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Date: Fri, 21 May 2010 12:45:29 +0200
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@@ -963,14 +963,16 @@ radical de $I$).
\begin{proof}
On sait que $\surd I \subseteq \mathfrak{I}(Z(I))$ et il s'agit de
montrer la réciproque. Soit $f \in \mathfrak{I}(Z(I))$ : on veut
-prouver $f\in I$. On vérifie facilement que ceci revient à montrer
-que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$ de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est
-l'idéal unité. Or $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] =
-k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$. Soit $J$ l'idéal engendré par $I$ et
-$zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que $Z(J) = \varnothing$
-(dans $k^{d+1}$), donc le Nullstellensatz faible entraîne $J =
-k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : ceci donne $I[\frac{1}{f}] =
-k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$.
+prouver $f\in \surd I$. On vérifie facilement que ceci revient à
+montrer que l'idéal $I[\frac{1}{f}]$
+de $k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$ est l'idéal unité. Or
+$k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$
+d'après \ref{localise-inversant-un-element}. Soit $J$ l'idéal
+engendré par $I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$ : on voit que
+$Z(J) = \varnothing$ (dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir
+simultanément $f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$,
+donc le Nullstellensatz faible entraîne $J = k[t_1,\ldots,t_d,z]$ :
+ceci donne $I[\frac{1}{f}] = k[t_1,\ldots,t_d,\frac{1}{f}]$.
\end{proof}
\begin{scho}
@@ -1051,7 +1053,7 @@ Avec les notations ci-dessus :
\smallbreak
Soulignons en particulier que si $X'$ est un fermé de Zariski de $X$
-(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal
+(disons défini comme $X' = Z(I)$ où $I$ est un idéal radical
de $\mathcal{O}(X)$), alors la surjection canonique $\mathcal{O}(X)
\to \mathcal{O}(X)/I$ est un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(X) \to
\mathcal{O}(X')$ qu'il faut interpréter comme envoyant une fonction
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