k^e$ une application $X \to Y$ telle que chacune des $e$ +coordonnées à l'arrivée soit une fonction régulière sur $X$. +Autrement dit, il s'agit de la donnée de $e$ éléments $f_1,\ldots,f_e$ +de $\mathcal{O}(X)$ tels que $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ pour tout +$x \in X$. \begin{prop} Si $X = Z(I) \subseteq k^d$ et $Y = Z(J) \subseteq k^e$, et si $(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)$, alors $f = (f_1,\ldots,f_e)$ @@ -775,6 +777,92 @@ dans $\mathcal{O}(Y)$) donc $f_1,\ldots,f_e$ définissent bien un morphisme $X \to Y$. \end{proof} +\smallbreak + +Une fois qu'on dispose de cette notion de morphisme, on peut par +exemple dire que deux variétés algébriques affines $X,Y$ sont +\textbf{isomorphes} lorsqu'il existe des morphismes $X \to Y$ et $Y +\to X$ dont la composée chaque sens est l'identité. Ceci signifie, +tout simplement, que les $k$-algèbres $\mathcal{O}(X)$ et +$\mathcal{O}(Y)$ sont isomorphes. + +Ceci justifie partiellement la différence de terminologie entre +« fermé de Zariski » (dans $k^d$) et « variété algébrique affine » +(sur $k$) : dans le premier cas, on insiste sur $X$ en tant que partie +de $k^d$, tandis que dans le second cas on la considère \emph{à + isomorphisme près} de variété algébrique affine (sur $k$). + +\smallbreak + +\textbf{Exemples :} Considérons la courbe d'équation $y^2 = x^3$, +c'est-à-dire $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in k[x,y]$ (anneau des +polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps algébriquement +clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$. On a +$\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1) = +k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$ +par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme +d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to +\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto +x^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans +l'image de $f^*$. Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une +bijection au niveau des $k$-points. + +Considérons la courbe $C^\sharp$ (la « cubique gauche » affine) +d'équations $y = z^3$ et $x = z^2$, c'est-à-dire $C^\sharp = +Z(x-z^2,\penalty-100 y-z^3)$. On a un morphisme $\mathbb{A}^1 \to +C^\sharp$ envoyant $t$ sur $(t^2, t^3, t)$ : cette fois, ce morphisme +est un isomorphisme, et sa réciproque est donnée par $(x,y,z) \mapsto +z$. L'anneau $\mathcal{O}(C^\sharp) = k[x,y,z]/(x-z^2,\penalty-100 +y-z^3)$ est isomorphe à $k[t]$. Par ailleurs, le morphisme +$\mathbb{A}^1 \to C$ décrit au paragraphe précédent peut être vu comme +la composée de l'isomorphisme $\mathbb{A}^1 \to C^\sharp$ et de la +projection $C^\sharp \to C$ décrite par $(x,y,z) \mapsto (x,y)$. + +Sur le cercle $C = Z(x^2+y^2-1)$ (pas le même $C$ que dans les deux +paragraphes précédents), si $k$ est de caractéristique $\neq 5$, on +peut définir le morphisme $C \to C$ de « rotation + d'angle $\arctan\frac{3}{4}$ » (terminologie abusive si $k$ n'est +pas un corps contenant $\mathbb{R}$) ou « multiplication par le + point $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ » par $(x,y) \mapsto (\frac{4}{5}x +- \frac{3}{5}y, \frac{3}{5}x + \frac{4}{5}y)$. C'est un isomorphisme +de $C$ avec lui-même. On pourrait définir l'opération de composition +$C \times C \to C$ par $((x,y),(x',y')) \mapsto (xx'-yy', xy'+yx')$ +mais il faudrait pour cela avoir défini le produit de deux variétés +(pour donner un sens à $C \times C$), ce qu'on n'a pas encore fait. + +\medbreak + +\textbf{Variétés algébriques affines abstraites, et le spectre d'une + algèbre.} + +\textbf{Note :} On considère que deux variétés algébriques (affines) +sont « la même » lorsqu'elle sont isomorphes, alors que deux fermés de +Zariski sont « le même » lorsqu'ils sont égaux dans le $\mathbb{A}^d$ +dans lequel ils vivent. Par exemple, la cubique gauche $C^\sharp$ +décrite ci-dessus, en tant que fermé de Zariski, n'est pas une droite, +mais en tant que variété algébrique affine c'est juste $\mathbb{A}^1$ +puisqu'on a montré qu'elle lui était isomorphe. Ou, si on préfère, un +fermé de Zariski de $\mathbb{A}^d$ est la donnée d'une variété +algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci +dans $\mathbb{A}^d$. + +Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on +rappelle, cf. \ref{finite-type-algebras}, que cela signifie que $R$ +est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments +$x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient +de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier) +et si $R$ est réduite, alors on peut voir $R$ comme l'anneau +$\mathcal{O}(X)$ pour une certaine variété algébrique $X$, à savoir le +$X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ défini par les équations +$f_1=0,\ldots,\penalty-100 f_r=0$ dans $\mathbb{A}^d$. Cette variété +est unique en ce sens que toutes les variétés $X$ telles que +$\mathcal{O}(X) = R$ sont isomorphes (puisque leurs $\mathcal{O}(X)$ +sont isomorphes, justement). On peut donc donner un nom à $X$ : c'est +le \textbf{spectre} de $R$, noté $\Spec R$. (Par exemple, $\Spec k[t] += \mathbb{A}^1_k$ et plus généralement $\Spec k[t_1,\ldots,t_d] = +\mathbb{A}^d_k$. Et bien sûr, $\Spec k$ est vu comme un point. Quant +à l'ensemble vide, c'est $\Spec 0$ où $0$ est l'anneau nul.) + % -- cgit v1.2.3