From 5a3f467eafbe9962d927804b12840ef93b3292ea Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 3 Jun 2010 23:35:34 +0200
Subject: Tangent space and smoothness.

---
 notes-geoalg.tex | 128 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
 1 file changed, 125 insertions(+), 3 deletions(-)

diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex
index 124b809..c87d682 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -2697,7 +2697,7 @@ non-vides.
 plus grande dimension d'une composante irréductible de $X$.  Parfois
 on convient que la dimension du vide est $-1$.)
 
-\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]
+\begin{thm}[Hauptidealsatz de Krull]\label{hauptidealsatz}
 Soit $X$ une variété irréductible de dimension $d$ et $f \in
 \mathcal{O}(X)$ un élément qui n'est pas inversible (c'est-à-dire
 $Z(f) \neq\varnothing$).  Alors chaque composante irréductible de
@@ -2760,6 +2760,130 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
 \end{thm}
 
 
+%
+\subsection{Vecteurs tangents et points lisses}
+
+Si $X$ est une variété quasiprojective sur un corps (algébriquement
+clos) $k$, on appelle \textbf{vecteur tangent} à $X$ un élément de
+$X(k[\varepsilon])$ où $k[\varepsilon]$ est la $k$-algèbre
+$k[t]/(t^2)$ (on note $\varepsilon$ la classe de $t$ dans cette
+algèbre, c'est-à-dire que $\varepsilon^2 = 0$).  Le \emph{point-base}
+de ce vecteur tangent est l'image de cet élément par l'application
+$X(k[\varepsilon]) \to X(k)$ qui résulte du morphisme d'anneaux
+$k[\varepsilon] \to k$ envoyant $\varepsilon$ sur $0$ ; si $x$ est ce
+point base, on dit aussi qu'on a affaire à un vecteur tangent à $X$
+\emph{en} $x$.  L'ensemble des vecteurs tangents à $X$ en $x$ est noté
+$T_x X$ et s'appelle \emph{espace tangent} à $X$ en $x$.
+
+On peut voir les choses plus concrètement en passant en affine :
+l'espace tangent à $X$ en $x$ est le même que l'espace tangent en $x$
+à n'importe quel voisinage affine de $x$, donc on peut faire tout
+calcul en supposant que $X$ est affine.  Si $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$
+est défini\footnote{Ce genre d'affirmation, ici et ailleurs,
+  sous-entend toujours que l'idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ est réduit, sauf
+  si on est prêt à considérer $X$ comme un schéma et pas juste comme
+  une variété, ce qui dépasse le cadre de ce cours.} par les équations
+$f_i = 0$ dans $\mathbb{A}^d$ alors un point tangent à $X$ peut
+s'écrire $(x_1+v_1 \varepsilon,\ldots, x_d + v_d\varepsilon)$ où
+$(x_1,\ldots,x_d) \in X(k)$ (i.e. $f_i(x_1,\ldots,x_d) = 0$ pour
+tout $i$) sont les coordonnées du point-base, et où $\sum_{j=1}^d v_j
+\frac{\partial f_i}{\partial t_j}(x_1,\ldots,x_d) = 0$ : autrement
+dit, les $v_i$ appartiennent au noyau de la matrice des dérivées
+partielles des équations de $X$.  Ceci permet de dire, en le voyant
+comme le noyau en question, que $T_x X$ est un \emph{espace vectoriel}
+pour chaque $x$ donné (implicitement dans cette affirmation il y a
+celle que la structure d'espace vectoriel ne dépend pas du voisinage
+affine dans lequel on a considéré les coordonnées) ; sa dimension est
+$d - r$ où $r$ est le rang de la matrice des $\frac{\partial
+  f_i}{\partial t_j}(x_1,\ldots,x_d)$.
+
+\medbreak
+
+\begin{prop}
+Si $X$ est une variété irréductible sur un corps $k$ (algébriquement
+clos), pour tout $x \in X(k)$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$.
+\end{prop}
+
+Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit
+d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$
+(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que
+peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou
+\textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$.  Lorsque tout
+point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit
+que $X$ lui-même est lisse (ou régulier) (sur son corps de base).
+
+(Pour une variété réductible, un point situé sur une seule composante
+irréductible est dit lisse lorsqu'il est lisse sur la composante en
+question ; et un point situé sur plusieurs composantes irréductibles à
+la fois n'est jamais lisse --- on peut prendre ça comme définition ou
+le montrer en prenant comme définition de la lissité le fait que la
+dimension de l'espace tangent au point considéré soit égale à la plus
+grande dimension d'une composante irréductible passant par ce point.)
+
+\begin{prop}
+Soit $X$ une variété quasiprojective sur un corps (algébriquement
+clos) $k$ : alors les points lisses de $X(k)$ forment un ouvert de
+Zariski.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+L'affirmation est locale, donc on peut supposer $X$ affine.  Si $X$
+est de codimension $r$ (c'est-à-dire de dimension $d-r$
+dans $\mathbb{A}^d$), le fait que $x$ soit lisse se traduit par le
+fait que la matrice des dérivées partielles en $x$ des équations
+définissant $X$ est de rang \emph{au moins} $r$ (sachant qu'elle ne
+peut pas être strictement supérieure).  Or ceci se traduit par le fait
+qu'il existe un mineur $r\times r$ de cette matrice qui ne s'annule
+pas : la réunion des ouverts définis par tous les mineurs $r\times r$
+(qui sont bien polynomiaux dans les variables) donne bien une
+condition ouverte de Zariski.
+\end{proof}
+
+\begin{rmk}
+\begin{itemize}
+\item D'après \ref{hauptidealsatz}, une hypersurface $Z(f)$
+  dans $\mathbb{A}^d$, pour $f$ non constant, est de dimension $d-1$,
+  donc elle est lisse ssi aucun point de $Z(f)$ n'annule simultanément
+  les $d$ dérivées partielles de $f$.  Grâce au Nullstellensatz, ceci
+  peut encore se reformuler en : $Z(f)$ est lisse ssi les polynômes
+  $f$ et $\frac{\partial f}{\partial t_i}$ (soit $d+1$ polynômes au
+  total) engendrent l'idéal unité de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
+\item Variante projective : pour $f$ homogène de degré non nul dans
+  $k[t_0,\ldots,t_d]$, on peut montrer que $Z(f) \subseteq
+  \mathbb{P}^d$ est lisse ssi les polynômes $\frac{\partial
+    f}{\partial t_i}$ n'ont aucun zéro commun sur $k$ (algébriquement
+  clos !), car un zéro commun des $\frac{\partial f}{\partial t_i}$
+  est forcément zéro de $f = \sum_{i=0}^d t_i \frac{\partial
+    f}{\partial t_i}$.  Grâce au Nullstellensatz projectif, on peut
+  encore reformuler cela en : les $\frac{\partial f}{\partial t_i}$
+  engendrent un idéal irrelevant.
+\item Quand $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ (affine, disons
+  dans $\mathbb{A}^d$) est définie par plusieurs polynômes
+  $f_1,\ldots,f_r$, \emph{si} la matrice $\frac{\partial f_i}{\partial
+    t_j}$ est de rang $r$ en un point de $X = Z(f_1,\ldots,f_r)$, on
+  peut conclure que ce point est lisse et que $X$ est de
+  dimension $d-r$.  En revanche, lorsque le rang est plus petit
+  que $r$, on ne peut pas conclure sauf en connaissant la dimension
+  de $X$.
+\end{itemize}
+\end{rmk}
+
+\begin{prop}
+Soit $X$ une variété\footnote{Ici, le mot « variété » est
+  particulièrement important : beaucoup de définitions ou concepts
+  introduits ailleurs fonctionneraient aussi pour un schéma,
+  c'est-à-dire un objet défini par un idéal non radical, mais ici ce
+  n'est pas le cas.} quasiprojective sur un corps (algébriquement
+clos) $k$ : alors il existe un point lisse de $X(k)$ --- par
+conséquent, il existe un ouvert dense de points lisses.
+\end{prop}
+
+Ceci permet parfois de calculer la dimension d'une variété, en
+reformulant en : la dimension d'une variété irréductible $X$ est le
+\emph{minimum} des dimensions des espaces vectoriels $T_x X$ (donc,
+dans $\mathbb{A}^d$, la codimension est le plus grand rang possible
+que prend la matrice des dérivés partielles).
+
+
 
 %
 %
@@ -2981,8 +3105,6 @@ il n'y a pas besoin de passer à la clôture algébrique).
 
 \section{TODO}
 
-Un peu de théorie de la dimension.  Un chouïa de calcul différentiel ?
-
 Bases de Gröbner.
 
 Courbes et corps de dimension $1$.  But : arriver à Riemann-Roch.
-- 
cgit v1.2.3