From 7fa85c7c86c2a4a5c618141673ec824bbad8baae Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Wed, 13 Jun 2012 14:52:12 +0200 Subject: Fix various small mistakes across all versions. --- notes-geoalg-2010.tex | 8 ++++---- notes-geoalg-2011.tex | 8 ++++---- notes-geoalg-2012.tex | 8 ++++---- 3 files changed, 12 insertions(+), 12 deletions(-) diff --git a/notes-geoalg-2010.tex b/notes-geoalg-2010.tex index b81d1a8..cbd9e69 100644 --- a/notes-geoalg-2010.tex +++ b/notes-geoalg-2010.tex @@ -4219,7 +4219,7 @@ $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ -(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un +(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_{h(P)} C$ est un isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de @@ -4311,13 +4311,13 @@ diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, -on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle +on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(Q)} e_Q (Q)$ qu'on appelle \textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est -encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On +encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(f\circ h)$). On peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme $h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa @@ -4555,7 +4555,7 @@ Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := \divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) -est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim 0$, qui entraîne $l(D) = 1$. \end{proof} diff --git a/notes-geoalg-2011.tex b/notes-geoalg-2011.tex index bf64434..f3b06d9 100644 --- a/notes-geoalg-2011.tex +++ b/notes-geoalg-2011.tex @@ -2501,7 +2501,7 @@ $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ -(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un +(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_{h(P)} C$ est un isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de @@ -2593,13 +2593,13 @@ diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, -on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle +on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(Q)} e_Q (Q)$ qu'on appelle \textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est -encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On +encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(f\circ h)$). On peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme $h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa @@ -2837,7 +2837,7 @@ Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := \divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) -est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim 0$, qui entraîne $l(D) = 1$. \end{proof} diff --git a/notes-geoalg-2012.tex b/notes-geoalg-2012.tex index 53bd1d9..20530c3 100644 --- a/notes-geoalg-2012.tex +++ b/notes-geoalg-2012.tex @@ -3226,7 +3226,7 @@ $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$. Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$ -(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un +(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_{h(P)} C$ est un isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de @@ -3318,13 +3318,13 @@ diviseurs ont degré respectivement $\deg f$, $\deg f$ et $0$. Plus généralement, si $h \colon C' \to C$ est un morphisme non constant entre courbes, et $D = \sum_P n_P (P)$ un diviseur sur $C$, -on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(P)} e_Q (Q)$ qu'on appelle +on définit $h^*(D) = \sum_Q n_{h(Q)} e_Q (Q)$ qu'on appelle \textbf{image réciproque} (ou \textbf{tiré en arrière}) de $D$ par $h$ : il est clair que le diviseur des zéros $f^*((0))$ défini ci-dessus est bien le tiré en arrière du diviseur $(0)$ sur $\mathbb{P}^1$ par $f$ vu comme morphisme $C \to \mathbb{P}^1$. Il est évident que le tiré en arrière d'un diviseur principal est -encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(h\circ f)$). On +encore principal (en fait, $h^*(\divis(f)) = \divis(f\circ h)$). On peut aussi définir l'\textbf{image directe} (ou \textbf{poussé en avant}) par $h$ d'un diviseur $D' = \sum_Q n_Q (Q)$ sur $C'$ comme $h_*(D') = \sum_Q n_Q (h(Q))$ : il est aussi vrai, mais un chouïa @@ -3562,7 +3562,7 @@ Dire que $l(D) \neq 0$ signifie que pour un certain $f$ on a $D' := \divis(f) + D \geq 0$. Or le degré de $\divis(f)$ est nul (et le degré d'un diviseur effectif $D'$ est évidemment positif), donc le degré de $D$ est $\geq 0$. De plus, si le degré de $D$ (donc de $D'$) -est nul, cela signifie que $\divis(f) + D' = 0$, c'est-à-dire $D \sim +est nul, cela signifie que $\divis(f) + D = 0$, c'est-à-dire $D \sim 0$, qui entraîne $l(D) = 1$. \end{proof} -- cgit v1.2.3