From 583b96694189521a2d51c1d85dd0edddfe396ccb Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 4 Jun 2010 13:48:36 +0200
Subject: Corrections/additions noted during course on 2010-06-04.
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@@ -2595,7 +2595,7 @@ de degré $\ell$ en $x,y$, plus $z$ fois un polynôme de degré $\ell-1$
en $x,y$ : leur dimension est donc $2\ell+1$ (une base est donnée par
$x^\ell,\penalty100 x^{\ell-1}y,\ldots,\penalty200 y^\ell,\penalty-100
x^{\ell-1}z,\penalty100 x^{\ell-2}yz,\ldots,\penalty200 y^{\ell-1}z$),
-donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2(\ell+1)$.
+donc le polynôme de Hilbert-Samuel vaut $2\ell+1$.
%
@@ -2700,8 +2700,8 @@ on convient que la dimension du vide est $-1$.)
\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]\label{hauptidealsatz}
Soit $X$ une variété irréductible de dimension $d$ et $f \in
\mathcal{O}(X)$ un élément qui n'est pas inversible (c'est-à-dire
-$Z(f) \neq\varnothing$). Alors chaque composante irréductible de
-$Z(f)$ est de dimension $d-1$.
+$Z(f) \neq\varnothing$) et pas nul. Alors chaque composante
+irréductible de $Z(f)$ est de dimension $d-1$.
Variante projective : si $X$ est une variété irréductible de
dimension $d$ dans $\mathbb{P}^e$ et $f$ homogène non constant (en
@@ -2717,13 +2717,43 @@ c'est-à-dire que sur $k$ corps algébriquement clos, les $r$ équations
$f_i=0$ ont une solution (non-nulle) commune.
\end{cor}
-De plus, $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est de dimension \emph{au moins} $d-r$.
+De plus, $Z(f_1,\ldots,f_r)$ est de dimension \emph{au moins} $e-r$.
Il peut évidemment être de dimension plus grande (les $f_i$ pourraient
être tous égaux, par exemple). Lorsqu'il est exactement de dimension
-$d-r$, on dit que les $f_i$ sont \emph{en intersection complète}
+$e-r$, on dit que les $f_i$ sont \emph{en intersection complète}
(projective, globale). Lorsque c'est le cas, on peut être plus
précis : le terme dominant de la fonction de Hilbert-Samuel de
-$Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(d-r)!} \ell^{d-r}$.
+$Z(f_1,\ldots,f_r)$ est $\frac{\prod_i \deg f_i}{(e-r)!} \ell^{e-r}$.
+
+\begin{cor}
+Si $X$ est une variété algébrique (quasiprojective) irréductible de
+dimension $d$, alors le seul fermé $Y$ de $X$ tel que $\dim Y = d$ est
+$X$ lui-même. Par ailleurs, il existe toujours des fermés
+irréductibles $Y$ de dimension $d-1$ dans $X$.
+
+(Autrement dit, on peut définir la dimension de $X$ comme $1 +
+\max\dim Y$ où le $\max$ est pris sur tous les fermés irréductibles
+de $X$.)
+\end{cor}
+
+\begin{thm}
+Si $X$ et $Y$ sont des variétés algébriques (quasiprojectives), alors
+$\dim (X\times Y) = \dim X + \dim Y$. (Remarque : si $X$ et $Y$ sont
+irréductibles alors $X \times Y$ l'est.)
+
+Plus généralement : soit $f\colon Z\to X$ un morphisme de variétés
+algébriques (quasiprojectives) irréductibles, surjectif (au sens où
+pour tout $x \in X(k)$, pour $k$ algébriquement clos, il existe $z \in
+Z(k)$ tel que $x = f(z)$, cf. la section suivante), et soit $d = \dim
+X$ et $e = \dim Z$. Alors $e \geq d$, et de plus :
+\begin{itemize}
+\item Si $x \in X$, alors toute composante de $f^{-1}(x)$ (cf. section
+ suivante) est de dimension \emph{au moins} $e-d$.
+\item Il existe un ouvert non vide (donc dense) $U \subseteq X$ tel
+ que $\dim f^{-1}(x) = e - d$ (au sens où toute composante
+ irréductible de $f^{-1}(x)$ a cette dimension) si $x \in U$.
+\end{itemize}
+\end{thm}
%
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