From 733b3e5a4e35940c0457bed6fa0584abb04bb6e7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 17 May 2010 19:01:35 +0200
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@@ -424,7 +424,7 @@ Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à
une indéterminée sur $A$ est noethérien.
\end{prop}
\begin{proof}
-Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal. Supposons par l'abusrde que $I$
+Soit $I \subseteq A[t]$ un idéal. Supposons par l'absurde que $I$
n'est psa de type fini. On construit par récurrence une suite
$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit. Si
$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal
@@ -753,7 +753,7 @@ $\mathfrak{I}(E) = \{f\in k[t_1,\ldots,t_d] :\penalty0 (\forall
facile : c'est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, et même un idéal
radical. Remarque évidente : si $E \subseteq E'$ alors
$\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(E')$ ; on a $\mathfrak{I}(E) =
-\cap_{x\in E} \mathfrak{m}_x$ (où $\mathfrak{m}_x$ désigne l'idéal
+\bigcap_{x\in E} \mathfrak{m}_x$ (où $\mathfrak{m}_x$ désigne l'idéal
maximal $\mathfrak{I}(\{x\})$ des polynômes s'annulant en $x$), et en
particulier $\mathfrak{I}(E) \neq k[t_1,\ldots,t_d]$ dès que $E \neq
\varnothing$.
@@ -828,6 +828,14 @@ On dit qu'un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ non vide est
où $E',E''$ sont deux fermés de Zariski (forcément contenus
dans $E$...), sauf si $E'=E$ ou $E''=E$.
+\emph{Contre-exemple :} $Z(xy)$ (dans le plan $k^2$ de
+coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y)
+\in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 :
+x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est
+réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des
+abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits
+que $Z(xy)$.
+
\begin{prop}
Un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ est irréductible si, et
seulement si, l'idéal $\mathfrak{I}(E)$ est premier.
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cgit v1.2.3