From 7a73df0772b79e866054d66b31a4f2b6478757b9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Sun, 23 May 2010 23:00:16 +0200
Subject: Recapitulation of algebraic varieties.

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 notes-geoalg.tex | 60 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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index 330181a..b7b7e5c 100644
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+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -1816,7 +1816,9 @@ $X_i$ qui coïncident aux intersections ; un morphisme de $X$ vers une
 variété algébrique affine $Y$ est, de même, la donnée de morphismes
 $X_i \to Y$ qui se recollent.
 
-On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque le morphisme $X \to \Spec
+On dira que $X$ est \emph{affine} lorsque $X$ est isomorphe à une
+variété algébrique $\Spec R$ avec $R$ algèbre de type finie réduite,
+ou, de façon équivalente, lorsque le morphisme $X \to \Spec
 \mathcal{O}(X)$, où $\mathcal{O}(X)$ est l'anneau des fonctions
 régulières sur $X$, défini naturellement, est, en fait, un
 isomorphisme.
@@ -1913,6 +1915,62 @@ morphisme $U \to \Spec\mathcal{O}(U)$ est l'immersion ouverte de $U$
 dans $\mathbb{A}^2$, qui n'est pas un isomorphisme.
 
 
+%
+\subsection{Récapitulation : que doit-on savoir sur une variété algébrique ?}
+
+On ne proposera pas de définition générale de ce qu'est une variété
+algébrique.  Cependant, il faut au moins savoir les choses suivantes :
+\begin{itemize}
+\item une variété algébrique affine ou quasi-affine sur $k$ est une
+  variété algébrique sur $k$ ; en particulier, pour toute $k$-algèbre
+  $R$ de type fini réduite sur $k$, on a une variété algébrique
+  (affine) $\Spec R$ ;
+\item une variété algébrique a une notion d'\emph{ouverts} (de
+  Zariski) : ces ouverts sont eux-mêmes des variétés algébriques ; ces
+  ouverts vérifient les axiomes d'une topologie, i.e., le vide et le
+  plein sont des ouverts, une réunion quelconque ou une intersection
+  finie d'ouverts sont des ouverts ; de plus, une variété algébrique
+  est quasi-compacte (de tout recouvrement par des ouverts on peut
+  extraire un sous-recouvrement finie) ;
+\item une variété algébrique peut être recouverte par des ouverts
+  \emph{affines} ;
+\item si la variété $X$ est recouverte par des ouverts $U_i$, se
+  donner une fonction régulière sur $X$ (resp. un morphisme de $X$
+  vers une variété $Y$ quelconque) équivaut à se donner une fonction
+  régulière sur chaque $U_i$ (resp. un morphisme de chaque $U_i$
+  vers $Y$) telles que les données coïncident aux intersections $U_i
+  \cap U_j$ ; en particulier, appliquer ce principe à un recouvrement
+  par des ouverts affines permet de ramener l'étude d'une variété
+  quelconque à des variétés affines et à leurs intersections ;
+\item pour chaque $k$-algèbre $A$, on a un ensemble $X(A)$ appelé
+  ensemble des $A$-points de la variété $X$, et pour chaque morphisme
+  $\varphi\colon A\to A'$ de $k$-algèbres une application $X(A) \to
+  X(A')$ telle que $X(\psi\circ\varphi) = X(\psi)\circ X(\varphi)$ si
+  $\varphi\colon A\to A'$ et $\psi\colon A'\to A''$,
+\item les morphismes $X \to Y$ sont exactement les données pour chaque
+  $k$-algèbre d'une application $X(A) \buildrel f(A)\over\to Y(A)$
+  telle que : si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est un morphisme de
+  $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) \buildrel
+  X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et $X(A)
+  \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$
+  coïncident ;
+\item si $X$ est affine, les morphismes $X \to Y$ s'identifient avec
+  les éléments de $Y(\mathscr{O}(X))$ (on ne suppose pas ici que $Y$
+  soit affine) ;
+\item si $Y$ est affine, les morphismes $X \to Y$ s'identifient avec
+  les morphismes d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$ (on ne
+  suppose pas que $X$ soit affine), et en particulier les fonctions
+  régulières sur $X$ s'identifient avec les morphismes $X \to
+  \mathbb{A}^1$ ;
+\item sur un corps $k$ algébriquement clos, le Nullstellensatz assure
+  que beaucoup de données se « lisent » sur les $k$-points :
+  notamment, une fonction régulière sur $X$ est déterminée par ses
+  valeurs sur $X(k)$, un morphisme $X \to Y$ est déterminée par la
+  fonction $X(k) \to Y(k)$, un ouvert de $X$ est déterminé par le
+  sous-ensemble $U(k)$ de $X(k)$...
+\end{itemize}
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cgit v1.2.3