From 5b439274a77c840d8126aba0667c2637b932ad2f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Fri, 4 Jun 2010 14:03:40 +0200
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@@ -2663,11 +2663,30 @@ une équation $g(z_{i0},\cdots,z_{ie}) = 0$ pour chaque $i$.
 %
 \subsection{La dimension}
 
-\textbf{Rappel :} Si $K$ est un corps contenant un corps $k$, on
-appelle \textbf{degré de transcendance} de $K$ sur $k$ et on note
-$\degtrans_k(K)$ le cardinal de n'importe quelle base de transcendance
-de $K$ sur $k$ (ensemble maximal d'éléments algébriquement
-indépendants de $K$) : il ne dépend pas du choix de celle-ci.
+\textbf{Rappel :} Si $K$ est un corps contenant un corps $k$, on dit
+que des éléments $x_i$ de $K$ sont \textbf{algébriquement
+  indépendants} (comprendre : « collectivement transcendants »)
+sur $k$ lorsque les seuls polynômes $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que
+$f(x_{i_1},\ldots,x_{i_d}) = 0$ pour certains $i_1,\ldots,i_d$ deux à
+deux distincts sont les polynômes nuls.  Ceci est équivalent au fait
+que le sous-corps $k(x_i)$ de $K$ engendré par les $x_i$ avec $k$ est
+isomorphe au corps des fractions rationnelles sur autant
+d'indéterminées que de $x_i$ (il est plus simple de penser au cas où
+les $x_i$ sont en nombre fini, qui nous suffira).  On appelle
+\textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ un ensemble maximal
+d'éléments algébriquement indépendants, c'est-à-dire, un ensemble de
+$x_i$ algébriquement indépendants sur $k$ et tels que $K$ soit
+algébrique sur le sous-corps $k(x_i)$ qu'ils engendrent au-dessus
+de $k$.  Une base de transcendance de $K$ sur $k$ existe toujours, et
+toutes ont le même cardinal : on appelle celui-ci \textbf{degré de
+  transcendance} de $K$ sur $k$ et on le note $\degtrans_k(K)$.
+
+Par exemple, $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_d) = d$ (où
+$k(t_1,\ldots,t_d)$ désigne le corps des fractions rationnelles en $d$
+indéterminées sur $k$).  Lorsque $K$ est algébrique sur $k$, on a
+$\degtrans_k K = 0$ et réciproquement.  Par ailleurs, lorsque $k
+\subseteq K \subseteq L$ sont trois corps, on a toujours $\degtrans_k L
+= \degtrans_k K + \degtrans_K L$.
 
 \begin{defn}
 Si $X$ est une variété \emph{irréductible} sur $k$, on appelle
@@ -2679,7 +2698,8 @@ $X$ est une variété affine irréductible, $k(X)$ est le corps des
 fractions (noté $k(X)$) de $\mathcal{O}(X)$ (=l'anneau des fonctions
 régulières sur $X$, qui est intègre).  De façon générale, $k(X)$
 coïncide avec $k(U)$ pour n'importe quel ouvert non-vide=dense $U$
-de $X$.
+de $X$ (on peut donc définir $k(X) = \Frac \mathcal{O}(U)$ pour $U$ un
+ouvert dense de $X$).
 
 On appelle \textbf{dimension de $X$} le degré de transcendance sur $k$
 de $k(X)$.
@@ -2927,8 +2947,9 @@ Rappel : corps parfait = corps de caractéristique $0$ \emph{ou} de
 caractéristique $p$ tel que tout élément ait une racine $p$-ième =
 corps tel que tout polynôme irréductible soit à racines simples sur la
 clôture algébrique.  Exemples : $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$,
-$\mathbb{F}_q$ sont parfaits.  Contre-exemple : $\mathbb{F}_p(t)$
-n'est pas parfait ($t$ n'a pas de racine $p$-ième).
+$\mathbb{F}_q$ sont parfaits comme l'est tout corps algébriquement
+clos.  Contre-exemple : $\mathbb{F}_p(t)$ n'est pas parfait ($t$ n'a
+pas de racine $p$-ième).
 
 Si $k$ est un corps parfait (et qu'on en fixe une fois pour toutes une
 clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle
@@ -2946,7 +2967,10 @@ mais « en gros » il n'y a que les puissances du Frobenius (au sens :
 la restriction de tout $\sigma \in \Gamma_{\mathbb{F}_q}$ à un
 $\mathbb{F}_{q^n}$ est de la forme $\Frob_q^i$ pour un certain $i \in
 \mathbb{Z}$ (qu'on peut voir dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si on
-préfère).
+préfère) ; en tout cas, pour voir qu'un élément de $k^{\alg}$ (ou de
+n'importe quoi qui sera considéré plus bas) est fixé/stable par
+$\Gamma_{\mathbb{F}_q}$, il suffit de vérifier qu'il est fixé/stable
+par $\Frob_q$.
 
 \begin{thm}\label{rationnel-ssi-fixe-par-galois}
 Si $k$ est un corps parfait de clôture algébrique $k^{\alg}$, un
-- 
cgit v1.2.3