From 7b811ca8714fe22fce84c527776ae955207f0850 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Thu, 10 Jun 2010 17:34:33 +0200 Subject: An approximation result. --- notes-geoalg.tex | 61 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 58 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 4fb1a87..7e2b373 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -3757,8 +3757,10 @@ de $C$, définies sur $k$ (où on identifie deux fonctions quand elles coïncident sur l'intersection des ouverts sur lesquels elles sont données) ; on l'appelle simplement \textbf{corps des fonctions} de $C$. On a $k(C) = \Frac(\mathcal{O}(U))$ pour n'importe quel -ouvert affine non-vide (=dense) de $C$. On appelle évidemment -\textbf{constantes} les éléments de $k$ vus dans $k(C)$. +ouvert affine\footnote{\label{footnote-affine}En fait, on verra que + tout ouvert de $C$ différent de $C$ est automatiquement affine.} +non-vide (=dense) de $C$. On appelle évidemment \textbf{constantes} +les éléments de $k$ vus dans $k(C)$. On note aussi $k^{\alg}(C)$ le corps des fonctions rationnelles sur $C_{k^{\alg}}$, c'est-à-dire après passage à la clôture algébrique @@ -3903,7 +3905,8 @@ Remarquons que $\ord_P(f)$ est le même que $f$ soit considéré comme vivant dans $k(C)$ ou dans $k^{\alg}(C)$ (à cause de l'unicité affirmée pour la fonction $\ord_P$). Par ailleurs, pour $f \in k(C)$, on a $\ord_P(f) = \ord_{\sigma(P)}(f)$ pour tout $\sigma \in \Gal(k)$ -(le groupe de Galois absolu de $k$). +(le groupe de Galois absolu de $k$), autrement dit, $\ord_P(f)$ ne +dépend que de l'« orbite » de $P$ par $\Gal(k)$. \begin{prop} Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$. Alors toute fonction @@ -3913,6 +3916,11 @@ en \ref{properties-valuation} est de la forme $\ord_P$ pour un certain $P \in C(k^{\alg})$. \end{prop} +Les $\ord_P$ sont distinctes lorsque les points $P$ ne sont pas +conjugués par Galois (cf. ci-dessus) : on va voir un résultat plus +précis affirmant qu'elles sont, en fait, aussi indépendantes que +possible (\ref{approximation-lemma} ci-dessous). + \begin{prop} Soit $C$ une courbe (lisse) sur un corps $k$ : \begin{itemize} @@ -3930,6 +3938,53 @@ connexe est constante (cf. \ref{projective-to-affine-morphisms-are-constant}). \end{proof} +\begin{prop}[lemme d'approximation]\label{approximation-lemma} +Soit $C$ une courbe sur un corps $k$ et $U$ un ouvert +affine\footnote{Cf. note \ref{footnote-affine}.} de $C$. Soient +$Q_1,\ldots,Q_s$ des points dans $U$ dont aucun n'est image d'un autre +sous l'action de Galois (=dont les orbites sous $\Gal(k)$ sont deux à +deux disjointes, =dont les idéaux maximaux $\mathfrak{m}_{Q_i}$ sont +deux à deux distincts), et $f_1,\ldots,f_s \in k(C)$ et +$v_1,\ldots,v_s \in \mathbb{Z}$. Alors il existe $f \in k(C)$ telle +que +\[ +\begin{array}{cl} +\ord_{Q_i}(f-f_i) \geq v_i&\hbox{~pour tout $i$}\\ +\ord_{P}(f) \geq 0&\hbox{~pour tout $P \in U \setminus \{\sigma(Q_i)\}$}\\ +\end{array} +\] +\end{prop} + +\emph{Moralité :} On peut toujours trouver une fonction $f$ qui +approche les fonctions $f_i$ spécifiées à l'ordre $v_i$ spécifié aux +points $Q_i$ spécifiés, et qui soit régulière à tout point de $U$ sauf +évidemment ceux pour lesquels la condition imposée demande qu'ils ne +le soient pas. + +\emph{Remarque :} Ce résultat recouvre l'existence des polynômes +interpolateurs de Lagrange (pour $C = \mathbb{P}^1$ et $U = +\mathbb{A}^1$, les $f_i$ des polynômes ayant les développements de +Taylor souhaités aux ordres $v_i$, le résultat montre qu'il existe un +polynôme $f$ ayant les développements spécifiés aux ordres spécifiés). + +\begin{proof}[Idée de démonstration] +Pour $Q \in U$, si $\mathfrak{m}_{Q}$ désigne l'idéal des fonctions de +$\mathcal{O}(U)$ s'annulant en $Q$, i.e., telles que $\ord_Q(h) \geq +1$, le point clé est que $\mathfrak{m}_Q \neq \mathfrak{m}_{Q'}$ si +$Q$ et $Q'$ ne sont pas conjugués par Galois, donc il existe une +fonction $h \in \mathcal{O}(U)$ telle que $\ord_Q(h) \geq 1$ et +$\ord_{Q'}(h) = 0$, et, quitte à diviser par une constante, autant +supposer $h(Q') = 1$, et une autre $h'$ telle que $h'(Q) = 1$ et +$\ord_{Q'}(h') \geq 1$. Quitte à multiplier de telles fonctions entre +elles et à les elever à des puissances assez grandes, on peut obtenir +des $h_i$ telles que $h_i(Q_i) = 1$ et $\ord_{Q_j}(h_i) \geq +\min(1,v_i)$ si $j\neq i$. Lorsque les $f_i$ sont dans +$\mathcal{O}(U)$, poser $f = \sum_i f_i h_i$ convient. Sinon, on met +les $f_i$ sur un même dénominateur et en cherchant $h$ comme une +fraction sur le dénominateur en question on se ramène à un problème +d'approximation sur le numérateur. +\end{proof} + % -- cgit v1.2.3